基于動態(tài)測量柔度矩陣的懸索橋吊索損傷檢測

孟凡豪， 于靖軍， 馬文碩

(1. 中國電力科學(xué)研究院有限公司，北京 100055; 2. 北京航空航天大學(xué) 機器人研究所，北京 100191； 3. 法語布魯塞爾自由大學(xué) 主動結(jié)構(gòu)實驗室，布魯塞爾 1050)

隨著人類經(jīng)濟的發(fā)展和科技的進步，懸索橋逐漸成為土木結(jié)構(gòu)史上最壯麗的篇章。這些優(yōu)美的結(jié)構(gòu)克服自然障礙將不同地區(qū)連接起來，天塹變通途，成為不可或缺的基礎(chǔ)民用設(shè)施。從美學(xué)的角度來看，鏤空的結(jié)構(gòu)、完美的曲線、狹長的跨度等所有這些美學(xué)特征使得懸索橋成為特殊的結(jié)構(gòu)。在懸索橋給我們的日常生活帶來便利的同時，其隨之而來的結(jié)構(gòu)健康問題也變得日益突出。吊索是懸索橋主要承重部件，在日常運營中極其容易遭受嚴重的腐蝕和疲勞損傷，而這些損傷往往可能會被忽視。另外懸索橋是低剛度和低阻尼的柔性結(jié)構(gòu)，對振動非常敏感，表現(xiàn)出復(fù)雜的振動特性。由于橋面與吊索直接相連接，因此橋面連接處采集的振動數(shù)據(jù)會包含吊索的健康信息。基于這個原因，采用柔度變化的損傷指標方法(DI)來檢測懸索橋吊索的損傷是一種有效的手段。

Pandey等[1]提出了柔度矩陣來檢測結(jié)構(gòu)損傷的存在和定位，其數(shù)值和實驗結(jié)果表明，僅用前兩階模態(tài)參數(shù)就可以識別出結(jié)構(gòu)的損傷位置，之后進一步構(gòu)造出基于模態(tài)柔度矩陣差的損傷指標[2]。該方法已被許多研究人員豐富和進一步發(fā)展并應(yīng)用于簡單梁結(jié)構(gòu)和板狀結(jié)構(gòu)的損傷定位[3-4]，并取得了不錯的效果。對于懸索橋這類大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，該方法在理論研究及仿真驗證方面也取得不俗的進展。例如，Ni等[5-6]研究了斜拉橋損傷前后的柔度變化(Relative Flexibility Change, RFC)。在沒有噪聲影響的情況下，RFC指標在單個損傷和多個損傷情況下取得了很好的定位效果，但是在模擬環(huán)境噪聲影響下檢測和定位輕微損傷時遇到了一些困難； Wickramasinghe等[7]提出一種基于模態(tài)柔度的方法，可檢測定位懸索橋吊索在不同位置和不同損傷程度下的單個及多個的損傷，并通過單個和多個損傷仿真案例，得以成功驗證；Catbas等[8-9]利用柔度矩陣對橋梁結(jié)構(gòu)低頻模態(tài)的變化非常敏感的特性，利用動態(tài)測量柔度矩陣估計橋梁靜力性能的變化實現(xiàn)了簡支梁橋面損傷的檢測與定位。

針對懸索橋復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，本文利用動態(tài)測量柔度矩陣對結(jié)構(gòu)損傷非常敏感的特性，提出了利用恒載作用下結(jié)構(gòu)應(yīng)變和曲率變化來檢測和定位損傷吊索的方法。為了驗證所提出方法的有效性，本文首先建立了準確的懸索橋有限元模型和動力學(xué)模型；然后模擬在不同的損傷情況下，對懸索橋吊索單個損傷和多個損傷的檢測情況，驗證了方法的可行性；最后通過實驗分析進一步檢驗了所提方法的有效性。

1 基于動態(tài)測量柔度矩陣的損傷定位方法

該損傷檢測方法使用動態(tài)測量的柔度矩陣來估計結(jié)構(gòu)的靜態(tài)行為的變化。因為柔度矩陣被定義為靜態(tài)剛度矩陣的逆矩陣，所以柔度矩陣關(guān)系到施加的靜力和由此引起的結(jié)構(gòu)位移。

考慮一個線性時不變結(jié)構(gòu)的運動微分方程[10]

(1)

式中：M，C，K分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；f為外力；x為輸出量(加速度、速度或位移)。

