輻射流立方定理的推導及試驗研究

2019-08-06 02:29:48丁林楠柴軍瑞許增光

水資源與水工程學報 2019年3期

丁林楠，柴軍瑞，覃源，許增光

(西安理工大學西北旱區生態水利工程國家重點實驗室，陜西西安 710048)

1 研究背景

對于裂隙流的研究，是從長直流光滑平行板的提出開始。著名的立方定理，正是對光滑平行板中水流特性的定性描述。然而，立方定理的適用性存在許多限制條件。例如，隙寬和水力梯度是恒定值，流速梯度與流動方向相垂直[1]。天然裂隙并不完全滿足以上條件，導致實際流速偏離了立方定理的預測值[2-3]。盧占國等[4]對實際平行裂隙下的立方定理進行修正，并根據隙寬和流速劃分了線型滲流和非線性滲流。朱紅光等[5]根據粗糙度對水流產生的非線性影響，建立了巖石裂隙非線性幾何模型。

許多學者在研究隙寬空間變化的基礎上，得到了局部立方定理[6]。局部立方定理的應用同樣存在假設前提，例如結構面的中和面為平面并且每一個局部點都滿足立方定理[7]。然而，由于曲折度的存在使以上條件很難滿足。學者們從不同方面探討了局部立方定理的適用性。對于不對稱結構面，有學者通過限制結構面的幾何特征驗證局部立方定理的有效性[8-9]。局部立方定理由Stokes方程推導而出，其忽視了慣性力的影響。因此，Alyaarubi等[10]認為低慣性力是局部立方定理的適用條件，并根據理論分析和試驗將限制條件定為Re<1。Wang Lichun等[7]在考慮曲折度、粗糙度和Re數的影響下，對局部立方定理進行了修正。Mgaya等[11-12]基于深度平均的Navier-Stokes方程建立了新的模型，通過該模型得到的數值結果與試驗值具有較高的吻合度[13]。Kishida等[14]發明了一種同時包含滲流試驗和隙寬測量的試驗系統，通過該系統研究了不對稱單裂隙結構面的滲流規律。

不論是立方定理還是局部立方定理，以上的研究均集中在長直流方面。研究表明，鋼筋混凝土襯砌在高水頭作用下，容易產生裂縫，導致圍巖直接承受高壓水的作用[15]。其滲流方式不同于長直流，而是由內向外的輻射流。這時的平行板二維模型將不再適用，取而代之的是三維輻射流。Cao Cheng等[16]在試驗基礎上提出了輻射流立方定理的半理論半經驗公式。本文進一步研究輻射流，通過理論分析推導輻射流立方定理。根據水力試驗，研究立方定理對平行板和規則齒幅射流的適用性。

2 輻射流平行板

本文所討論的輻射流光滑平行板，由兩塊光滑、平直的圓形平行板組成，注水孔位于平行板的圓心。水流由中心注水孔向四周均勻擴散。為了與下文的水力試驗相匹配，將中心注水孔設置在下試件。幾何形狀示意圖如圖1所示。

圖1 輻射流光滑平行板幾何示意圖

2.1 輻射流平行板水流分布特性

對于巖體裂隙而言，流體的運動受N-S方程控制(3組非線性偏微分方程)，可以按公式(1)表達[1]：

(1)

式中:u為速度矢量，m/s；μ為流體的動力黏滯系數，kg/(m·s)；P為水壓力，Pa；f為單位質量力，N；ρ為流體的密度，kg/m3。N-S方程描述了流場中流體所受到的慣性力、壓力、黏性力和質量力之間的演變關系。N-S方程本身不閉合，在求解變量(u,P)時，需要配合流體的質量守恒方程共同進行求解，對于不可壓縮流體，質量方程為[7]：

▽·u=0

(2)

運用Prandtl邊界層分析法[17]，分析慣性力和黏性力具有相同數量級的黏性區范圍，沿流動方向對水流進行受力分析，如圖2所示。

圖2 流動方向上流體的慣性力和黏性力示意圖

慣性力大小：

(3)

