梯形聚乙烯泡沫結構動態壓縮響應有限元分析

盧富德， 滑廣軍， 王麗姝， 劉奇龍， 蔣海云， 高 德

(1. 湖南工業大學 包裝與材料工程學院，湖南 株洲 412007； 2. 浙江大學 寧波理工學院，浙江 寧波 315100)

由于質輕、防潮及良好的吸能效果，發泡聚乙烯EPE被廣泛應用于緩沖包裝領域。設計EPE 泡沫襯墊方法主要采用傳統的緩沖曲線方法，按照ASTM D1596標準利用跌落試驗得到最大加速度與跌落高度、泡沫厚度、靜應力之間的關系曲線[1]，這種獲取緩沖曲線的方法需要大量的試驗次數，成本較高。為了減少試驗次數及提高設計效率， Sek等[2-3]基于提出的動態因子，在準靜態應力-應變的基礎上，按照一定的程序，可以方便得出一系列最大加速度-靜應力曲線,文獻[4]采用Sek等提出的這種方法獲得了EPE的緩沖曲線。Piatkowski等[5]基于應力-能量方法，推導出EPE的最大加速度-靜應力曲線。Mcgee等[6]利用同樣的方法，得出溫度對EPE緩沖曲線的影響規律，大大簡化了獲取緩沖曲線的流程。

以上研究結果均是針對長方體形狀的EPE，因此泡沫壓縮變形僅限于一維變形。在實際的緩沖包裝設計中，EPE常被制作角襯墊、棱襯墊的結構形式，當這種結構壓縮時，泡沫已經呈現二維或三維變形，泡沫的力學行為表現的更加復雜[7-9]。Mills等與Hammou等借助有限元軟件對梯形EPS襯墊結構進行有限元數值研究，總結了變形規律。

梯形EPE結構經常出現在實際的緩沖包裝設計中，由于EPE與EPS力學性能差異明顯，研究梯形EPE泡沫結構的沖擊力學性能具有十分重要的工程意義。

1 EPE梯形結構跌落試驗材料與方法

圖1(a)所示的梯形泡沫結構，當泡沫上下方向加載時，其結構可以簡化為圖1(b)所示的二維梯形結構，設上底邊長為l0,下底邊長l1,厚度為h，錐度α定義為：α=(l1-l0)/2h，此參數用來表示梯形截面上、下兩底邊長的差異程度。取4個錐度結構，分別記作結構1、結構2、結構3與結構4,其具體結構尺寸如表1所示，所有試樣寬度為0.2 m。所需試驗儀器：DY-3落錘試驗臺，CA-YD-107加速度傳感器，Y4-S2高速攝像機。落錘質量m取4 kg,跌落高度選取0.8 m。試驗環境條件：相對濕度50%，溫度為23 ℃，EPE密度為28 kg/m3的。每個尺寸組合做5次試驗，測量質量塊的加速度脈沖并取平均值作為試驗結果。

2 模型與計算方法

密度為28 kg/m3的EPE廣泛應用于緩沖設計，根據其準靜態、跌落動態試驗結果得到的工程應力-應變曲線，文獻[10]建立了一維宏觀關系為

(1)

式中：q1=0.093 MPa；q2=0.252 MPa；q3=0.010 MPa；q4=1.916 rad；q5=53.0 Pa·s。

式(1)是基于長方體形狀的EPE的本構行為，不能應用于具有梯形形狀的泡沫結構，示意圖如圖1(a)所示，Masso-Moreu等[11]曾對EPS梯形泡沫結構進行了有限元分析，因為EPS呈現彈塑性力學性能，與EPE的性能有較大不同[12-14]，此研究結果不能有效指導EPE的動態壓縮響應。

圖1 梯形泡沫結構Fig.1 Schematic diagram of trapezoid structure

因此，針對圖1(b)的梯形泡沫結構響應，給出兩種求解方法: ABAQUS/Explicit建立梯形泡沫結構的二維有限元模型,得到泡沫結構較為精確的壓縮響應；利用一維動力學模型簡化求解過程。

2.1 泡沫結構的有限元模型

為得到梯形泡沫結構較為精確的響應，建立泡沫二維有限元模型，如圖2所示，模型由質量塊、泡沫、地面等三個部件組成。對質量塊、地面部件設定為離散剛體，輸入質量塊部件的質量4 kg, 單元類型選用二維線性剛性連接節點單元C2D2; 泡沫部件選用低密度泡沫模型(Low Density Foam),輸入泡沫EPE的密度28 kg/m3及式(1)所示的應力-應變曲線，約束質量塊的旋轉自由度及水平方向自由度，以及地面的所有自由度。泡沫部件的網格尺寸大約為2.5 mm，單元選取4節點雙線性平面應變單元CPE4R，取重錘與梯形上底接觸方式為面與面接觸方式，下底與地面也采用面-面接觸方式。