根據(jù)式(1)，將所受外力f換為簡諧激勵力Fejωt，因此響應(yīng)x為諧波響應(yīng)Xejωt，其中F和X的關(guān)系式為

X=[-ω2M+jωC+K]-1F=G(ω)F

(2)

矩陣G(ω)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，也定義為結(jié)構(gòu)的動態(tài)柔度矩陣；G(ω)是靜柔度矩陣動態(tài)推廣，故G(0)≈K-1，矩陣G(ω)的模態(tài)擴展可以通過將式(2)中的物理坐標改為模態(tài)坐標x=Φz。模態(tài)響應(yīng)也是諧波z=Zejωt，不難發(fā)現(xiàn)式(2)將變?yōu)?/p>

(3)

從而得到

(4)

與式(4)相比，我們發(fā)現(xiàn)動態(tài)柔度矩陣的模態(tài)展開式

G(ω)=[-ω2M+jωC2+K]-1=

(5)

式(3)～式(5)中，歸一化質(zhì)量μi、固有頻率ωi、阻尼比ξi和振型φi。i為第i階模態(tài)，n為考慮的模態(tài)階數(shù)。假設(shè)ω=0，我們可以得到近似靜態(tài)柔度矩陣

(6)

在得到靜態(tài)柔度矩陣后，任何給定的力矢量都可以很容易地計算出靜態(tài)荷載(單位荷載)下的撓度或變形d，如式(7)所示

(7)

式中：d=[d1，d2，…，dN]T；N為輸入和輸出點的數(shù)量；Gp,q(0)為通過q點輸入p點輸出時測得的柔度值。

模態(tài)曲率在識別和定位損傷方面非常有效[11-14]。使用模態(tài)曲率的基本前提是，剛度的降低將被反映為模態(tài)曲率的增加。本文中基于上述方法得到橋面的位移變形后，利用模態(tài)曲率的求解原理可得到懸索橋橋面的變形曲率以實現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷的檢測與定位。

為了計算位移矢量的曲率，使用中心差分近似作為數(shù)值推導(dǎo)

(8)

式中：dk為第k個位移矢量的元素，k=1,2,…N；Δx為測量的位移點之間的長度。

2 懸索橋?qū)嶒災(zāi)Ｐ徒＜坝行则炞C

圖1是懸索橋CAD模型圖。它的跨度為2.2 m，兩個鉸接塔(橋塔)高度為0.62 m，主鋼索(拉索)直徑為1 mm，2×10的吊索直徑為0.5 mm; 橋面在兩端可自由旋轉(zhuǎn)，并通過兩排吊索連接到拉索。

圖1 懸索橋CAD模型Fig.1 CAD view of the suspension bridge

該模型包括一系列由預(yù)應(yīng)力吊索支撐的柔性橋面。假定吊索與橋面的相互作用被限制在縱向張力，其它方向的動力學(xué)特性可以忽略不計。該方法在保證計算精度的同時，極大地簡化了建模。根據(jù)經(jīng)典的運動學(xué)式(1)，無阻尼控制系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的方程是

(9)

模型中包含了由于吊索中的預(yù)應(yīng)力引起的幾何剛度，并忽略了結(jié)構(gòu)阻尼以簡化模型。利用SAMCEF有限元軟件對圖1橋梁模型進行分析，并將質(zhì)量矩陣和剛度矩陣導(dǎo)出到MATLAB軟件中，利用狀態(tài)空間方程建立懸索橋動力學(xué)模型。橋面用梁單元建模，而吊索和主拉索用條單元建模。

表1給出了結(jié)構(gòu)的前6階振動模態(tài)，并將其與實驗測量結(jié)果(僅顯示橋面)進行比較。有針對性的模態(tài)是前4階彎曲模態(tài)和前兩階扭轉(zhuǎn)模態(tài)，它們組成了懸索橋的主要動力學(xué)特性。通過表1中仿真值與實驗值的對比可以看出，仿真結(jié)果與實驗結(jié)果具有較高一致性，從而驗證了懸索橋動力學(xué)模型的正確性。

表1 懸索橋模態(tài)參數(shù)仿真值與實驗值的對比。固有阻尼在0.1%～0.8% Tab.1 Comparison between the numerical and the experimental modal parameters. The natural damping is estimated between 0.1% and 0.8%

