漸變截面背腔微穿孔管消聲器聲傳遞特性分析

侯九霄， 朱海潮， 毛榮富

(1.海軍艦船振動與噪聲研究所，武漢 430033；2.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033)

微穿孔吸聲結構[1]具有高聲阻、低聲抗的特點，是傳統多孔、纖維材料的優良替代品。較傳統吸聲材料，微穿孔吸聲結構不僅具有更輕的重量，還具有清潔、無污染及不受材料限制的優點，避免纖維和微粒對人類健康的危害，在被動消聲領域具有廣闊的應用前景。Liu等[2]研究了結構參數對其吸聲效果的影響，Bravo等[3-5]考慮了微穿孔板的振動的影響，通過合理設計微穿孔板的物理參數，來優化微穿孔吸聲結構的吸聲效果。

近年來微穿孔吸聲結構被制成管路消聲器用于通風、排氣管道噪聲控制領域，因其具有低的阻力和再生流噪聲，具有傳統結構的管路消聲器無法比擬的優勢。Sullivan等[6]利用平面波理論推導了直通穿孔管消聲器聲學傳遞損失求解方法，季振林[7]研究了穿孔率和幾何參數對消聲器的聲學性能的影響，徐貝貝等[8]利用有限元分析了阻性消聲器的聲學特性， 張孟浩等[9]推導得到了雙層微穿孔管消聲器的傳遞損失，左曙光等[10]進行了微穿孔管消聲器的結構參數優化研究；Allam等[11]分析了氣流對微穿孔管消聲器聲學性能的影響，Zhao等[12]研究穿孔結構的再生流噪聲的作用；Shi等[13]構造了周期性微穿孔管的吸聲結構，通過有限元、邊界元分析和試驗驗證，證明了其理論的確性。然而，這些工作都是基于圓柱形背腔結構的微穿孔管消聲結構。本文旨在研究漸變截面背腔結構對微穿孔管消聲器聲學性能的影響，進而提高微穿孔管消聲器的性能。

1 微穿孔吸聲理論

微穿孔板(Micro-Perforated Panel，MPP)利用空氣的黏性耗散，可以實現較寬頻帶的吸聲效果。通常MPP吸聲體的穿孔直徑小于1 mm，穿孔率在1%左右。根據管的波導理論，馬大猷給出微穿孔板的相對阻抗率的表達式為

(1)

已有大量的實驗研究表明馬氏理論模型具有足夠的精確性[14-17]。

2 漸變截面背腔微穿孔管消聲器聲傳播方程

漸變截面背腔微穿孔管消聲器結構模型如圖1所示，消聲器內部微穿孔管的通徑為d0，背腔直徑為dz，膨脹腔的截面積是管軸坐標的函數S=S(z)。假設在膨脹腔內，波陣面形狀在傳播過程中保持一定。根據平面波理論，得到漸變截面背腔微穿孔管消聲器的連續性方程為

(2)

運動方程

(3)

假設整個過程絕熱，有理想氣體物態方程

p(z)=ρ(z)c02

(4)

式中：p1，u1，ρ1分別為微穿孔管內聲壓、質點振速和空氣密度；p2，u2和ρ2分別為膨脹腔內聲壓、質點振速和空氣密度；v1為微穿孔管到膨脹腔的質點聲速；ρ0為靜態空氣密度。

在正弦波激勵作用下，聯立式(2)～式(4)求得漸變截面背腔微穿孔消聲的聲學控制方程為

圖1 漸變截面背腔微穿孔管消聲器結構模型Fig.1 Geometric model of the GCBCMPTM

(5)

整理得到

(6)

3 基于傳遞矩陣的漸近解

基于平面波理論求得漸變截面背腔微穿孔的聲學控制方程如式(5)所示，由于式(6)中的系數矩陣為隨管軸坐標的變系數矩陣，無法直接求得消聲器內聲場。使用傳遞矩陣法將變截面背腔消聲器微分成N段子消聲器串聯結構，原消聲器可以等效為N段長度為Δl=L/N的等直徑背腔的微穿孔消聲器和N-1段面積突變結構的串聯，如圖2所示。

圖2 漸變截面背腔微穿孔管消聲器的離散Fig.2 Discrete approximation of the GCBCMPTM

對于直通式微穿孔消聲器的傳遞矩陣，已有研究人員推導，此處僅簡要描述。從第i段微穿孔消聲器入口到出口的傳遞矩陣[R]i為

(7)

其中，

(8)

