雙障礙期權的定價問題及其近似計算

文/章宏 劉毅，上海大學經濟學院

1 引言

雙障礙期權有一條上障礙線和一條下障礙線,在其有效期內,一旦標的資產達到上、下障礙線的任一條,期權即被敲進或敲出。張斌（2004）總結Kunitomo and Ikeda(1992)、Geman and Yor(1996)等人結果的基礎上根據各種障礙期權所滿足的邊界條件得出其定價公式模型。然而他得出標的資產價格首達上下邊界停時的概率密度公式在實操應用時較為困難。本文對上述公式進行改進，并具體賦值證明改進公式的精確性。

2 文獻綜述

自1973年美國經濟學家邁倫－斯科爾斯（Myron Scholes）與費雪－布萊克（FischerBlack）首創性的提出標準看漲看跌期權定價公式以來，國內外學術期刊關于股票期權定價與其他金融衍生品定價的研究成果枚不勝舉。近年來,奇異期權的定價又成為國外期權定價中的熱門問題,其中障礙期權是一種重要的奇異期權,又稱關卡期權,它是一種弱路徑有關期權。它是一張歐式期權合約,其最終收益除了依賴于原生資產在期權到期日的價格,還與原生資產價格在整個期權有效期內是否達到某一規定水平人們稱為障礙值有關。在Black-Scholes 環境下，國內外學者發掘出了一系列由普通期權構造組合派生出的奇異期權的定價模型研究。自上個世紀60年代末，市場上開始出現障礙期權后，關于障礙期權的研究如雨后春筍般出現。在障礙期權的定價研究方面，基于Black-Scholes 期權定價框架下，Merton（1973）最早發表了關于障礙期權文章，該文章提出障礙期權的價格就是帶邊界的 Black-Scholes 方程的解，作者求解出該偏微分方程并分別給出了常障礙和變化障礙水平下的下降敲出看漲期權的定價公式。隨著Merton 研究后，Rei nner 和Rubinsteiii(1991)通過一系列公有因子推導出標準障礙期權的的定價公式，依賴于這些公有因子可以分別計算出向上敲出，向下敲出，向上敲入，向下敲入障礙期權的價格，上述這些解析解公式至今仍然是業界使用較為普遍的計算障礙期權理論價格的定價方式。

期權定價理論近幾年的發展，已經在傳統Black-Scholes 期權定價下擴展到各式期權的理論研究，其復雜程度和計算難度不斷加大和精細化。Kyunghyun Park, Junkee Jeon（2017）通過簡化來自PDE 的轉換變換，應用拉普拉斯- 卡森變換（LCT）討論了美國敲出期權定價問題。Julien Hok, Tat Lung (Ron) Chan（2018）開發了一種基于一系列密度函數的Legendre 多項式推導出的期權定價公式。解決了因傳統公式中數值不穩定造成的歐式看漲期權的精度不夠的問題。由于我國資本市場并未完全開放，期權歷史發展較短，其研究主要結合國外理論進行擴展研究國內期權市場。總體而言，國內文獻對障礙期權產品的研究主要體現在兩個方面。一在產品定價研究上，現有的研究主要集中于純障礙期權產品與內嵌障礙期權的結構化產品上。二在風險管理研究上，現有的文獻主要從風險對沖方法和效果比較上進行研究。

3 定價模型

3.1 雙敲出期權價值的數學模型

雙障礙看漲期權模型,設上下障礙線分別為l1, l2,且0＜l2＜K＜l1,K, l1, l2為常數,K 為期權的敲定價。假定標的資產(股票)的價格在[0,T]時間內向上達到l1或向下達到l2 時,期權自動失效。若股票的價格在[0,T]時間內沒有達到l1和l2,則在到期時T,期權的收益為（S(T)-K)+因此,該期權在t 時的價值為：

函數V(t,S(t))滿足終值條件與邊界條件：V(T,S(T))=(S(T)-K)+, l2≤S(t) ≤l1

V(t, l1)=0,V(t, l2)=0 0≤t≤T

3.2 推導的概率密度公式

張斌在總結上面前人結果的基礎上在風險中性假設下,從理論上證明了障礙期權價值滿足Black-Scholes 方程,再根據各種障礙期權所滿足的邊界條件得出其定價公式模型。然后他同時對于單曲線邊界期權則運用等價鞅測度及變量代換將變邊界轉化為常數邊界,再運用反射原理得出標的資產價格首達邊界的分布函數。最后,對雙障礙期權,在證明了標的資產價格首達上、下邊界的時間期望有界的前提下,運用隨機分析有關知識及留數定理得出標的資產價格首達上下邊界停時的概率密度。其標的資產價格首達時的概率密度公式如下：

從x 出發首先到達下障礙線0 的概率密度：

從x 出發首先到達上障礙線l 的概率密度：

3.3 首達時的概率密度公式改進

在上述基礎上，取l=2π，運用中值定理將無窮項改為兩項近似值的和：

其中-1<ρ1<-1，-1<ρ2<1

其中改進公式中的誤差項為：

3.4 舉例檢驗

本文主要運用計算機模擬計算原式前N 項和與改進公式的結果作比較，由于改進公式中參數變量較多，只有控制有效變量來觀測計算結果才具有可觀性，因此本文將N，T 作為控制變量，前N項和逐漸增加來觀測原式結果的規律性。T 變化用來觀測改進公式的可操作性。具體步驟如下：

檢驗步驟：（1）賦值：σ=0.02，b=0.002，T 取100、90、80。（其中為了便于無窮項和前N 項變化明顯，σ、b 取了特定值，由于0

?

觀測表格中第五、六兩列的數據表明h1 和h2 可以非常好的近似計算無窮項的和，當N 取到60 項以后，無窮項的和在小數點第十位以前的數值趨于穩定、變化非常小。而我們取ρ1，ρ2等于0.000008665 時，代入h1,h2 計算出結果，h1 和h2 可以精確到小數點后十位。因此改進公式可以近似計算原公式前70 項以后的和且精度達到小數點后十位，誤差非常小。

通過上述檢驗證明，改進公式中ρ1，ρ2的存在唯一性，當σ、b、T、x 給定時，ρ1，ρ2的值唯一確定，改進公式可以非常準確的估計原無窮項和。從而證明改進公式的有效性。在計算期權價值時運用該公式可以規避無窮項的疊加，將復雜的密度公式化簡并易于計算。

4 總結

期權交易是指期權持有者擁有在將來某一確定時間或時期內以某一確定價格買賣確定數量的某種資產的權利。本文梳理了前人在期權定價模型上的推導，在根據各種障礙期權所滿足的邊界條件得出其定價公式模型和標的資產價格首達上下邊界停時的概率密度。在雙障礙期權的定價中，在標的資產價格首達上、下邊界的時間期望有界的前提下，運用標的資產價格首達上下邊界停時的概率密度公式進行計算雙障礙期權價格時將非常方便。但理論的完備并不能帶來實際計算上的簡便，而上述的資產價格首達上下邊界停時的概率密度公式就因無窮項的疊加困難帶來計算上的不便。本文經運用中值定理改進原無窮項的和為兩項之和，減少運用上的困難，同時化簡兩項和為一項（h1、h2）。并經計算機模擬計算發現改進項h1、h2 可以很好的擬合原式的數值。這項工作將給期權定價公式帶來實際運用上的快捷性。