基于Copula函數的錦河與連錦河洪水遭遇分析

蔣 楠， 高 成， 夏 歡

(1.河海大學 水文水資源學院， 江蘇 南京 210098； 2.河海大學 農業工程學院， 江蘇 南京 210098)

1 研究背景

洪水發生及產生的災害是難以避免的自然現象。作為能夠有效抵御洪水的手段之一，防洪工程措施在防治大洪水中起到了不可小覷的作用。在擬定防洪方案過程中，洪水計算是不可或缺的。因此在進行防洪評價的洪水計算部分有必要進行洪水遭遇的概率分析。利用Copula函數進行多變量水文概率分析已十分常見。例如：王占海等[1]使用多維Copula函數研究長江干流宜昌水文站各設計標準洪水空間分布的合理性。侯蕓蕓等[2]在基于三變量Copula函數算法上建立了峰量以及歷時的聯合概率分布模型。陳璐等[3]利用多維Archimedean Copula函數計算長江干支流沿岸水文站洪水發生時間及量級遭遇的概率，李子遠[4]采用Gumbel Copula函數模擬兩河洪峰發生時間的雙變量聯合分布，以此計算洪峰遭遇概率。葉姍姍等[5]運用Copula函數風險概率模型對宿遷市暴雨雨型風險率進行了研究；高玉琴等[6]采用三維G-H Copula函數對秦淮河流域的洪峰和洪水位進行了風險率的計算；王亞雄等[7]用最優Copula函數進行了飛來峽水庫壩址洪峰和最大7日洪量的聯合重現期與邊緣分布重現期的比較；Salvadori等[8]運用二維的Copula函數對降雨歷時和降雨強度的聯合概率分布進行模擬。Poulin等[9]分析了概率模型的多種邊緣分布函數特性，并將之應用于實例。Hochrainer-stigler等[10]對Copula函數的原理結構進行了研究并用于系統整合風險分析。但以上的Copula函數研究還存在一定局限性，主要為以下幾點：

(1)在水文頻率計算中，經驗頻率法是基于實測資料進行經驗公式計算的一種方法，它需要足夠長的實測系列資料才能滿足計算精度，其次，該方法在外延預測方面效果不佳。

(2)大多數水文變量服從偏態分布，如果假設這些變量屬于正態分布會使得計算結果的精度不高。

(3)部分地區有高潮出現時，其降雨類型復雜，Copula函數在雨潮組合遭遇的風險分析方面還有待進一步研究。

(4)Copula函數在干支流特大洪水同時發生的分布模型還需要探索。

在以上研究基礎上，本文主要研究應用Copula函數計算錦河和連錦河洪水遭遇概率，收集江西省高安和宜豐兩個水文站的實測洪峰流量資料，采用年最大值法選取年最大流量，并計算其經驗頻率，其邊緣分布為P-Ⅲ型曲線。然后選擇4種常用的Archimedean Copula函數對錦河和連錦河洪水遭遇的聯合分布概率進行研究，經相關參數估算后，以AIC[11]和OLS值最小的原則來選出模擬效果最佳的Archimedean Copula函數，將其應用于計算錦河和連錦河洪水的同現概率及條件概率，對計算進行分析研究，并可將洪水遭遇概率及河道水面線的計算成果應用于實際工程項目中。

2 研究區概況

錦河流域位于江西省高安市西部。本文研究內容為流域內的錦河與連錦河的洪水遭遇情況。錦河起源于湘贛交界的幕阜山脈海拔高程為628.6 m的東麓坪子嶺。全長304.55 km，流域面積7 884 km2，是贛江下游西岸的一條重要支流，也是流經高安的第一大河流。錦河干流城區段河長約13 km，寬約150～300 m，河床底高程20～24.5 m，較河岸低8.0～12.0 m，河道縱坡約為(0.6～2.0)/10000。其流域水系圖見圖1。

圖1 錦河流域水系圖

連錦河，又名港溪水，位于錦河干流左岸，為高安城區主要支流之一，其河道左岸地勢較高，右岸城區段的地勢低洼。該河流發源于高安市奉新縣交界的米嶺南麓，自北向南流經倉下村、汪家圩、港溪、水口庵，至連錦橋進入城區，于五口橋匯入錦河。流域面積89.85 km2，主河道全長23.01km，主河道縱比降1.91‰，高安城市規劃內連錦河的河段長約5.5 km，一般河寬50～80 m。

