“找次品”方法再探究

華有稱

[摘 要]找次品的策略包含了邏輯推理思維，教學(xué)“找次品”時(shí)，不僅要教會(huì)學(xué)生分析推理的方法，還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)從基本類型入手，最后總結(jié)出一般的計(jì)算法則。

[關(guān)鍵詞]找次品;三分法;公式

“找次品”是人教版教材五年級(jí)下冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”中的內(nèi)容，為了有效開(kāi)展“找次品”教學(xué)，筆者特意拜讀了《稱有形·找有方·用有數(shù)——談“找次品”的方法與提升策略》《我的方法和結(jié)論》《用合理的方法導(dǎo)出合適的結(jié)論——有關(guān)“找次品”問(wèn)題的思考》三篇文章。后兩篇文章專門針對(duì)第一篇文章中的錯(cuò)漏提出批評(píng)意見(jiàn)。這種圍繞同一學(xué)科問(wèn)題展開(kāi)激烈爭(zhēng)辯，引起學(xué)術(shù)爭(zhēng)鳴的做法，值得提倡。令人惋惜的是，這三篇文章都犯了一個(gè)致命的錯(cuò)誤，那就是出現(xiàn)了結(jié)論性的硬傷。同一個(gè)問(wèn)題引起三位教師的爭(zhēng)論，而每個(gè)人都犯了結(jié)論性的錯(cuò)誤，這個(gè)問(wèn)題的復(fù)雜性和難度可見(jiàn)一斑，而且至今沒(méi)有達(dá)成共識(shí)。因此，筆者想繼續(xù)深入探討這個(gè)問(wèn)題。

一、從分組實(shí)驗(yàn)中注意到“三分法”

在此，筆者先來(lái)研究“當(dāng)次品重于正品如何找次品？”這一問(wèn)題。按照課本的指示，研究這類問(wèn)題時(shí)，一般做法是先分組，然后稱重比較重量大小，最后進(jìn)行邏輯推理。通過(guò)嘗試不同的分組方法，選出了最優(yōu)分組方案。最終證明，“三分法”為最優(yōu)方案。從教學(xué)上看，這個(gè)過(guò)程可以培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、推理等綜合能力。對(duì)于五年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，采用這樣一個(gè)較為簡(jiǎn)單的模型（找次品），非常合適。但是由這樣的方式總結(jié)出“三分法”為最優(yōu)方案的結(jié)論，這種模型顯然并不合適。因?yàn)檫@需要一個(gè)合情推理的過(guò)程，而此時(shí)，歸納思維十分復(fù)雜，體現(xiàn)在兩個(gè)方面。

一是從特殊到一般的歸納需要大量案例。在這里，具體案例是從2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)……物品中找到次品，如何分組稱量最省事，至少稱量幾次可以篩選出次品。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，每一次實(shí)驗(yàn)都很漫長(zhǎng)，受到時(shí)間限制，很難做完大量實(shí)驗(yàn)。

二是在不同個(gè)案中“分組”的重要程度不一樣，即使列舉大量事實(shí)，歸納時(shí)也很難注意到“分組方法”，特別是“三分法”。具體實(shí)驗(yàn)時(shí)，多數(shù)時(shí)候無(wú)法采用“三分法”，因?yàn)橛袝r(shí)物品的數(shù)量無(wú)法被“三等分”，即使可以“三等分”，“三等分法”也并不是總有必要。簡(jiǎn)單回顧一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，除了從8個(gè)或9個(gè)物品中找次品，需要“三等分”或“盡可能三等分”以外，其余數(shù)量都無(wú)此必要。正因?yàn)槿绱耍S多教師認(rèn)為“三分法”的提出很突兀。

二、從“三分法”的由來(lái)中總結(jié)出策略

不得不承認(rèn)，上述篩選出最優(yōu)稱量方案的過(guò)程，本身就是一種思想的進(jìn)步，但其沒(méi)有觸及問(wèn)題本質(zhì)，因而產(chǎn)生爭(zhēng)議。當(dāng)一個(gè)人采用某種方案解決問(wèn)題使問(wèn)題本身越發(fā)復(fù)雜時(shí)，就應(yīng)該改弦更張，另找出路。下面我們具體研究一個(gè)“找次品”的實(shí)例。

比如，從100個(gè)零件中稱量出超重的一個(gè)次品，需要確認(rèn)的條件有兩個(gè)：一是明確除了超出標(biāo)準(zhǔn)重量的那一個(gè)零件外，其余99個(gè)零件一樣重;二是有一個(gè)可以比較輕重的杠桿。通過(guò)杠桿一次次比較輕重。其實(shí)每一步稱量的方法都一樣，以后不斷重復(fù)第一步。因?yàn)橛?00個(gè)物品，所以第一次衡量輕重的方案有很多，如：

