基坑穩定性的塑性極限分析上限法研究

李 澤， 胡 政， 彭 普， 劉 毅

(昆明理工大學 建筑工程學院， 云南 昆明 650500)

1 研究背景

基坑的整體穩定性驗算是基坑支護設計中的一個關鍵環節，穩定性合格與否直接關系著基坑工程的安全與穩定。目前，基坑整體穩定性分析的主要方法有極限平衡法、極限分析法和基于強度折減的有限元法等。

極限平衡法主要有：瑞典圓弧法、條分法等，而條分法又根據對條間力假設的不同分為Kray法、簡化Bishop法等簡易條分法和Janbu法等考慮條間力影響的嚴格條分法[1]。這一類方法通常需要事先假定滑裂面，通過對滑裂面上土體的條分和假設條間力的大小或方向，從而將問題簡化求解。正是憑借其簡單便捷的特點，極限平衡法在我國巖土工程領域得到廣泛應用，殷佩生等[2]采用圓弧滑動法并結合Boussinesq解，進行了可考慮地面局部荷載的基坑穩定性分析；徐永剛等[3]基于極限平衡法研究了施工與交通超載作用下軟土地連墻基坑整體穩定性。但是由于極限平衡法不能考慮巖土體的應力應變關系以及巖土體同支護結構的共同作用，這勢必會影響穩定安全系數的準確度，所以其不適用于某些復雜的基坑整體穩定性分析。

基于強度折減理論的有限單元法是將強度折減理論和有限單元法相結合，在使得巖土體滿足平衡條件、變形協調條件的同時，還能滿足本構關系。強度折減有限元法通過折減土體強度參數，在有限元計算出現不收斂時，得到的強度儲備系數即為安全系數。如胡安峰等[4]基于強度折減有限元法，使用Plaxis中土體硬化模型，通過有限元計算中特征點位移的突變對基坑整體穩定性進行收斂判斷，研究了使用強度折減有限元法分析基坑整體穩定性時本構模型的影響規律。

極限分析法是以塑性極限分析上、下限定理為依據的穩定性分析方法，通過構建基坑的機動許可速度場和靜力容許應力場來求解基坑土體在極限狀態下真解的上下限，計算精度較高；另外，由于避開了巖土體復雜的本構關系，其計算效率比強度折減有限元法更高。隨著計算機技術的快速發展，塑性極限分析方法在近年來得到了更為廣泛的應用，如郭紅仙等[5]采用極限分析定理與有限元離散相結合的極限分析有限元法研究了土釘長度對于土釘支護軟土基坑整體穩定性的影響，其不僅具有嚴格的理論基礎，又有有限元的強適用性。目前極限分析方法已在邊坡穩定[6-9]、地基承載力[10-12]、擋墻土壓力[13]、隧道開挖面穩定[14-15]、邊坡可靠度[16]等方面取得了許多成功的應用，但是將極限分析法應用于基坑穩定性分析中的成果相對較少。鑒于此，本文將塑性極限分析上限定理、有限元離散思想和數學規劃理論結合起來，以超載系數為目標函數建立求解基坑整體穩定安全系數的上限法數學規劃模型，并使用優化手段尋找接近真實破壞模式的速度場及對應安全系數的上限解，提出一種基坑整體穩定性分析的上限法。

2 極限分析上限法理論及假定

滿足塑性流動約束條件和速度邊界條件的速度場稱為機動許可速度場。物體受力變形時，存在著無數個機動許可速度場，根據上限定理，在與所有機動許可速度場相對應的外荷載中，極限荷載最小。因此，上限法的目的是通過構建巖土體的機動許可速度場，建立巖土體穩定分析的數學規劃模型，優化求解極限荷載(或安全系數)的上限。

將基坑開挖影響范圍內的土體作為研究對象，為了能夠使用有限元離散方法構建基坑土體的機動許可速度場，做如下假設：(1)土體為理想塑性材料且服從關聯流動法則；(2)僅考慮土體的平動力學效應，即土體的失穩破壞形式為剪切滑移破壞。

3 有限單元法離散基坑土體

為了能夠準確模擬基坑開挖影響范圍內土體的力學特性，使用非共節點三角形有限單元對基坑土體進行離散。非共節點三角形有限單元如圖1(a)所示，相鄰單元之間公共邊上的速度間斷如圖1(b)所示。