3 研究方法

3.1 邊緣分布函數計算

Copula函數計算概率之前首先要確定水文變量的邊緣分布函數。P-Ⅲ型曲線能夠較好地擬合暴雨洪水等變量的概率分布，是國內一種應用較為廣泛的邊緣分布函數。本文給定高安站及宜豐站的洪峰流量服從P-Ⅲ分布函數[12]，其概率密度函數如公式(1)所示。

(1)

錦河流域內有重要的水文測站高安站，其實測洪水能較好地代表錦河洪水過程。該水文站位于高安市城區高安大橋上游200 m處，控制集水面積為6 215 km2，有1964、1991-2016年歷年實測洪峰流量資料，經附近賈村站插補延展有1964年至2016年洪峰流量資料。宜豐水文站位于錦河左岸支流連錦河，控制流域面積為519 km2，河道坡降為1.91‰，現有1957-2016年實測洪峰流量資料。資料條件系列長，數據精度高，可作為連錦河水文站，由于連錦河上游有一碧山水庫，其上游集水面積為31.7 km2，壩址以上河長8.70 km，平均坡降為5.58‰，水庫正常蓄水位58.01 m，總庫容1 979×104m3，考慮其調蓄作用，進行了調洪計算，在邊緣分布計算中洪峰流量將減去其調蓄流量。對宜豐站、高安站流量進行排頻分析，并將高安站1913年調查最大流量作特大值處理，采用P-Ⅲ曲線適線，可進行洪水頻率計算并得到錦河和連錦河P-Ⅲ分布函數的統計參數見表1。

表1 錦河和連錦河P-Ⅲ分布函數統計參數值表

3.2 邊緣分布函數的檢驗

水文變量的理論分布是否能夠準確代表變量總體的分布，需要進行假設檢驗。為保證檢驗的準確性，本文采用Kolmogorov-Smirnov檢驗、Anderson-darling檢驗以及均方根誤差(RMSE)來分別衡量高安站和宜豐站洪峰流量的邊緣分布函數。

將兩個水文站的洪峰流量系列導入SPSS中進行K-S非參數檢驗，得出兩個測站的P值均為0.2，大于0.05，表明該邊緣分布通過K-S檢驗。Anderson-darling檢驗中計算出的高安站與宜豐站的P值分別為0.26和0.29，大于0.05，該分布通過了Anderson-darling檢驗。計算得出兩個測站的RMSE分別為0.025和0.022，表明二者的均方根誤差均較小。根據上述檢驗，可以確定兩站的P-Ⅲ分布可作為邊緣分布函數。

3.3 Archimedean Copula函數

Archimedean Copula函數可用于構建水文界常見的聯合概率分布模型，它的結構形式多種多樣，不同結構對不同類型的洪水擬合效果有較大差異，本文選用以下4種對稱式的結構形式。

(1)Gumbel-Hougaard Copula[7]：

C(u1,u2)=exp{-[(-lnu1)θ+

(-lnu2)θ](1/θ)}θ∈[1,+∞)

(2)

(2)Clayton Copula[7]：

C(u1,u2)=(u1-θ+u2-θ-1)-1/θ

(3)

θ∈(0,+∞)

(3)Ali-Mikhail-Haq Copula[7]：

C(u1,u2)=u1u2/[1-θ(1-u1)(1-u2)]

(4)

θ∈[1,+∞)

(4)Frank Copula[7]：

(5)

θ∈R

式中：C為Copula函數；u1和u2為邊緣分布函數，u1=F1(x1)，u2=F2(x2)；θ為相關參數。

3.4 Archimedean Copula函數參數估計

估計4種函數的參數是一個不可或缺的環節。以相關指數法來計算上述4種洪峰聯合分布函數的參數。相關指數法是依據Kendall秩相關系數τ[13]來計算Copula函數的參數θ，兩參數的函數關系式見表2。