黏性力大小：

(4)

數量級關系：

(5)

本文用δ表示z方向上的特征長度；用輻射范圍半徑R與中心注水孔半徑r0的差值△r=R-r0表示r方向的特征長度，并稱之為凈輻射范圍；水流沿徑向的平均速度U為r方向的特征速度。將以上特征值代入公式(5)，可得：

(6)

對于飽和裂隙流而言，輻射流濕周χ=2πr×2，過水斷面面積A=2πr·b，水力半徑R=A∕χ=b/ 2。Re數的特征長度為水力半徑的4倍，故輻射流的特征長度為隙寬的2倍[18]。

(7)

式中：ν為流體的運動黏滯系數，m2/s；b為裂隙隙寬，m。

根據流量守恒原理，輻射流平行板的水流在向外輻射的過程中，流速由內向外逐漸減小。由公式(6)知，慣性力的削弱與流速的二次方成正比，而黏性力的削弱與流速的一次方成正比。隨著水流向外流動，慣性力的作用將逐漸被黏性力取代。當入射水流具有較大Re，即慣性力較大時，水流呈現出兩種狀態，慣性力起主導作用的勢流區和慣性力、黏性力旗鼓相當的黏性區，本文將這一段距離稱為“強慣性帶”。輻射過程中水流的流速變化如圖3所示。

圖3 輻射過程中流速分布變化示意圖

隨著慣性力的削弱，當慣性力相對黏性力可以忽略時，稱水流處于“弱慣性帶”。

(8)

公式(8)與公式(6)在黏性力的表述方面有所不同，公式(8)中黏性區厚度δ由隙寬b取代，此時的裂隙流完全處于黏性區。本文用ε表示中心注水孔半徑r0與輻射范圍R的比值，并稱之為輻射比。為了同時考慮凈輻射范圍和輻射比的影響，用中心注水孔處的初始Re0判斷水流能否進入弱慣性帶。

(9)

2.2 輻射流立方定理

在輻射流平行板中，當內外水頭差恒定時，水流在平行板中形成恒定流。對于不可壓縮的恒定滲流，當其滲透系數不存在各向異性時，水頭函數滿足Laplace方程，其柱坐標下的形式[19]為：

(10)

根據Darcy定理，輻射流平行板上的流量與水頭梯度成正比,即：

(11)

式中：k為裂隙的水力傳導系數。

由公式(10)、(11)得到流量隨總水頭的變化關系：

(12)

通過N-S方程求解水力傳導系數k。其在柱坐標下的形式[20]為：

(13)

根據2.1節關于輻射流平行板水流分布特性的研究，當水流的初始Re0滿足公式(9)時，慣性力可以近似忽略。假設滿足此條件，對N-S方程簡化：

(14)

通過數量級分析法對比分析公式(14)中的黏性力項。隙寬b的量級比輻射范圍r的量級小，而z與b的量級相同。令φ?1，表示b的量級；用1表示r和Ur的量級。公式(14)中黏性力的兩項，量級分別為-Ur/r2∽1/1, ?2Ur/?z2∽1/φ2。為了使?2Ur/?z2的量級為1，運動黏滯系數ν的量級必為φ2。略去高階無窮小量后，對流速Ur沿隙寬積分，單寬流量q與水力傳導系數k分別為：

(15)

(16)

將k值代入公式(12)得輻射流立方定理：

(17)

3 水力試驗

3.1 試驗系統

本次試驗采用TJXW-600型微機控制巖石節理直剪滲流耦合試驗機。該試驗機由電液伺服加載系統、多通道閉環測控系統、滲流調控系統等組成，其基本結構示意圖和實物圖如圖4所示。

試驗系統可提供法向與切向荷載來模擬實際巖體裂隙的受力情況。法向荷載與切向荷載由靜音式伺服油源提供，其最大荷載值均為600 kN。試驗系統在法向方向上的可控邊界條件為常法向應力(CNL)，可用來模擬法向應力不變的無支護邊坡穩定問題。

