“數”說足球

劉偉

被譽為“世界第一運動”的足球是全球體育界最具影響力的單項體育運動。在各個年齡階段都有為足球癡狂的人。足球不但好玩，而且還包含了很多有趣的數學知識，就讓我們一起來看一下吧！

“拼”足球

足球雖然叫作球，但其實它并不是一個規則的圓球體，如果我們仔細觀察就可以發現，足球是由正五邊形和正六邊形拼接而成的多面體，其中正五邊形有12個，為黑色;正六邊形有20個，為白色。每個正五邊形都與正六邊形相鄰;每兩個相鄰的正多邊形有一條公共邊;每個頂點處都有3個正多邊形，而且都遵循一黑二白的規律，即正五邊形的每一條邊都與正六邊形的邊相鄰，而每個正六邊形都有3條邊與正五邊形的邊相鄰，另3條邊與正六邊形的邊相鄰，如果在不知道正五邊形和正六邊形個數的情況下，我們怎么根據這些條件來得知它們的個數呢？其實我們可以用方程來求解這個問題。

設正六邊形有個，則正五邊形有個，每個正六邊形有6條邊，共6條邊，因每個正六邊形有3條邊和正五邊形相鄰，故正五邊形共有3條邊，由題意列出方程組，解得，則。這樣就計算出一個足球有正六邊形20個，有正五邊形12個。

通過上面的知識我們發現，足球并不是一個嚴格意義上的球體，它的構成并不像表面看上去那么簡單，而是包含了有趣的數學知識。

當足球內部充滿氣體時，如果內部氣體體積的數值與它的表面積的數值相等，那么你可以算出這個球的直徑是多少嗎？

由于足球是一個不規則的球體，我們無法利用球體的體積和表面積計算公式直接求解，那我們又該如何解決這個問題呢？現在我們可以轉變一下思維方式，在不求解足球的體積、白色和黑色正多邊形的面積的情況下，直接用文字或字母表示，即設而不求，這種方法在解決數學問題時經常會起到事半功倍的效果。下面我們用這種方法來計算足球的直徑。因為足球表面是由32個小正多邊形拼接而成的，所以可以將足球這個不規則的球體看成是由32個小棱錐拼接而成，再借助棱錐體積來求解足球的直徑。

我們知道棱錐的體積為底面積×高÷3，那么足球的體積就是32個小棱錐的體積之和。應該注意的是，這里的高其實就是足球的半徑。那么足球體積計算公式就是：足球體積=足球表面積×半徑÷3。而此時足球體積的數值又等于足球表面積的數值，帶入上式得到：足球表面積=足球表面積×半徑÷3，我們假設單位為英寸（1英寸=2.54厘米），于是就可以得到足球的半徑為3英寸，進而得到足球的直徑為6英寸。

通過這個例子我們可以發現設而不求在數學問題求解中的作用，因此，在遇到比較困難的問題時，如果正面求解較難的話，我們可以試著從其他角度來求解，巧妙地將問題進行轉換。

不懂數學，還想進球？

在足球比賽中，當守門員遠離球門時，進攻隊員常常使用吊射戰術（把球高高地挑過守門員的頭頂，射入球門）。一般來說，吊射戰術中足球的軌跡往往是一條拋物線。球藝高超的球員，會選擇合適的位置進行吊射，使球高高地越過守門員的頭頂，但又不至于飛得過高而超過球門。下面我們通過一個例子來說明。

一位球員在離對方球門30米處起腳吊射，假如球飛行的路線是一條拋物線，在離球門14米時，足球達到最大高度32/3米，已知球門的高度為2.44米，那么球是否會進球門？如果守門員站在距離球門2米處，而守門員跳起后最高能達到2.75米的高度，那么他能否在空中截住這次吊射？

要想解決這個問題，需要用到一元二次函數的知識，因為一元二次函數的圖像就是一條拋物線。要想求出一元二次函數的解析式，則需要根據實際問題建立平面直角坐標系，從而使問題得到解決。

首先，以球門底部作為坐標原點，建立坐標系，這樣的話，足球的軌跡，也就是拋物線經過（30，0），且頂點為（14，32/3），根據一元二次函數的知識可求得拋物線的解析式：，此時將代入函數解析式，可以得到。可見此時足球距離地面的高度已經超過了球門的高度，足球不會射入球門中。算到這里，大家可能就明白為何以球門底部作為坐標原點建立坐標系了，因為當時，很容易算出結果。

當守門員站在距離球門2米處時，守門員跳起后最高能達到2.75米的高度，將代入，可得到，可以看出，足球距離地面的高度高于守門員跳起的高度，因此守門員無法截住這次吊球。

由此可見，足球運動員若想取得較好的成績，也不是光靠體育訓練就能夠達到的，他們需要對足球運動中蘊含的數學知識有所了解，做一個懂數學的足球運動員。

綜上所述，足球和足球運動都蘊含了十分豐富的數學知識，看似靠運氣的足球比賽，實則蘊含著一定的科學知識。看來，數學真的是無處不在，并時刻散發著智慧的魅力。

（責任編輯/江盼? 美術編輯/胡美巖）