勾股定理的證明方法探究

李德潤

摘 要：勾股定理又稱為Pythagoras定理，在數學研究領域和實際的應用中具有重要的作用。經過不斷的研究，眼睛研究出了400多種證明勾股定理的方式方法。本文根據對國內外學者的學術文獻對勾股定理的推廣應用進行細致的研究。

關鍵詞：勾股定理 證明方法 應用分析

一、引言

勾股定理在數學領域內具有里程碑的意義。從我國最早時期的天文著作《周脾算經》中所記載的：勾股三，股修四，徑隅五。再者就是由古希臘數學家畢拉哥研究發現，并被古希臘數學家歐幾里記錄在《幾何原本》中；直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個正方形。這些都是由畢拉哥拉斯定理在最開始時記錄的。

勾股定理是證明問題的證據最多的定理之一，在代數和幾何領域內被廣泛應用，它不僅能解決直角三角形的邊長和周長面積問題，而且解決了現實生活中的許多實際問題。因此，勾股定理不但但解決了高考題中的一些解題方法，也是解決現實生活中建筑施工和尋找井筒基準線中心問題的重要方法。在過去的四千年歷史里， 勾股定理在不斷演變的過程中又總結出來許多新的證明方法，同樣在另外一些地方被應用。

二、中國古代勾股定理的詮釋

在著名數學家商高的證明下， 《周髀算經》成為我國古代最早的數學著作，其主要內容包括天文和數學知識，其展現出我國古代人民聰明的智慧。 《周髀算經》中記載了周公與大夫商高的一段話，商高當時回答說：“故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅。既方其外，數之所由生也”。

英國人約瑟夫.李約瑟將這段話解釋為：將一個長方形沿對角線切割，寬度等于3個單位，長度為4個單位，這樣兩對角之間的對角線長為5個單位。也就是我們常講的勾三股四玄五。 其次我們再用這條對角線為邊畫一個大正方形，再用幾個同上文的半矩形把這個大正方形圍起來，從而形成一個方形盤。

三、勾股定理的證明方法

3.1面積法。勾股定理的面積法也就是將兩種面積表示方法表示同一圖形的面積，從而建立方程來解決問題的方法叫面積法，是勾股定理在幾何領域的基本。

3.2向量法。如果將直角三角形的斜邊看作二維平面上的向量，將兩斜邊看作在平面直角坐標系坐標軸上的投影，則可以從另一個角度考察勾股定理的意義。即，向量長度的平方等于它在其所在空間一組正交基上投影長度的平方之和。

3.3分段算法。所謂的“分段算法”實際上是一種數學方法，通過對圖形進行適當的分段并加以彌補來解決問題。我國古代數學家經常用這種方法證明畢達哥拉斯定理。它是中國古代數學的一大特色，在世界數學史上有著獨特的貢獻和地位。

四、勾股定理的應用

4.1在代數問題中的應用。溝谷定理在數學領域里是被廣泛應用的，其中“形”和“數”這兩個層面給人們很大啟迪，如果單從“數”這一角度去分析勾股定理，我們就會注意到數論中表達的“整勾股數組”，也就是不定方程式的“正整數解組”，稱之為“勾股數”

4.2在初等幾何問題中的應用。勾股定理從定義上來講，在諸多幾何問題中，大多數幾何證明題基本上都可以利用勾股定理來分析解題思路的。

4.3在立體幾何為題中的應用。大家都知道三維空間，也就是立體幾何，立體幾何需要學生根據三維空間圖并利用勾股定理來解決數學問題，因此立體幾何和勾股定理是分不開的。

小 結

從以上幾個方面來看，勾股定理在數學領域中占有非常重要的意義，也是人類文明史上的一顆耀眼的寶石，能否熟練的應用就要看我們能不能掌握其中的關鍵點及技巧，如果能熟練掌握，那么我們就可以將復雜的問題簡單化，解題也會變得更加方便、快捷。時至今日，勾股定理的證明方法已多達400多種， 本文對勾股定理證明中用到 的 面 積 法，拼 接 法 等 都 給 出 了一些經典的例子。隨著科技的進步和社會的發展，勾 股定理將會推廣到 更 深 更 遠 的 地 方。例 如，在 三 維 空 間 中，在面三角形上，或是在n維空間中。勾股定理作用廣 泛，博大精深，更深層次地研究還需進一步探索。

參考文獻

[1] 余祖荻，漫談勾股定理[J]，華中師范大學學報數學史專輯，1987.3

[2] 閔嗣荷，嚴士健《初等數論》[M]，高等教育出版社， 1982，34～36。

[3] 八年級《數學》下冊課本[M]. 人教版， 2010（11）。

[4] 馬奧爾《勾股定理：悠悠 4000 年的故事》[M]，人民郵電出版社。

[5] 徐亞丹 勾股定理和勾股數 [J]，江陰職業技術學院基礎部，2007。

[6] 田雄飛 勾股定理的立體推廣[J]，北京市第八十中學。

[7] 賈軍行 勾股定理及其逆定理的應用[J]，中學課程輔導，2005。

[8] 李龍記 勾股定理法在井筒基準線快速找正中的應用[J]，中州煤炭，2007。