3 損傷檢測的數(shù)值算例

對于時域振動信號，建立了數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，包括20個加速度傳感器，用于測量縱向加速度。這些傳感器連接到橋面上靠近吊索連接處。傳感器的布局如圖2所示。大型土木結(jié)構(gòu)，特別是懸索橋，通常會在運營服務(wù)中面臨環(huán)境隨機激勵。在本文中，平穩(wěn)的高斯白噪聲(Gaussian White Noise，GWN)被用來激勵系統(tǒng)。

圖2 傳感器布局和激勵位置Fig.2 Sensor layout and excitation locations in the bridge deck

對于振動測試，時間序列的長度應(yīng)涵蓋在環(huán)境振動下結(jié)構(gòu)完整或接近完整的動態(tài)行為。根據(jù)參考文獻[7]，采樣時間被選為300 s，采樣頻率是200 Hz。

3.1 噪聲因素

在實際情況下，測量的振動響應(yīng)容易受到很多不確定因素的影響，例如環(huán)境測量噪聲和測量誤差等，都會影響到頻率和振型的計算進而影響到結(jié)構(gòu)損傷識別的準確性[15]。為了研究損傷檢測方法在噪聲情況下的魯棒性，將5%正態(tài)分布隨機噪聲引入模態(tài)振型。可將引入噪聲污染的模態(tài)振型表示為[16]

φ(noise),i=φ(FE),i+αnoise×R×var(φi)

(10)

式中：φ(noise),i為噪聲污染的第i階模態(tài)振型；φ(FE),i為通過理論仿真得到的第i階模態(tài)振型；αnoise為噪聲水平；R為一個隨機數(shù)的向量；var(φi)為從理論仿真得到的第i階模態(tài)振型的方差。

3.2 損傷案例

有限元模型中的損傷可以通過改變楊氏模量或改變截面面積或去除損傷位置的單元來模擬。在本文的研究中，通過減少指定吊索的楊氏模量來模擬吊索中的損傷。橋面的模態(tài)振型由靠近吊索和橋面之間的連接點來構(gòu)建。吊索的編號如圖2所示，編號1～10對應(yīng)同一側(cè)的吊索，另一側(cè)的吊索按11～20依次編號。表2給出了本研究中考慮的具體損傷案例。

表2 不同的損傷情況 Tab.2 Different damage scenarios

表2中，案例1通過減去吊索3中95%的剛度來模擬損傷，吊索3位于懸索橋跨度1/3處附近。案例2在吊索5中定義了相同的損傷，吊索5位于懸索橋跨度的中間位置。為了探索所提方法對不同損傷程度的識別能力，在吊索5分別定義了不同損傷情況(案例3和案例4)。案例5和案例6分別在案例3和案例4的基礎(chǔ)上引入了5%的噪聲。為了研究對多重損傷檢測的性能，引入了90%的損傷等級和5%的噪聲等級來定義損傷案例7和案例8。

3.3 仿真結(jié)果

通過式(6)仿真計算得到柔度矩陣，然后施加垂直橋面向上的虛擬外力如式(7)所示，最后得到橋面變形及變形曲率。

案例1和案例2研究了在95%損傷程度下，所提方法對不同損傷位置的檢測能力。結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 案例1的損傷檢測結(jié)果(吊索3損傷95%)Fig.3 Results of damage detection for case 1 (95% stiffness reduction of hanger 3)

圖4 案例2的損傷檢測結(jié)果(吊索5損傷95%)Fig.4 Results of damage detection for case 2 (95% stiffness reduction of hanger 5)

在圖3中，作為損傷指標的橋面彎曲變形和變形曲率能夠成功檢測到損傷的存在，并確定損傷的實際位置。在圖4中可以看到類似的趨勢，成功預(yù)測出損傷的吊索(吊索5)。通過前兩個案例可以發(fā)現(xiàn)該方法能夠檢測出受損程度達到95%的損傷，其準確性不受損傷位置的影響。值得一提的是，曲率是根據(jù)橋面形變的導(dǎo)數(shù)計算出的，在這兩個案例中，變形曲率再次被證實與形變本身相比對損傷更敏感。因此，在后續(xù)的研究，只使用曲率作為損傷指標。

損傷案例2、案例3和案例4模仿了吊索5的三種不同損壞等級。這三種損傷情況用于研究該方法在無噪聲情況下能夠檢測出的最小損傷等級。案例3和案例4的結(jié)果，如圖5所示。

圖5 不同損傷程度對檢測結(jié)果的影響(吊索5損傷90%和85%)Fig.5 Results of damage intensity effect (90% and 85% stiffness reductions of the hanger 5)

