基于大渦模擬下的三種足球空氣動力學分析及運動軌跡探討

□ 張旋（中國社會科學院大學體育教研部 北京 100000）

1、前言

1.1、概述

對足球進行運動空氣動力學分析是國外幫助球隊獲得比賽勝利，幫助球員改進訓練水平的一項重要工作，但在我國該方面的研究人才甚少，絕大多數實驗室在采用風洞試驗對部分運動項目進行相關研究，其成本較高并不能有效普及于絕大多數運動領域。因此本文通過計算仿真模擬方式對足球相關物理量和飛行軌跡進行量化分析，旨在提供一種新的分析方法并提供足球相關數據予后續相關工作的研究者。

1.2、研究目的與任務

（1）研究目的。

通過LES計算模擬仿真獲得不同足球空氣動力學特性，并借此對不同足球溝壑類型及其變化造成的物理量變化進行分析，通過對比試驗量化足球飛行軌跡。

（2）研究任務。

①研究模型及部分方程研究；

②足球溝壑類型對升阻力的影響；

③三維渦量云圖對比分析；

④不同足球偏移軌跡的研究。

2、研究方法

2.1、文獻資料法

查閱1980-2018年相關國內外文獻研究300余篇，對湍流模型及空氣動力學主要問題提取寶貴經驗與數據。

2.2、專家訪談法

通過與國內外專家的學習論證，確認操作方案的可行性和理論依據的標準。

2.3、數理統計法

通過數理統計方法對后處理中出現的物理量進行定量分析，對部分數據進行散點圖和動畫處理。

2.4、模擬法

建立實驗模型，設置計算機工況，確認相關理論，根據三者相互關系，進行物理與數學模擬。

3、結果與分析

3.1、模型的建立及部分方程方案

（1）模型的建立。

本文采用三種不同足球模型如圖1所示，其表面溝壑位置不同造成不同物理量及飛行軌跡變化，足球溝壑采用1mm圓角以真實還原足球表征，采用直徑0.22m國際標準足球，表皮粗糙程度不在本文模擬范圍之內，因此與實際情況會產生部分誤差，經驗證其誤差值極小可以忽略不計，足球遠場分別為設為5倍足球直徑和10倍足球直徑。

（2）網格劃分方案及方程。

本文采用混合網格以減少網格數量，增加質量并提高運算速度與精度，如圖2所示為標準足球網格劃分方案圖，由于利用LES大渦模擬方法是通過低通濾波將流動分為大小兩種尺度的渦，大尺度渦使用Navier-Stokes方程進行求解，小尺度渦使用WALE亞格子尺度模型進行方程組的封閉且由于來流速度設定為22m/s在計算中未能引起流體密度的足夠變化，因此流場屬于不可壓縮。

同時由于采用LES大渦模擬，必須要求網格能夠滿足求解粘性影響區域的流動，故本文采用Y+=1進行計算第一層網格高度為1e-05m，利用牛頓迭代求解公式如下：

（1）Cf=τq/ρu2（2）1/Cf 0.5=1.7+4.15×log10(Re×Cf)（3）

為保證計算精度采用增長率1.15，15層邊界層，同時FLUENT采用雙精度模擬。

圖2 標準足球混合網格剖面圖

3.2、不同足球類型的阻力變化及其應用

（1）足球阻力系數及其對電梯球飛行速度的影響。

圖3 不同足球阻力系數變化折線圖

如圖3所示為普通足球及2015年生產的團隊之星足球、2016年生產的C4D NIKE頂級比賽用球在雷諾數為Re≈3.9×105時的阻力系數圖，平均阻力系數分別為0.1276、0.1406和0.1150。在以往實驗中研究人員已經發現對于光滑圓球在低速時受到的阻力更大，而在高速時受到的阻力更小，足球以22m/s前進時并未達到高速要求，同時可判斷其表面粗糙程度。因此實驗中的三種足球以C4D NIKE頂級足球表面粗糙程度最小，隨后依次為普通足球和團隊之星足球。

而足球電梯球的防守難度主要由兩種情況構成，其一為足球飛行速度、其二為足球變化弧度，而阻力系數的大小將決定足球整體速度變化，相對于實驗的三種足球而言，粗糙足球表面邊界層提前分離后由于卡門渦街效應會降低足球速度，因此可以斷定C4D足球飛行速度最快較難防守，而團隊之星足球則飛行速度最慢易于防守。

此外，將足球表面縫隙加深也會產生不同變化，如普通足球表面溝壑加深至2mm圓角，則其阻力系數在相同雷諾數下有所升高，即表面溝壑深度直接影響粗糙程度，造成粗糙度的增加，其在較低出腳速度時足球飛行速度與其成正比同樣速度較慢。

（2）足球渦脫落現象對阻力系數變化的驗證。

為進一步驗證以上三種足球阻力系數變化具有可信性，我們利用Q準則對三種足球分別作出三維渦量圖，根據渦脫落速度判斷阻力系數的大小，其定義公式如下：

Q=-1/2×(Velocity u.Gradient X2+Velocity v.Gradient Y2+Velocity w.Gradient Z2)-Velocity u.Gradient Y×Velocity v.Gradient X×Velocity w.Gradient Z

