借助數(shù)軸認(rèn)識(shí)假分?jǐn)?shù)，突破單位“1”的局限

張龍昌

[摘 要]分?jǐn)?shù)具有多重意義，教材一般是從分?jǐn)?shù)的“平均分”角度開始，到分?jǐn)?shù)的數(shù)字意義煞尾，使得分?jǐn)?shù)的意義得到補(bǔ)充和擴(kuò)展，教材還引進(jìn)數(shù)軸來拓展分?jǐn)?shù)的概念內(nèi)涵，但如果使用不當(dāng)，將不利于學(xué)生對(duì)假分?jǐn)?shù)的掌握。引入數(shù)軸需謹(jǐn)慎，要借助數(shù)軸幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)假分?jǐn)?shù)，從而突破單位“1”的局限，疏通思維阻塞。

[關(guān)鍵詞]數(shù)軸;假分?jǐn)?shù);單位“1”

一位特級(jí)教師執(zhí)教蘇教版教材第十冊(cè)“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”一課時(shí)，引進(jìn)伸縮性的長(zhǎng)條演化成數(shù)軸，然后借助數(shù)軸來揭示假分?jǐn)?shù)的起源和含義，整個(gè)假分?jǐn)?shù)教學(xué)過程始終抓住“初等數(shù)軸”這個(gè)模型。數(shù)軸能將所有的數(shù)集融合起來，方便學(xué)生直觀理解。但事與愿違，教學(xué)效果卻很不理想，學(xué)生對(duì)數(shù)軸始終提不起興趣，越學(xué)越糊涂。那么，學(xué)生接納假分?jǐn)?shù)的切入點(diǎn)在哪里？對(duì)于數(shù)軸，學(xué)生究竟了解多少？為此，筆者從8所同級(jí)小學(xué)的五年級(jí)中各抽調(diào)一個(gè)教學(xué)班（參與調(diào)研的學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)度還沒有到達(dá)第十冊(cè)“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”這一章，他們只是在三年級(jí)對(duì)分?jǐn)?shù)有初步的接觸）進(jìn)行訪談?wù){(diào)研。

一、對(duì)假分?jǐn)?shù)掌握情況的測(cè)評(píng)調(diào)研調(diào)研試題：

1.用分?jǐn)?shù)表示涂色部分。

2.在直線上畫出表示分?jǐn)?shù)[13]、[23]的點(diǎn)。

對(duì)于第1題的第（3）問，有相當(dāng)一部分學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為答案為[58]。通過訪談，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生沒有領(lǐng)會(huì)大括號(hào)連接兩個(gè)圓盤的深刻用意，也沒有正確辨別“大括號(hào)”符號(hào)與“集合”符號(hào)的區(qū)別，將示意圖⑶與示意圖⑷相提并論。他們并不理解，將兩個(gè)圓盤中的一個(gè)視為單位“1”，第二個(gè)圓盤則是超出單位“1”的份額，這樣來表示分?jǐn)?shù)的話，總份數(shù)也就是分母為4，選取的份額也就是分子為5，構(gòu)成分?jǐn)?shù)[54]。學(xué)生普遍感到困惑，分?jǐn)?shù)的分子怎么能比分母大？這時(shí)學(xué)生的思維阻塞，需要及時(shí)疏導(dǎo)。

審視第2題的作答情況，許多學(xué)生把分?jǐn)?shù)[13]、[23]錯(cuò)誤地標(biāo)注在數(shù)軸上的整數(shù)“1”和“2”的坐標(biāo)處。學(xué)生出錯(cuò)的原因主要有兩點(diǎn)：一是沒有正確認(rèn)識(shí)數(shù)軸上的單位“1”，不知道將數(shù)軸上一個(gè)單位長(zhǎng)度（兩個(gè)相鄰整數(shù)間距）看作單位“1”;二是簡(jiǎn)單地將數(shù)軸等同于線段，將坐標(biāo)距離等同于線段長(zhǎng)度來表示分?jǐn)?shù)。

二、正確理解單位“1”，疏通思維阻塞

以往教學(xué)生探析分?jǐn)?shù)，都是從部分占整體份額比這個(gè)角度來定義分?jǐn)?shù)，實(shí)際上是把單個(gè)物品、一個(gè)計(jì)量單位或一堆物品構(gòu)成的集合視為單位“1”，在把單位“1”平均分成若干份，取其中一份或者幾份的情況下生成分?jǐn)?shù)。在學(xué)生的意識(shí)形態(tài)里，單位“1”是“整體性”的概念，也就是所有的、全部的囊括所有個(gè)體的大全集，拿取的份額封頂也只能達(dá)到單位“1”，也就是拿走全部，但是不能超出單位“1”，因?yàn)槿庖呀?jīng)沒有多余的了，這種偏見非常頑固。對(duì)單位“1”的偏見變成了學(xué)生對(duì)假分?jǐn)?shù)的認(rèn)知障礙。對(duì)于調(diào)研試題第1題（3）問，許多學(xué)生都把兩個(gè)圓盤組合起來，將其整體視為單位“1”，誤認(rèn)為涂色部分是[58]。要讓學(xué)生正確認(rèn)識(shí)假分?jǐn)?shù)，當(dāng)務(wù)之急就是要矯正和扭轉(zhuǎn)學(xué)生對(duì)單位“1”的偏見，重新正視單位“1”，理性與包容地看待把單個(gè)物品或者一定容量的整體設(shè)立為單位“1”，其余部分參照原單位“1”一律作為份額，不再出現(xiàn)第二個(gè)單位“1”。否則，學(xué)生無法心悅誠服地接受假分?jǐn)?shù)，也無法領(lǐng)會(huì)假分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)內(nèi)涵，更遑論解放思想，疏通思維阻礙了。

三、引入數(shù)軸需謹(jǐn)慎

現(xiàn)行各版本教材統(tǒng)統(tǒng)都是從“數(shù)尺”中抽象出“數(shù)線”，再將“數(shù)線”加工處理成“數(shù)軸”，這樣的過渡設(shè)計(jì)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，確立了數(shù)軸的地位。但運(yùn)用數(shù)軸表示分?jǐn)?shù)存在弊端，學(xué)生除了不能明確判斷數(shù)軸上的單位“1”外，還有許多更深層次的原因。在數(shù)軸上表示分?jǐn)?shù)與分面積、分割實(shí)物來表示分?jǐn)?shù)不同，數(shù)軸除了表示數(shù)量，也就是基數(shù)性，還有序數(shù)性。用面積、實(shí)物模型刻畫分?jǐn)?shù)，選取的部分比較隨意，沒有規(guī)定的順序，可以是其中任意幾等份，所表示的份額只是代表具體數(shù)量，即單純的比較大小。而數(shù)軸上表示分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)除了具備反映份額大小的功能，還能反映順次。數(shù)軸上表示的分?jǐn)?shù)，從左至右依次增大，它們的次序不可調(diào)換。

在教學(xué)假分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)該將數(shù)軸作為唯一的直觀載體，還是把它作為揭示假分?jǐn)?shù)的輔助手段，教師需謹(jǐn)慎考慮。

（責(zé)編 黃春香）