力傳感器采用輪輻式負荷壓力傳感器，不同應力下應變片的阻值有所不同，通過測量不同阻值下電壓的變化，并通過后續的儀表放大器進行放大來精確測量荷載值，所得荷載示值精確度為±1%。位移傳感器采用拉線式，將機械位移量轉換成可計量的電信號來精確測量位移，切向位移精度為0.04 mm，法向位移精度為0.003 mm。滲流增壓系統采用氣壓加壓方式，將氮氣、水箱及剪切盒有效連接。其最大水壓力達3 MPa，儲水量為10 L。在出水口的集水計量裝置處設置流量測量裝置，可精確測量不同水壓下的流量，流量示值精確度為±0.1%。Multli-05全數字多通道閉環測控儀采用先進的自適應PID算法，使系統參數的控制量得到線精度的閉環控制，從而實現等速加載卸載、恒定法向力、恒定法向位移等功能。密封剪切盒由上、下兩部分組成，下試件固定并鉆有中心注水孔，上試件與加載器直接接觸，可發生移動。滲水從下試件中心注水孔注入，向四周流動。

3.2 試件及試驗方案

立方定理建立在理想的光滑平行板結構，而天然裂隙的輪廓線并非平直、光滑。為了驗證立方定理的適用性，制作了光滑平行板和規則齒兩種試件。試件用石膏材料和水按質量比為4∶1攪拌均勻后，注入特定模具中，等試件凝固硬化后脫模。中心注水孔半徑為4 mm，輻射范圍R=100 mm。試件如圖5所示。

由于TJXW-600試驗機不具有測量初始隙寬的功能，在試件之間放置0.3 mm厚度的金屬墊片充當初始隙寬，利用線性變位計(LVDT)獲取隙寬值的變化。

圖4 TJXW-600型微機控制巖石節理直剪滲流耦合試驗機

圖5 試驗試件實物圖

光滑平行板用來驗證光滑、平行狀態下立方定理與實際過流能力的吻合程度；規則齒用來研究立方定理對于粗糙裂隙面的適用性。對光滑平行板和規則齒分別在0.1、0.2和0.4 MPa水壓下進行水力試驗，試驗方案如表1所示。

表1 水力試驗方案

3.3 試驗結果及分析

不同方案流量隨隙寬的演變如圖6所示。水力壓強為0.1 MPa時，平行板和規則齒的流量基本相同。隨著水力壓強的增大，規則齒的流量將小于平行板的流量。在初始隙寬0.3 mm處，相比于平行板，規則齒的流量在水力壓強為0.2、0.4 MPa時分別減小7.9%、14.6%。6種試驗方案在單位水頭下流量Q/ΔH隨隙寬的演變，如圖7所示。在0.1 MPa水力壓強下，平行板的流量與立方定理吻合良好，規則齒的流量略小于平行板。隨著水力壓強的增大，實際流量將小于預測流量。水力壓強為0.2、0.4 MPa時，平行板的流量平均比立方定理分別小28.9%、32.9%。

以上結果表明，粗糙度和水力壓強的增大，都會使水流偏離線性Darcy流，表現出非線性流特性。用Forchheimer公式[19]表述(公式(18))，非線性流的出現使相同水力梯度(J)下的流速(v)減小，從而導致流量相對預測值下降。

J=av+bvm

(18)

式中：a、b為常數，與水力傳導系數相關；m與流態相關，m=1屬于層流滲流，m=1～2為過渡區滲流，m= 2屬于粗糙區滲流。

圖6 各試驗方案下流量隨隙寬的演變

圖7 單位水頭下流量隨隙寬的演變

根據上文對立方定理的推導，其初始Re0需滿足公式(9)。在水力試驗中，隙寬從0.3 mm逐漸減小，初始隙寬0.3 mm對應Re0的邊界限制條件。將立方定理和初始隙寬代入公式(9)，得到水頭的限制條件 4.732 m。而在水力試驗結果中，水力壓強為0.1 MPa(約10 m水頭)時，平行板流量依然滿足立方定理，表明通過公式(9)判斷平行板是否滿足立方定理偏于安全。