圖2 泡沫二維有限元模型Fig.2 2D finite element model of trapezoid structure

3 結果與討論

3.1 有限元數值結果與試驗結果對比

圖3為結構1～結構3試驗與數值加速度-時間曲線，二者吻合較好，結構1～結構3系統的最大加速度結果分別為(74.4g,72.2g)、(77.1g,78.5g)與(94.4g,99.2g)，括號中的第一個數為試驗結果，第二個數為數值模擬結果；從結構1～結構3，盡管泡沫材料用量相同，但質量塊的最大加速度卻不斷提高，這是由于梯形泡沫結構變形模式造成的。利用高速攝像機與有限元方法給出了結構2在變形15%～65%的試驗與數值結果，如圖4所示，二者的變形模式基本相同。為了比較梯形泡沫結構與長方體規則結構響應的不同，結構1與結構4的試驗與有限元沖擊響應結果對比，如圖5所示，兩個結構的沖擊響應比較接近，這是因為結構1的錐度較小，接近規則的泡沫結構，即上、下底長度相等的長方體泡沫結構，結果1變形較為均勻。

圖3 質量塊加速度-時間曲線圖Fig.3 Experimental and simulation acceleration-time curves

圖4 泡沫結構試驗與數值變形圖Fig.4 Experimental and simulation deformation pictures

圖5 結構1與結構4的加速度-時間曲線對比Fig.5 The acceleration-time curves of structure 1 and structure 4

由試驗與有限元結果得出的梯形泡沫系統的加速度-時間曲線及結構的動態變形圖對比可知，二維有限元模型可以精確求解梯形泡沫結構的沖擊力學行為。

3.2 分析模型結果與試驗結果對比

為了利用一維動力學模型近似求解梯形泡沫結構沖擊力學響應，引入虛擬質量，對梯形泡沫結構按照一維變形進行處理，示意圖如圖6所示。

圖6 梯形泡沫動力學系統示意圖Fig.3 Schematic diagram of dynamic model of the trapezoid structure

圖6為梯形泡沫結構在質量m壓縮下的動力學模型示意圖，沿厚度方向把泡沫分成n等分，每部分之間建立坐標yi(i=1,2,…,n)表示層間的運動，并在每兩層之間加一個虛擬質量m1，因此系統的運動學方程為[15]

(2)

其中，

(3)

利用Runge-Kutta法，即可求解式(2)，并最終得到質量塊的加速度響應[16-18]。利用龍格-庫塔法，對表1所示的4個結構進行計算，虛擬質量m1取質量m的千分之一，并與沖擊試驗結果進行對比,以用于分析虛擬質量方法的有效性。

圖7為結構1、結構2的試驗結果與對應的虛擬質量結果對比，可以看出在曲線開始到最大值之間所表示的壓縮區域，二者吻合較好，而在卸載階段則出輕微的差異。

圖7 結構1與結構2的試驗與模型加速度-時間曲線Fig.7 Acceleration-time curves of trapezoid foam structure 1 and structure 2

試驗與虛擬質量模型所得到結構3的加速度-時間曲線，如圖8所示，二者峰值出現較大的差異，這是由于結構3的較大錐度引起的不均勻變形導致的結果。由于結構3的上、下底邊長差異較大，當壓縮時，有效的下底長l1會比實際長度小，因此當取l1為0.1 m，0.08 m時,分析模型得到的結果逐步接近試驗結果。

圖8 結構3的試驗與模型加速度-時間曲線Fig.8 Acceleration-time curves of trapezoid foam structure 1 and structure 3

4 結 論

本文基于沖擊試驗、有限元數值方法、虛擬質量方法研究了梯形泡沫結構的沖擊響應規律。通過二維有限元模型，分析了梯形泡沫結構的動力學響應與變形模式；然后，通過引入虛擬質量將梯形泡沫系統動力學行為表示成微分方程組的形式，利用龍格-庫塔法對系統響應進行求解。研究表明：

(1) 基于ABAQUS/Explicit中的低密度泡沫材料本構所建立的二維有限元模型，能準確預測梯形EPE泡沫結構沖擊力學行為及變形模式。

(2)利用“多層串聯”的思路，把二維動力學模型簡化為一維動力學模型，雖然一維動力學模型精度比二維有限元模型差，但能滿足工程所要求的標準，同樣為緩沖設計提供了較好的方法。