[Ω]i為[A]i的特征矩陣；λ為[A]i的特征值。

(9)

(10)

從第段微穿孔消聲器出口到第i+1段微穿孔消聲器入口的傳遞矩陣[B]i為

(11)

漸變截面背腔微穿孔消聲器的入口到出口的聲壓與質點振速傳遞矩陣[C]為

(12)

[C]=[R]1[B]1[R]2…[B]N-1[R]N

(13)

在膨脹腔，入口端和出口端的邊界條件可以寫成

u2(0)=0
u2(L)=0

(14)

代入式(12)可得穿孔管入口和出口之間的傳遞矩陣關系式

(15)

進而得到消聲器的傳遞損失為

(16)

式中：Si和So分別為消失器入口和出口截面積。

4 理論模型驗證

前文基于平面波理論和微穿孔吸聲理論，推導了漸變截面背腔微穿孔管路消聲器的聲學控制方程，并且利用傳遞矩陣法求得消聲器的傳遞損失。下面對兩種特殊結構—錐形結構背腔微穿孔管消聲器(Conical Back Cavity Micro-Perforated Tube Muffler，CBCMPTM)和弧形體結構背腔微穿孔管消聲器(Circular Arc Back Cavity Micro-Perforated Tube Muffler，CABCMPTM)的傳遞損失進行數值計算，并利用聲學有限元軟件ACTRAN進行仿真驗證。以下分析都是在標準大氣、15 ℃的條件下進行，空氣密度為ρ0=1.225 kg·m-3，聲速為c0=340 m/s。

4.1 圓錐結構背腔微穿孔管路消聲器

如圖3所示，圓錐結構背腔微穿孔管消聲器的背腔入口直徑為d1，出口直徑d2，長度為L?？傻脠A錐結構背腔的截面積為

(17)

圖3 圓錐結構背腔微穿孔管消聲器結構模型Fig.3 Geometric model of CBCMPTM

圓錐結構背腔的結構參數表1所示。

表1 圓錐結構背腔微穿孔管結構參數

代入式(7)～式(16)可得圓錐結構背腔微穿孔管消聲器的傳遞損失。

為檢驗本文理論推導結果的誤差和適用范圍，采用三維有限元分析軟件ACTRAN進行仿真驗證，有限元模型如圖4所示。

圖4 圓錐結構背腔微穿孔管消聲器的有限元模型Fig.4 FEM model of CBCMPTM

使用六面體單元劃分模型，根據每波長6個聲學網格的原則，模型能夠分析的上限頻率為

(18)

滿足分析頻率范圍需要。

考慮到高階模態聲波的傳播過程，使用管道模態模擬弧形管的出、入口，仿真計算得到的結果與前文理論求解結果的對比，如圖5所示。

圖5 圓錐結構背腔微穿孔管消聲器的有限元仿真與理論計算比較Fig.5 Comparison of calculated values with FEM results of CBCMPTM

對比理論計算和仿真分析結果，發現在中低頻范圍內，基于一維聲傳播理論求得的圓錐結構背腔微穿孔管消聲器的傳遞損失能較好地預測圓錐結構背腔微穿孔管消聲器的聲學特性。

4.2 弧形體結構背腔微穿孔管路消聲器

如圖6所示，弧形體結構背腔微穿孔管消聲器的背腔入口直徑和出口直徑同為d3，長度為L，圓弧半徑為R?？傻没⌒误w背腔的截面積為

(19)

代入式(5)可得弧形體結構背腔微穿孔管消聲器的聲學控制方程。

弧形體結構背腔的結構參數表2所示。

表2 弧形體結構背腔微穿孔管結構參數

圖6 弧形體結構背腔微穿孔管消聲器結構模型Fig.6 Geometric model of CABCMPTM

同理，有限元仿真計算結果與前文理論求解結果的對比，如圖7所示。

圖7 弧形體結構背腔微穿孔管消聲器的有限元仿真與理論計算比較Fig.7 Comparison of calculated values with FEM results of CABCMPTM