從圖5(a)中可以看出，對于90%的損傷情況(案例3)，該方法能夠檢測結(jié)構(gòu)損傷的準確位置。但是當損傷程度降低到85%時，如圖5(b)所示，盡管這種方法能夠檢測到損傷位置可能位于吊索5，但吊索14處的檢測結(jié)果對損傷預(yù)測的影響很大，因此可能導(dǎo)致預(yù)測不準確。另外，一旦加入噪聲，案例4的檢測準確性可能會下降。通過案例2、案例3和案例4的結(jié)果分析可以發(fā)現(xiàn)：在無噪聲干擾情況下，基于變形曲率的損傷識別方法可以有效識別懸索橋吊索90%及以上等級的損傷。

為了考慮測量噪聲的影響，將5%的均勻分布噪聲添加到損壞前后的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)中，如式(10)所示。案例5和案例6研究分析了噪聲對不同的損傷情況下檢測結(jié)果的影響，見圖6。

圖6 5%噪聲對檢測結(jié)果的影響(吊索5損傷90%和85%)Fig.6 Results of noise effect (90% and 85% stiffness reductions of the hanger 5)

如圖6(b)所示，在5%的噪聲情況下，當損傷等級為85%時，沒有檢測到損傷位置，與圖5(b)無噪聲情況相比，該方法檢測損傷能力下降明顯。圖6(a)顯示，將損傷強度增加到90%可以成功檢測出5%噪聲干擾下的損傷位置。

從上述的研究中可以看出，動態(tài)測量柔度法能夠在5%的噪聲干擾下定位90%及以上等級的單個損傷。該方法對于多重損傷的檢測能力將在案例7和案例8中得到驗證。圖7顯示了動態(tài)測量柔度法對多個模擬損傷吊索的檢測結(jié)果。結(jié)果證明該方法不僅可以定位同側(cè)損傷吊索的確切位置(見圖7(a))也可以同時檢測兩側(cè)吊索的損傷(見圖7(b))。

圖7 多重損傷的檢測結(jié)果(90%損傷和5%噪聲)Fig.7 Results of multiple damage detection (90% stiffness reductions and 5% noise)

4 懸索橋吊索損傷實驗檢測

為了檢驗動態(tài)測量柔度法的有效性，建立了地錨式懸索橋的實驗室模型(見圖8)。它由兩個距離為2.2 m的0.62 m高的橋塔支撐組成；橋面通過兩排10個吊索連接到主拉索；主拉索由直徑為1 mm的鋼纜組成，吊索由0.5 mm的鋼纜制成，主拉索和吊索的張力可以通過螺栓調(diào)整。為了保證懸索橋模型的對稱性，吊索預(yù)應(yīng)力保持一致。

圖8 懸索橋?qū)嶒炇夷Ｐ虵ig.8 Laboratory mock-up of the suspension bridge

如圖8所示，在橋面底部上安裝音圈作動器對結(jié)構(gòu)施加力(限制帶寬白噪聲)。在振動測量之前，建立了數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，其中包括4個單軸B&K 34 371 V加速度傳感器，用于測量垂直加速度。加速度傳感器的布局如圖9所示。采樣設(shè)置與第3章相同。通過分段式逐點多次測量實現(xiàn)了沿橋面兩側(cè)的20個不同點的頻率響應(yīng)函數(shù)、固有頻率和振型的計算。懸索橋?qū)嶒災(zāi)Ｐ凸逃蓄l率和振型如表1所示。

圖9 加速度傳感器與位置Fig.9 Accelerometer and position

從式(6)我們可知，靜態(tài)柔度矩陣是由各階模態(tài)計算疊加得到的。因此，在利用位移和曲率來檢測損傷位置之前，需要了解模態(tài)截斷對靜態(tài)柔度矩陣的影響。 圖10顯示了每階模態(tài)對變形位移的貢獻，其累加結(jié)果如圖11所示。在圖9所示的傳感器位置，施加均勻的垂直向上的虛擬力。通過圖10可以看出，第二階模態(tài)對計算靜態(tài)柔度矩陣的貢獻最大；如圖11所示，通過前4階模態(tài)計算得到的靜態(tài)柔度矩陣值趨于穩(wěn)定，因此在后續(xù)實驗測量柔度矩陣計算中只采用前4階模態(tài)。

圖10 每階模態(tài)對位置3處變形位移的貢獻值Fig.10 Contribution of each mode to the displacement of position 3