4 基坑整體穩定性分析上限法數學規劃模型

基于有限元數值離散的塑性極限分析上限法的基本原理是：首先將巖土體離散，然后構建滿足塑性流動約束條件和速度邊界條件的機動許可速度場，并以內功功率等于外功功率為約束條件，建立以超載系數為目標函數的基坑整體穩定性分析上限法數學規劃模型，最后利用優化算法，求解得到極限荷載(或安全系數)上限解及對應的速度場。本文在建立基坑穩定性分析的機動許可速度場時，采用類似文獻[6]的方法。

4.1 三角形單元塑性流動約束條件

本文采用單元的變形協調條件，并結合關聯流動法則和屈服條件來推導三角形單元的塑性流動約束條件。根據上限法理論，由屈服條件結合關聯流動法則得到的塑性應變率分量和由單元變形協調條件得到的應變率分量二者相等。故三角形單元的塑性流動約束條件可以寫成公式(1)：

(1)

其中：

Bk=cos(2πk/p)+sinφi,Ck=-cos(2πk/p)+sinφi,Dk=2sin(2πk/p)

圖1 三角形有限單元離散

4.2 公共邊速度不連續約束條件

為了滿足機動許可條件，單元公共邊上沿切向、法向速度間斷值必然符合關聯流動準則，結合單元公共邊塑性屈服準則及關聯流動法則，則相鄰單元A、B公共邊f的速度不連續約束條件矩陣形式為：

(2)

其中：

4.3 速度邊界條件

機動許可速度場在邊界上需要滿足已知的速度邊界條件，則三角形單元速度邊界條件可以寫成如下矩陣形式：

a31uc=a32

(3)

4.4 內外功功率相等條件

由虛功原理，基坑穩定性上限分析時，外力所做的虛功功率和土體中內能耗散功率相等。本文中巖土體有限單元內部和單元公共邊的速度不連續面均存在塑性流動，因此內能耗散包括有限單元的內能耗散和速度不連續面上的內能耗散。

三角形有限單元的內能耗散可按下式計算：

(4)

式中：Ci=2Aicicosφi[1…1]，ci為三角形單元材料的黏聚力，kPa；φi為三角形單元材料的內摩擦角，(°)。

速度不連續面上的內能耗散為：

(5)

式中：Cf=0.5cflf[1 1 1 1];cf為公共邊f的黏聚力，kPa；lf是公共邊f的長度，m。

本文外功功率包括自重和邊界上的荷載向量在單元節點速度上所做的功。故利用上限法進行基坑穩定性分析時，外功功率如下。

三角形單元節點速度上由于巖土體自重所做的外功功率為：

(6)

外力荷載向量在三角形單元節點速度上所做的外功功率為：

(7)

式中：Fi=[fx1fy1fx2fy2fx3fy3]為外荷載形成的節點荷載列向量，kN；fxi、fyi,(i=1,2,3)分別為單元節點等效荷載向量在x、y方向的分量，kN。

根據虛功原理，并結合超載系數λ1，得到有限元內外功耗散相等條件為公式(8)：

(8)

(9)

4.5 目標函數

基坑穩定性上限分析時可將容重超載系數λ1作為目標函數，并求目標函數最小值。由公式(9)，目標函數可以表示為：

(10)

4.6 基坑整體穩定性分析上限法數學規劃模型

為了求解基坑在受力作用時整體穩定安全系數(或極限荷載)上限解及對應的破壞機構，集成目標函數式(10)、約束條件式(1)、(2)、(3)、(9)，可以得到基坑整體穩定性分析上限法數學規劃模型：

(11)

5 上限法數學規劃模型的求解

通過上述步驟所建立的基坑穩定性分析上限法數學規劃模型是典型的線性規劃模型，本文采用Matlab編寫了相應的計算程序，程序主要包括前處理、構建上限法數學規劃模型、優化求解和后處理4個模塊。

在極限分析中，通常有兩種方式可使變形體達到極限狀態，第一種是逐步增加外荷載，即求解超載系數，超載的力可以是自重、等效外荷載等；另一種是逐步折減材料的強度參數，即求解強度儲備系數，當有限元計算不收斂時，強度儲備系數λ2即為安全系數Fs；強度儲備系數λ2可以定義為：

(12)