如圖4所示為為Q=0.001時的三種足球三維渦量圖及其流線圖，可以清晰的發現團隊之星足球較普通足球、C4D nike渦脫落速度更快，而渦脫落將造成邊界層提前分離，進而使不同位置壓差隨之增大，造成阻力系數的增大由此可證明以上平均阻力系數的變化。

圖4 足球三維渦量圖及流線圖

3.3、足球電梯球弧度變化規律及下墜時間節點分析

圖5 不同足球升力系數折線圖

在足球飛行過程中，存在一種特殊飛行軌跡，即球不按照平滑曲線進行運轉，而是飄忽不定，其肉眼觀察似乎并不符合物理規律。事實上，從圓柱繞流的類似問題早已發現，對于平滑物體在一定雷諾數下通過斯特勞哈爾數公式St=fD/v可以得到渦脫落頻率其取值為0.14-0.27之間，同時有研究者發現在Re＞2×105以上的情況，St數和Re的相關度很低。對于足球飛行而言，其Re遠高于2×105，也因此足球產生特殊飛行軌跡可以猜測為與球體表面粗糙程度相關，而當雷諾數為3×105-3×106時，有規則的渦街便不再存在，因此根據計算足球速度一般位于此雷諾數區間，渦脫落頻率不再為常數，造成足球運動軌跡的不規則變化。

如圖5所示為三種不同足球升力系數折線圖，在低速下，C4D平均升力系數為0.0164，普通足球平均升力系數0.0061，團隊之星平均升力系數0.078，由于足球表面粗糙程度造成的升力不規則變化進而出現特殊飛行軌跡且觀察曲線變化規律可知，普通足球高度飛行軌跡最為飄忽不定，其次為C4D NIKE頂級足球，而團隊之星足球在高度上飛行軌跡更為規律，這也是飄球的產生機理。

同時通過對升力進行傅里葉變換，可以觀察其頻率分布，而頻率分布越接近某一具體值說明卡門渦街效應越明顯，規則的卡門渦街將造成足球在某一時間節點產生急速下墜，以便對電梯球進行預判。

圖6 升力系數傅里葉變換

如圖6所示分別為普通足球、C4D NIKE頂級足球和團隊之星足球，其中頻率分布代表了非對稱渦脫落的分布，而越接近周期性渦脫落則由渦脫落造成的球的震蕩導致足球產生快速下墜愈加明顯，因此普通足球電梯球即出現最大拐點時間最快，其次為C4D NIKE頂級足球和團隊之星足球。

再者在不考慮飛行過程中足球自轉速度帶來的影響，即假設足球始終沿Y軸方向飛行時，以22m/s給定足球初速度，則分別計算足球飛行高度和側向位移幅度如圖7所示：

圖7 足球飛行軌跡偏移位置圖

圖中分別為標準足球、C4D NIKE足球和團隊之星足球的不同方向偏移軌，由圖可知足球沿Y方向飛行受到側向力影響所造成的偏移分別為 1.06m至 -0.79m、0.1m至 -0.8m、0.13m至 -0.24m；飛行高度偏離值分別為 0.85m至 -0.74m、0.1m至-0.4m、0.04m至-0.89m、由側向偏移值即香蕉球最大弧度以普通足球居首，C4D NIKE頂級足球次之，團隊之星足球弧度最小；且由升力造成的電梯球以團隊之星弧度最大，普通足球次之，C4D NIKE頂級足球最小。且其飛行44m時側向弧線最大拐點分別出現在距球31.9m、13.64m和13.42m；而高度方向最大弧線拐點分別出現在18.04m、24.2m和39.82m與3.3圖6所得結果相同。

在使用密度基求解器對空氣濕度和壓力變化時普通足球升阻力的變化趨勢進行研究發現，空氣濕度和壓力的增加將使球速降低，其平均升阻力系數由于相對粗糙程度的增加而有所降低，也就造成了足球的電梯球和香蕉球產生弧線逐步變小，但是由于仿真模擬的誤差及足球本身速度較慢以及大氣壓的局限性，其并不會產生足夠的肉眼可見的彎曲變化，浮動值極小，在此僅做參考。

4、結論

（1）C4D NIKE頂級足球表面粗糙程度最小，隨后依次為普通足球和團隊之星足球，而粗糙程度變化導致足球表面邊界層分離提前，導致壓差變化，進而影響到球飛行速度。因此從飛行速度上可以斷定C4D足球飛行速度最快較難防守，而團隊之星足球則飛行速度最慢易于防守。同時足球表面溝壑深度會增大足球粗糙程度進而使足球在低速下產生較大阻力，減慢球體飛行速度；

（2）由于足球在一定雷諾數下飛行造成渦脫落頻率不再為常數，致使足球運動軌跡的不規則變化是飄球產生的主要機理。根據升力變化可知普通足球高度飛行軌跡最為飄忽不定，其次為C4D NIKE頂級足球，而團隊之星足球在高度上飛行軌跡更為規律；

（3）通過傅里葉變換和對速度對時間進行積分獲得的位移量可較為清晰的判斷足球運動軌跡和規律，由此判斷出普通足球香蕉球弧度最大，團隊之星足球電梯球弧度最大，而C4D NIKE頂級足球速度最快，直線威脅最大；

（4）空氣濕度和壓力的增加將使球速降低，其平均升阻力系數由于相對粗糙程度的增加而有所降低，致使足球電梯球和香蕉球均不易產生更大弧度，但是由于仿真誤差的存在及其變化量較小，在此僅做參考。