表2 Copula函數的τ與θ函數關系[14]表

根據SPSS軟件分析得出兩站洪峰流量Kendall秩相關系數τ為0.174，根據函數關系計算出的參數θ值見表3。

表3 Copula函數的θ計算成果表

3.5 Archimedean Copula函數選擇

由上節計算出函數的θ，可建立兩水文站洪峰流量的4種Archimedean Copula函數的聯合概率分布，以上函數是否能夠較為準確地擬合兩變量之間的關系，需要進行函數擬合檢驗，然后通過優度評價準則選擇出一種擬合效果最好的Copula函數。

3.5.1 圖形評價分析法 本文主要利用Q-Q圖的方法直觀表示擬合效果的優劣。將經驗和理論聯合概率值點據呈現在一張圖上，若各點大致位于y=x線左右，則說明構建的模型有一定可靠度。二維經驗聯合概率計算見公式(6)：

Femp(xi1,xi2)=P(X1≤xi1,X2≤xi2)

(6)

式中：Femp為經驗聯合概率；ng,k為滿足X1≤xi1,X2≤xi2的聯合觀測數量；n為系列長度。

將4種Copula函數的理論與經驗聯合概率值點繪為散點圖，見圖2。

圖2 4種Copula函數的理論與經驗值Q-Q圖

根據Q-Q圖可見以上4種Copula函數的理論與經驗聯合概率點據均位于45°線上下，則可說明這4種Copula函數構建的聯合概率分布模型的模擬效果較為滿意。

3.5.2 最優Copula函數選取 為選出對錦河和連錦河洪峰遭遇擬合效果最好的Copula函數，需采用優度評價準則即AIC準則及OLS準則來評價4種Copula函數。

AIC準則結構如下所示：

C(ui1,ui2,…,uim))2

(7)

AIC=nln(MSE)+2k

(8)

式中:m為函數的維數;k為模型參數的數量。AIC值越小，表明函數的聯合概率分布擬合效果越佳。

OLS準則結構如下：

OLS=

(9)

根據公式(8)與(9)計算出4種Copula函數的AIC值與OLS值如表4所示。

表4 AIC值與OLS值計算成果表

由表4可知AIC值與OLS值最小的均為Frank Copula函數，則可說明Frank Copula函數是模擬該流域洪水洪峰遭遇概率效果最佳的函數，因此，本文選擇Frank Copula函數進行錦河與連錦河洪水遭遇概率分析。

4 干支流洪水遭遇分析

洪峰流量(x1,x2)的聯合分布為F(x1,x2)，則：

F(x1,x2)=P(X1≤x1,X2≤x2)

=C(u1,u2)

(10)

錦河和連錦河同時發生某一設計標準的洪水的概率為重現概率，以H0表示，則:

H0(x1,x2)=P(X1>x1,X2>x2)=1-u1-u2+C(u1,u2)

(11)

在錦河發生一種重現期的洪水前提下，連錦河發生某一數量級的洪水概率如公式(12)：

(12)

錦河和連錦河的洪峰聯合概率分布、同現概率與條件概率如圖3、4、5所示。

圖中Qxi為錦河的洪峰流量(m3/s)，Qyi為連錦河的洪峰流量(m3/s)。由圖4可知，錦河的洪峰流量大于5 000 m3/s(約100年一遇)和連錦河的洪峰流量大于1 200 m3/s(約100年一遇)的洪水發生的概率極小。錦河和連錦河的洪水同現概率隨著洪水的量級的增大而減小，聯合概率隨著洪水的量級的增大而增大。在錦河發生20年一遇的洪水工況下，連錦河發生同等量級的洪水概率明顯增加。在錦河發生一特定數量級的洪水前提下，連錦河發生洪水的概率隨著洪水量級的增加略有增加。以上規律經驗證符合兩河洪水發生的概況。表5統計了100年一遇量級以下錦河和連錦河的洪水遭遇的概率。

圖3錦河與連錦河聯合概率分布圖 圖4錦河與連錦河同現概率分布圖 圖5錦河與連錦河條件概率分布圖

表5 錦河和連錦河洪水遭遇概率計算表

由表5可知，錦河和連錦河同量級洪水同時出現的概率較小，在錦河出現100年一遇工況的洪水時，連錦河發生同一設計標準洪水的幾率僅有2.662%。兩河發生20年一遇量級洪水的概率較大，在錦河發生10年一遇以上洪水的情況下，連錦河同時發生20年一遇以上洪水的概率高達23.01%。由此可見錦河和連錦河大量級洪水遭遇的可能性較小，而小量級洪水遭遇的機率較大，該結論與《贛江流域水文年鑒》中近幾十年的洪水統計資料相符合。