式中：c、c′分別為基坑土體強度折減前與折減后的黏聚力，kPa；φ、φ′分別為基坑土體強度折減前與強度折減后的內摩擦角，(°)。

基坑穩定性分析的上限法計算程序求解流程如圖2所示。

圖2 基坑穩定性分析上限法計算流程圖

6 整體穩定影響因素分析

從上文的分析可知，本文方法能夠反映土體抗剪強度參數、支護結構入土深度、基坑開挖深度、基坑平面尺寸和地下水等因素對基坑整體穩定性的影響。為了驗證本文方法及程序編制的正確性，分析了土體強度參數、支護結構嵌固深度及基坑開挖深度等因素對基坑穩定性的影響規律。

6.1 土體黏聚力的影響

為分析討論土體黏聚力對整體穩定安全系數Fs和坑頂極限均布荷載qmax的影響規律，假定基坑開挖時的土體參數為：重度γ=18.5 kN/m3，固結不排水強度指標φcu=15°，基坑開挖深度H=11 m，支護墻體入土嵌固深度D=10 m，基坑寬度B=30 m，基坑頂部均布荷載為q=30 kPa。另采用極限平衡法進行計算，并將結果與本文方法結果進行比較。基坑整體穩定安全系數隨土體黏聚力的變化規律如圖3所示，土體黏聚力與坑頂極限均布荷載的關系曲線如圖4所示。

從圖3可以看出，兩種方法計算所得的安全系數均隨著黏聚力的增大近似呈線性增加，這符合土體強度參數增加會對基坑穩定性產生增益的一般規律。極限平衡法的計算結果要大于本文上限法的計算結果，且隨著黏聚力的增加，二者之間的差值逐漸減小。

圖4中給出了使用本文方法對基坑整體穩定性分析時坑頂極限均布荷載qmax隨土體黏聚力的變化規律曲線。可見隨著黏聚力的增加，基坑坑頂所能承受的極限均布荷載亦逐步增大，這與圖3中安全系數隨土體黏聚力增加而增加的結果相一致。

6.2 土體內摩擦角的影響

為分析討論土體內摩擦角對整體穩定安全系數Fs和坑頂極限均布荷載qmax的影響規律，假定基坑開挖時的土體參數為：重度γ=18.5 kN/m3，固結不排水指標黏聚力Ccu=20 kPa，基坑開挖深度H=11 m，寬度B=30 m，支護墻體入土嵌固深度D=10 m，基坑頂部作用有均布荷載q=30 kPa。土體固結不排水內摩擦角對整體穩定安全系數與坑頂極限均布荷載的影響規律分別如圖5、6所示。

圖5中給出了基坑整體穩定安全系數隨土體內摩擦角的變化情況。可見使用本文方法計算得到的安全系數近似與φcu呈線性關系，由極限平衡法得到的安全系數與φcu呈非線性關系。此外，兩種方法中安全系數均隨內摩擦角的增加而快速增大，可見內摩擦角的增加對安全系數的增大影響是顯著的。極限平衡法結果要大于本文方法結果，二者之間的差值先增大后減小，其中在φcu=20°時達到最大值。

圖6中給出了坑頂極限均布荷載qmax隨土體內摩擦角φcu變化的曲線。在φcu=5°時，qmax=62.0 kPa；當φcu=10°時，qmax=467.7 kPa；φcu=15°時，qmax=1 373.6 kPa。土體內摩擦角的增大會直接導致坑頂極限均布荷載的增加，當內摩擦角從5°增加到15°時，qmax從62.0 kPa急劇增加至1 373.6 kPa。由圖6可知，隨著φcu增大，坑頂極限均布荷載變化幅度逐漸增大，從圖上顯示為曲線的斜率逐步增加。

圖3土體黏聚力對整體穩定安全系數的影響 圖4土體黏聚力對坑頂極限均布荷載的影響

圖5土體內摩擦角對整體穩定安全系數的影響 圖6土體內摩擦角對坑頂極限均布荷載的影響

6.3 支護墻體嵌固深度的影響

為分析討論支護墻體嵌固深度D對基坑整體穩定安全系數Fs的影響規律，假定基坑開挖時的土體參數為：重度γ=20 kN/m3，固結不排水強度指標φcu=15°、Ccu=20 kPa，基坑開挖深度H=10 m，寬度B=20 m，基坑頂部均布荷載為q=40 kPa。