稱法一：杠桿左右兩邊各放置50個(gè)零件，記作（50，50）。

稱法二：杠桿左右各放置40個(gè)零件，另20個(gè)零件暫時(shí)不管，記作（40，40，20）。

下面辨析哪種方案更優(yōu)。為此，我們?cè)敿?xì)分析兩種分法面臨的難題。“稱法一”中，杠桿肯定無(wú)法平衡，于是斷定次品摻雜在較重的50個(gè)中;“稱法二”中，杠桿可能出現(xiàn)平衡和不平衡兩種情況。若平衡，次品必然摻雜在另外20個(gè)中;若不平衡，次品摻雜在較重的40個(gè)中。因此在“稱法一”中，第一次稱量后，必須繼續(xù)在較重的50個(gè)零件中繼續(xù)尋找;“稱法二”中，將從20個(gè)零件或40個(gè)零件中尋找次品。我們有一個(gè)慣性思維，那就是數(shù)量少的物品比數(shù)量多的物品找次品更容易。于是覺(jué)得，方案2優(yōu)于方案1。進(jìn)一步思考，能不能優(yōu)化方案2？如杠桿左右兩邊各放39個(gè)，余下22個(gè)暫時(shí)擱置不理。這樣進(jìn)行分配，顯然比前一種分配方案更好。

沿著這個(gè)思路進(jìn)一步思考，于是得出兩種“最佳稱法”：稱法A（33，33，34），稱法B（34，34，32）。

以上兩種方案的共同點(diǎn)是：第一次稱量之后，都可能面臨從34個(gè)零件中挑揀次品的問(wèn)題，34成為最小值。稍加總結(jié)，可以發(fā)現(xiàn)杠桿兩端的數(shù)量，或者剩余的數(shù)量，就是下一次需要重新分配稱量的總量。當(dāng)然，第二次稱量的總量越少越好，但是先期稱量的數(shù)量與放置一旁的數(shù)量此消彼長(zhǎng)。于是權(quán)衡利弊：為了確保第二次稱量的總量最少，達(dá)到穩(wěn)定值，于是就將放置在杠桿兩端的數(shù)量與閑置一旁的數(shù)量盡量相等，也即是所謂的“三分法”。由上述討論不難看出，所謂“分三組”，其實(shí)是由杠桿特性決定的，杠桿一次可以比較兩份重量，再加上暫擱一旁的一份。這樣，零件自然被分成3組，特殊情況下，暫擱一旁的零件數(shù)量為0。大膽設(shè)想，假若創(chuàng)造一種十字杠桿，可以同時(shí)放置四份零件，無(wú)疑就要用到“五分法”。

三、從找次品的難度中總結(jié)公式

至此，我們探索到了“找次品”的方法，但這還不行，因?yàn)橹庇X(jué)告訴我們“零件越少，次品越好找”，最優(yōu)方案并不一定需要“盡量三分”。那么，方案最佳的必備條件是什么呢？我們已經(jīng)確認(rèn)，從2個(gè)或3個(gè)零件中挑揀次品，只需—次。在此記作：一次（2，3）。

再研究4個(gè)零件中挑揀次品的方案。

此時(shí)，第一次稱量有兩種方法：（2，2，0）和（1，1，2）。

無(wú)論采用哪種方法，都要考慮從2個(gè)零件中找次品的第二次操作。這個(gè)已經(jīng)解決，需要1次稱量。于是從4個(gè)零件中找次品，需要2次稱量。

類似的，從5個(gè)零件中找次品，也需要2次稱量。

再研究從6個(gè)零件中找次品的例子，此時(shí)，首次稱量有三種方法：（1，1，4），（2，2，2），（3，3，0）。

上述第一種方法，需要考慮從4個(gè)中找次品，還需2次。而上述第二、三種方法中，需要從2個(gè)或者3個(gè)中找次品，還需一次。因此，上述第二、三種方法為最優(yōu)方案。從6個(gè)物品中找次品，最多也需2次稱量。

繼續(xù)推理：

需2次稱量：4、5、6、7、8、9個(gè)零件;

需3次稱量：10、11、12、13…26、27個(gè)零件;

需4次稱量：28、29、30…80、81個(gè)零件。

至于具體方法，比如在35個(gè)零件中找次品，只需要保證第二次稱量的數(shù)量風(fēng)險(xiǎn)控制在27以內(nèi)即可。比如可以分為（4，4，27）或者（10，10，15），即稱一次后，剩下的最大值要進(jìn)入下一個(gè)值域里。

概括起來(lái)，對(duì)于從n個(gè)零件中找次品，當(dāng)[3k-1

關(guān)于次品不知輕重的“找次品”問(wèn)題更復(fù)雜。以4個(gè)零件為例（不知次品輕重）：將4個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)（1，2，3，4）。第一次稱量1號(hào)和2號(hào)，若平衡，則次品藏在3號(hào)和4號(hào)中;第二次稱量2號(hào)和3號(hào)，若平衡，則次品就為4號(hào)零件，若不平衡，次品則確定為3號(hào)零件，如果第一次稱量1號(hào)和2號(hào)就不平衡，那么推定次品為1號(hào)或者2號(hào)其中之一，再將1號(hào)和2號(hào)分別與3號(hào)稱量比較，不與3號(hào)平衡者為次品。

（責(zé)編 黃春香）