同樣，在中低頻范圍內，基于一維聲傳播理論求得的弧形體結構微穿孔管消聲器的傳遞損失，能較好地預測弧形體結構背腔微穿孔管消聲器的聲學特性。

5 結果分析

為直觀地比較背腔結構對微穿孔管消聲器傳遞損失的影響，在等容積、等長度的條件下，構造圓柱結構背腔微穿孔管消聲器，如圖8所示，結構參數如表3所示。

圖8 圓柱結背腔構微穿孔管消聲器結構模型Fig.8 Geometric model of cylindrical back cavity MPTM

d0/mmd/mmt/mmσ/%d5/mmL/mm420.40.81.1122300

圓柱形結構背腔微穿孔管消聲器的背腔直徑和出口直徑同為d5。對于圓錐結構背腔和弧形體結構背腔，當結構參數取d2=d1=d5和d3=d4=d5，R=∞的特殊情況，可以看作漸變背腔結構對圓柱形結構背腔的無限逼近。用本文理論計算圓錐結構背腔和弧形體結構背腔管路消聲傳遞損失與采用參考文獻[4]方法計算得到的圓柱形結構背腔微穿孔管消聲器傳遞損失曲線對比，如圖9所示。

圖9 漸變截面背腔對圓柱形背腔微穿孔消聲器的逼近Fig.9 GCBCMPTM approach to cylindrical back cavity MPTM

可以看出，當漸變背腔結構對圓柱形結構背腔的逼近的時候，本文所推導的漸變結構背腔微穿孔管路消聲器傳遞損失計算結果與參考文獻[4]的求解圓柱形背腔微穿孔管路消聲器的計算結果吻合良好。從另外一個角度驗證了本文所建立的理論模型的準確性。

5.1 漸變截面背腔的聲腔模態分析

利用有限元方法分析了圓柱形結構背腔(f1)、圓錐結構背腔(f2)、弧形體結構背腔(f3)三種結構背腔的微穿孔管消的聲腔模態，表4列出了2 kHz以內的聲腔模態頻率及對應的模態階數。

表4 不同結構背腔的聲腔模態頻率

結合圖5、圖7和圖9發現，消聲器的傳遞損失曲線在背腔軸向模態頻率附近出現極小值，而在其他方向模態頻率處沒有明顯影響。對比發現，漸變截面背腔的軸向模態頻率較直通式背腔結構的軸向模態頻率高，所以，漸變截面背腔微穿孔管消聲器的吸聲帶寬較直通式背腔結構消聲器更寬。

5.2 結構參數對傳遞損失的影響

為研究結構參數對漸變截面背腔微穿孔管消聲器傳遞損失的影響，分別設置三種結構形式的微穿孔管消聲器，其中S1為直通式微穿孔管消聲器，用作比照；S2，S3為錐形結構背腔微穿孔管消聲器；S4，S5為弧形體結構背腔微穿孔消聲器。5個樣本的結構參數如表5所示。依據前文推導的漸變截面背腔微穿孔消聲器聲傳遞理論，求得5個樣本的傳遞損失曲線如圖10所示。

表5 微穿孔管消聲器結構參數

圖10 結構參數對傳遞損失的影響Fig.10 Influence of structure parameters on the TL

由圖10可見，較圓柱形結構背腔微穿孔管路消聲器，漸變截面背腔微穿孔管路消聲器具有更好的低頻消聲效果。對于錐形結構背腔，增加錐形結構背腔的錐度，能夠進一步拓寬吸聲頻帶，同時提高背腔軸向共振頻率處的極小值；對于弧形體結構背腔，減小弧形體半徑，能夠有效拓寬低頻部分吸聲帶寬，同時提高低頻的吸聲效果。

6 結 論

本文基于平面波理論和微穿孔吸聲理論，得到了漸變截面背腔微穿孔管路消聲器的聲學方程，利用傳遞矩陣法求得消聲器的傳遞損失。對比理論計算結果與有限元仿真結果，二者吻合良好，驗證了本文理論方法的有效性，進一步分析了結構參數對漸變截面背腔微穿孔管消聲器傳遞損失的影響。得到以下結論：

(1)微穿孔管消聲器的傳遞損失曲線在背腔軸向模態頻率附近出現極小值，而在其他方向模態頻率處的影響并不明顯。對比發現，在等容積條件下，圓錐結構背腔和弧形體結構背腔的軸向模態頻率較圓柱結構背腔的軸向模態頻率高。

(2)較圓柱形結構背腔微穿孔管路消聲器，漸變截面背腔微穿孔管路消聲器具有更好的低頻消聲效果。對于錐形結構背腔，增加錐形結構背腔的錐度，能夠進一步拓寬吸聲頻帶，同時提高背腔軸向共振頻率處的極小值；對于弧形體結構背腔，減小弧形體半徑，能夠有效拓寬低頻部分吸聲帶寬，同時提高低頻段的吸聲效果。