圖7給出了基坑整體穩定安全系數Fs隨支護墻體嵌固深度D的變化規律。由圖7中可以看出，基坑整體穩定安全系數隨著支護墻體嵌固深度D的增加近似線性增大。

6.4 基坑開挖深度的影響

為分析討論基坑開挖深度H對基坑整體穩定安全系數Fs的影響規律，假定基坑開挖時的土體參數為：重度γ=20 kN/m3，固結不排水強度指標φcu=15°、Ccu=20 kPa，支護墻體嵌固深度D=6 m，寬度B=24 m，基坑頂部作用有均布荷載q=35 kPa。

圖8給出了基坑穩定安全系數Fs隨開挖深度H的變化規律曲線。由圖8可見，隨著開挖深度的增加，基坑整體穩定安全系數逐漸減小；當開挖深度較小時，整體穩定安全系數Fs隨基坑開挖深度的變化較大，隨著開挖深度的增加，Fs隨基坑開挖深度的變化減緩。

7 實例分析

某大型基坑工程，基坑平面大致呈矩形，開挖深度10.8 m，基坑頂部作用有均布荷載30 kPa，支護結構采用鉆孔灌注樁，支護墻體嵌固入土深度17.2 m，基坑開挖至坑底時發生失穩破壞。基坑典型斷面土層分布及物理力學參數見表1，地下水位下土體在計算時取浮重度，基坑剖面圖如圖9所示。

表1 基坑典型斷面土層參數表

結合支護樁墻懸于淤泥質黏土層，未進入粉質黏土層，導致失穩破壞的工程實際情況，本文計算了兩種工況下的安全系數，工況1：支護樁墻懸于淤泥質黏土層(見圖9)，工況2：支護樁墻嵌入粉質黏土層2 m；并將計算結果與極限平衡法進行對比分析。

表2 不同工況下安全系數計算結果

表2給出了本文方法和極限平衡法對上述兩種工況的計算結果。在工況1支護樁墻懸于軟弱土層，未進入粉質黏土層時，支護結構對基坑穩定的增益效果可忽略不計，此時兩種方法計算得到的安全系數均小于1.0，這與工況1基坑發生失穩的實際情況相吻合。

當支護墻體嵌固到粉質黏土層2 m，此時支護結構對基坑的穩定有顯著的加固作用，兩種方法計算得到的安全系數均大于規范要求，基坑在坑頂30 kPa的均布荷載作用下能保持穩定，這說明了在基坑工程中合理設置支護的重要性。

圖10給出了使用本文方法計算的工況1在坑頂30 kPa均布荷載作用下的速度場及極限平衡法計算所得的滑裂面。

從圖10中可清晰了解基坑任何一個部位的速度矢量，可直觀反映基坑的破壞形態。樁后土體有下滑的速度，坑內土體有向上的速度矢量，極限平衡法的滑裂面形態亦說明了這個現象。這是由于支護結構未按設計要求進入持力層，支護樁墻對基坑土體的加固作用可忽略不計，基坑軟土對支護樁的位移約束亦很小，在坑頂均布荷載和自重作用下，樁后土體對支護樁作用有主動土壓力，樁體產生轉動，隨后樁后土體失去位移約束開始滑動，土體和樁土交界面處出現裂隙，隨后裂隙貫通，最終形成過支護樁體末端的滑裂面。

圖7安全系數隨支護墻體嵌固深度的變化 圖8安全系數隨基坑開挖深度的變化

圖9基坑剖面示意圖(單位：m) 圖10工況1基坑的速度場及計算滑裂面

8 結 論

(1)本文將極限分析上限定理、有限元離散思想和數學規劃方法結合起來研究基坑的穩定性，提出了一種求解基坑整體穩定安全系數和坑頂極限均布荷載的塑性極限分析上限法。

(2)對土體強度參數、支護結構嵌固深度及基坑開挖深度等參數進行了敏感性分析，得到了其對基坑穩定性的影響規律。同時在實例分析中，結合工程的實際情況，將本文所提方法和極限平衡法兩種方法的計算結果進行比較，驗證了本文所提方法的正確性。

(3)相對于極限平衡法，本文方法不用人為事先假設滑裂面的位置，最不利的破壞形式和極限狀態可通過優化計算獲得，這對于了解基坑的破壞形態更為直觀。本文的求解方法計算精度和效率均較高，文中的研究工作是將塑性極限分析上限法應用到基坑穩定性分析領域的一次有益嘗試。

(4)如在工程中應用本文方法，需結合巖土體的滲流分析，在基坑穩定性上限分析中考慮地下水滲流的影響，因此嘗試構建考慮地下水滲流的機動許可速度場是今后研究的重點。