5 水面線計算

根據水文年鑒上的洪水實測資料，估算連錦河洪水傳播時間約為2.8 h。錦河上高水文站到高安站距離為79 km，洪水傳播時間約為18 h。因此，錦河干流與連錦河支流洪峰在時間上是錯開的，同時遭遇的幾率甚小，所以不按同頻遭遇考慮。工程研究的河段對于錦河而言是從徐王村到筠州大橋，樁號為-K5+910～K1+523，連錦河的研究河段為平安大道到連錦河河口，樁號為-K2+966～K2+027。

5.1 模型原理

MIKE11一維河網匯流模型采用非恒定流圣維南(Saint-Venant)方程組構建[19]。

連續方程：

(13)

動量方程：

(14)

式中：A為河道過水面積，m2；Q為流量，m3/s；t為時間，h；x為與水流方向一致的橫向坐標，m；q為河道旁側入流，m3/s；g為重力加速度，m/s2；h為水位，m。

為了推求高安城區錦河和連錦河的水面線，將對河道進行概化[20]，利用MIKE11一維水動力模型對錦河10年一遇遭遇連錦河20年一遇洪水情況進行模擬，并計算得出該工況下的洪水下水面線。將河網概化，生成河網文件，編輯河道參數(長度，斷面)，輸入初始條件和邊界條件。

計算時間步長為0.16 h。

邊界條件：錦河上游給定10年一遇的流量時間序列，連錦河上游給定20年一遇的流量時間序列，錦河下游河口位置給定水位流量關系曲線。

根據《水力計算手冊(第二版)》對糙率取值要求，結合計算區域土地利用等情況，需要對錦河、連錦河一維河道模型糙率進行選取和率定。根據歷史相關資料和經驗，各河段糙率選取0.033。

模型斷面迭代的初始水深為1.84 m。

5.2 計算結果分析

由第4節可知，錦河發生10年一遇以上洪水遭遇連錦河發生20年一遇以上洪水的概率較大，屬于河道工程常見工況，水利模型構建必不可少。因此用MIKE11模型計算錦河與連錦河這種工況的洪水水面線。如表6所示。

由表6可知，當錦河出現10年一遇的洪水時，連錦河出現20年一遇情況的水位較高，這種工況的洪水同期遭遇概率相對較大，結合實際詢問調查，得出連錦河河口段高水位往往是受錦河洪水頂托影響的結論，該工況下的水面線計算結果對高安市的防洪工程具有重大意義。

表6 錦河10年一遇遭遇連錦河20年一遇洪水水面線表

6 結論與展望

本文以高安市錦河與連錦河的洪峰流量資料為研究對象，采用Copula 函數建立了兩水文站洪峰的同現概率分布與條件概率分布來研究干支流的洪水遭遇問題，對高安市的防洪評價工程有重要意義。得出以下4點結論：

(1)通過邊緣分布函數的K-S和A-D檢驗，錦河和連錦河的洪峰分布服從P-Ⅲ型分布。

(2)Archimedean Copula函數的4種形式對洪峰的聯合概率分布均能較好地擬合，通過優度評價準則評價后，得出擬合效果最好的函數是Frank Copula函數的結論。

(3)錦河和連錦河的洪水同現概率隨著洪水的量級的增大而減小，聯合概率隨著洪水的量級的增大而增大。在錦河發生某一重現期的洪水情況下，連錦河發生洪水的概率隨著洪水量級的增加略有上升。

(4)錦河和連錦河大量級洪水遭遇的可能性較小，而小量級洪水遭遇的幾率較大，錦河和連錦河同時發生20年一遇的洪水概率為12.14%，在錦河發生10年一遇以上洪水的情況下，連錦河發生20年一遇以上洪水的概率為23.01%，并對該工況下的洪水水面線進行了計算，這對錦河流域的防洪評價等工程具有重要的實踐價值。