顛倒的總數和份數

陸靜

[摘 要]雖然小學階段的知識總是越直觀越好，對某些算式的解釋也是越通俗越好，如除法，就是將總數平均分配給若干對象，然后求每個對象分到的分量，但學生有時會誤認為大數就一定為總數，小數就一定為份數，一旦待分割的總量小于份數，學生的思路就會陷入死胡同。在教學中，教師有時可以故意調換總數與份數的位置，培養學生靈活運用解題策略的能力，讓學生活學活用。

[關鍵詞]總數;份數;顛倒

“用4千克的馬鈴薯可以提制淀粉1.6千克。照此計算，1千克的馬鈴薯可以提制多少千克的淀粉？要提制1千克淀粉需消耗多少千克馬鈴薯原料？”這樣的“馬鈴薯提制淀粉”類型題屢見不鮮，一個條件兩個問題，兩問題之間只是調換了單位量和分配量的位置，這對于學生來說不亞于一次腦力競賽，尤其對于學困生，他們總是難以辨明二者的區別，時常混淆。對于這類題目，一些資深的教師主要教授以下兩種解題方法。第一種：抓住問句的落腳點和中心詞，看到底求的是淀粉還是馬鈴薯。如果求的是淀粉，那就用淀粉的量除以馬鈴薯的量;如果求的是馬鈴薯，那就用馬鈴薯的量除以淀粉的量。第二種：看問題中已經定為單位“1”的是哪個量。如果問句中含有“1千克馬鈴薯”的表述，那就把馬鈴薯的量作為除數，淀粉的量作為被除數;如果問句中含有“1千克淀粉”的表述，那就反過來把淀粉的量作為除數，馬鈴薯的量作為被除數。在感慨這兩種解題妙法之余，筆者也有了自己的一些研究和體悟。

一、兩種解法，一種數量關系模型

以上兩種解法有異曲同工之妙，歸根結底就是遵守一個準則，那就是基本的數量關系模型：“總數[÷]份數=每份數”。第一種解法著重尋找總量，而第二種解法則偏重于份數，不管思路怎么變換，都是沿著不同路徑計算出“每份數”。如果把馬鈴薯的量看作總數，對淀粉進行配額，那么淀粉的量值就為份數，也就是1千克單獨為一份，用除法計算就可以算出每千克淀粉需要消耗多少千克的馬鈴薯，即題目的第二問。有了基本數量關系模型作為論據，筆者教學時信心倍增，下一步亟須解決的是如何讓學生理解。要讓學生深刻理解為什么總數和份數之間可以顛倒相除，這是教學的難點。受低學段整數除法的負遷移，學生印象中只有大數字可以除以小數字，大數會被默認為被除數，小數則被默認為除數。隨著數域的擴充，小數、分數不斷加入到數字的行列，這種守舊落后的觀念遲早要打破。因此要想解釋清楚這個問題，必須徹底鏟除學生心目中的小數不能除以大數的偏見。

二、顛倒表述，拓展至策略制定

怎么清除學生心目中的思想障礙，筆者采取了欲擒故縱的策略，給學生出了一道低學段的除法題：孤兒院有80間兒童房，平均分給40名孤兒居住，每名孤兒能分到幾間房？這道題顯然難不倒學生，列式80[÷]40=2（間）就可輕松解決問題。筆者馬上又跟進一個“換位思考”的問題：40名孤兒平均分給80間兒童房，平均每間房里住幾名孤兒？問題一出，學生都愣住了，仔細考慮后，還是有學生自告奮勇地列出算式：40[÷]80=[12]（名）。筆者從旁解釋：40名孤兒平均分配80間兒童房，最后每兩間房住一個人，也就是每間房住半個人。學生聽了筆者的解說，茅塞頓開，頻頻點頭稱是。借此機會，筆者講述了總數、份數在生活中有時是可以顛倒調換的，只是在低學段還沒有涉及小于1的分數和小數，所以不便論及。借此良機，學生再來解答“馬鈴薯提制淀粉”類問題就易如反掌了。

在新版教材中，解決問題的重心轉移到策略制定上，那么站在策略高度，碰到“馬鈴薯提制淀粉”類問題還有什么其他策略嗎？梳理小學階段的其他解題策略，有畫圖、列表等，但畫圖在此顯然不合時宜，可以嘗試列表。

分析表格可知，馬鈴薯和淀粉是有對應關系的，多少量的馬鈴薯對應提制多少量的淀粉，馬鈴薯的數量增加，淀粉的數量也相應增加，淀粉的數量減少，馬鈴薯的數量也相應減少。既然存在這般對應關系，那問題就很明了了，比如表格中4千克馬鈴薯→1千克馬鈴薯，馬鈴薯的數量縮小了4倍，那么提制淀粉的數量也應相應縮小4倍，變為1.6[÷]4=0.4（千克）;提制淀粉1.6千克→提制淀粉1千克，淀粉的數量縮小了1.6倍，那么馬鈴薯的數量也應隨之縮小1.6倍，變為4[÷]1.6=2.5（千克）。利用列表策略可以清晰反映出馬鈴薯和淀粉之間的隨動關系，只有看清了對應關系，解答起來才能駕輕就熟。

三、觸類旁通，策略的廣泛應用

列表策略在“馬鈴薯提制淀粉”類型問題上作用巨大，比如，200克馬鈴薯可以提制淀粉40克，照此計算，要提制淀粉200克，需要馬鈴薯多少克？有1千克馬鈴薯可以提制淀粉多少克？碰到這類問題，列表找對應關系比思考辨析總數、每份數要便利得多。可見，在策略意識的培養上，教師不能因循守舊，而應該引導學生活學活用。

上面提到的都是有關“馬鈴薯提制淀粉”的問題，那么在掌握“馬鈴薯提制淀粉”的基本解題策略后，該策略還有哪些拓展應用？常見的有類似例題：李明經常騎車上學，上學時走上坡路，每小時行3千米，放學時走下坡路，每小時行4千米。李明騎車上學的平均速度是多少？此題貌似缺少路程這一條件，而且看上去跟“馬鈴薯提制淀粉”問題風馬牛不相及，但仔細琢磨，“走完1千米需要幾小時”，不就是“馬鈴薯提制淀粉”問題的翻版嗎？把條件“上學每小時騎行3千米”看似簡單的“馬鈴薯提制淀粉”問題其實并不簡單，一些繁難的問題通過“馬鈴薯提制淀粉”式的另類解讀便可輕松化解。可見，解數學問題時應該透過現象直擊本質，只有把握本質才能走得更遠。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 甄慰.以問題細化“閱讀與理解”，提升“解決問題”能力——以“解決問題——怎樣租船最省錢”的教學為例[J].小學教學參考，2019（5）：45-46.

[2] 黎金彩.淺談數學思想方法的有效滲透[J].小學數學教育，2018（23）：28-29.

[3] 馬增福.小學數學“模型思想”中“核心素養”解讀——以人教版小學數學為例[J].教育實踐與研究（A），2018（11）：4-11.

（責編 羅 艷）