圖11 荷載相關(guān)模態(tài)柔度收斂圖(均布荷載)Fig.11 Load dependent modal flexibility convergence plot (uniform load)

在實驗時通過破壞吊索來改變其剛度比較難以實現(xiàn)，尤其是還要掌握好損傷的程度。而吊索在軸向的剛度主要是通過加載預(yù)應(yīng)力實現(xiàn)的，這里近似認為其軸向剛度跟預(yù)應(yīng)力成一定的線性關(guān)系，因此在實驗中可以通過改變吊索的預(yù)應(yīng)力來模擬吊索的損傷。在實驗中如何控制吊索預(yù)應(yīng)力的變化程度主要是通過調(diào)節(jié)目標吊索的橫向彎曲固有頻率實現(xiàn)的。吊索預(yù)應(yīng)力與自身頻率的關(guān)系為

(11)

式中：T0為吊索的預(yù)應(yīng)力；L為吊索長度；ρ為吊索密度；A為吊索截面面積；fs為吊索的橫向彎曲固有頻率，并由非接觸式激光傳感器測量得到[17]。具體的實驗案例如表3所示。為了更加直觀的定位損傷位置，引入結(jié)構(gòu)損傷前后的變形曲率差來判定損傷位置[18-19]，公式為

(12)

表3 損傷實例 Tab.3 Experimental damage examples

在圖12(a)和圖13(a)中，變形曲率作為損傷指標分別準確定位出懸索橋損傷吊索的位置(95%的損傷和90%的損傷)，進一步驗證了方法的有效性。與變形曲率相比，損壞前后的變形曲率之差更能簡單直接地實現(xiàn)損傷吊索的定位，如圖12(b)和圖13(b)所示。圖14中，兩種損傷指標都成功判定出多重損傷的位置。通過上述三個實驗案例可以看出，不同損傷工況的損傷檢測結(jié)果都與之前的仿真模擬結(jié)果相類似。實驗結(jié)果表明，基于動態(tài)測量柔度矩陣的損傷識別方法可以實現(xiàn)懸索橋吊索的損傷檢測和定位。

圖12 損傷實例1的檢測結(jié)果(吊索18減少95%預(yù)應(yīng)力)Fig.12 Results of damage detection for example 1 (95% prestressing reductions of cable 18)

圖13 損傷實例2的檢測結(jié)果(吊索3減少90%預(yù)應(yīng)力)Fig.13 Results of damage detection for example 2 (90% prestressing reductions of cable 3)

圖14 損傷實例3的檢測結(jié)果(吊索6和吊索12減少90%預(yù)應(yīng)力)Fig.14 Results of damage detection for example 3 (90% prestressing reductions of cable 6 and cable 12)

5 結(jié) 論

結(jié)構(gòu)的柔度可以通過結(jié)構(gòu)振動的低階模態(tài)精確地獲得，因此該方法具有巨大的工程實用價值，在近些年得到持續(xù)深入研究。

本文利用動態(tài)測量柔度矩陣建立變形位移和變形曲率作為懸索橋吊索的損傷檢測方法。首先，建立有限元和動力學(xué)模型，模擬不同損傷程度和噪聲等級的8種損傷工況；仿真結(jié)果表明，動態(tài)測量柔度法能夠定位5%噪聲水平下的損傷程度達到90%及以上的單個和多個損傷。然后，利用實驗室模型測試來進一步驗證這些損傷指標對檢測和定位損傷的有效性，并在實驗中分析了模態(tài)截斷對損傷估計的影響。通過上述研究發(fā)現(xiàn)：

(1)結(jié)構(gòu)柔度矩陣可以通過動力測試前4階模態(tài)精準的得到。

(2)與變形位移相比，橋面的變形曲率對吊索的損傷更敏感，對于檢測和定位吊索損傷更有效；同時變形曲率法不需要結(jié)構(gòu)損傷前的任何信息，也不需要有限元建模，因此具有非常突出的工程應(yīng)用價值。

(3)吊索損壞前后的橋面變形曲率之差具有更加簡單直觀的結(jié)構(gòu)損傷定位能力，但是需要獲得結(jié)構(gòu)損傷前的信息。

(4)存在的主要問題：計算動態(tài)柔度矩陣需要大量的數(shù)據(jù)測試，因此時間成本較大；此外，該方法對模態(tài)參數(shù)的精度要求較高，需要獲取輸入數(shù)據(jù)，因此對于僅輸出系統(tǒng)需要進一步研究。