串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器水平動力學(xué)分析

喻 強(qiáng)， 徐登峰， 朱 煜,， 管高峰， 李 強(qiáng)

(1. 電子科技大學(xué) 機(jī)械與電氣工程學(xué)院，成都 611731；2. 清華大學(xué) 機(jī)械工程系，北京 100084；3. 武昌理工學(xué)院 信息工程學(xué)院，武漢 430223)

倒立的擺動裝置(倒擺)不僅結(jié)構(gòu)簡單、成本低廉，而且還是一種負(fù)剛度系統(tǒng)。1965年，Blitzer[1]和Phelps等[2]分別利用牛頓力學(xué)法和拉格朗日方程法建立了比較完整的倒擺運(yùn)動方程。1993年和1994年，Pinoli等[3]和Saulson等[4]分別開始提出可將倒擺用于水平隔振裝置中。之后的諸多學(xué)者[5-8]相繼將倒擺聯(lián)合空氣彈簧、鈹青銅片、金屬彈簧、高強(qiáng)度撓性關(guān)節(jié)、復(fù)合擺等一起使用，用于各種精密超精密加工測量、光學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置、生物基因操作裝備和高端物理/化學(xué)實(shí)驗(yàn)等領(lǐng)域中隔離水平方向有害振動。

空氣彈簧具有低剛度和大承載能力的特點(diǎn)。1847年，John[9]首先提出了空氣彈簧結(jié)構(gòu)，并成功地應(yīng)用在車輛懸掛系統(tǒng)中，其后便在地鐵、工業(yè)和軍事等領(lǐng)域得到了越來越廣泛的應(yīng)用。1961年，Harris等[10]給出了空氣彈簧傳遞率線性模型。1998年， Erin等[11]基于理想氣體狀態(tài)方程和實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)，給出了改進(jìn)的空氣彈簧線性分析模型。2011年，Pu等[12]通過測試空氣彈簧剛度與理論推導(dǎo)結(jié)果之間的差異，建立了阻尼可調(diào)的空氣彈簧剛度與阻尼模型。

空氣彈簧具有較低的垂直剛度和較大的水平剛度，倒擺具有較低的水平剛度和較大的垂直剛度，二者串聯(lián)使用不僅解決了倒擺單獨(dú)使用時極不穩(wěn)定的問題，還使串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器垂直和水平方向同時實(shí)現(xiàn)了低剛度。國外的Nikon[13]和ASML[14]等公司，國內(nèi)的哈爾濱工業(yè)大學(xué)[15]、上海大學(xué)[16]和江西連勝[17]等高校和公司相繼設(shè)計出各種串聯(lián)倒擺的空氣彈簧精密隔振機(jī)構(gòu)，并申請了相關(guān)專利保護(hù)。蒲華燕[18]考慮了倒擺擺桿柔性的影響，得到了隔振機(jī)構(gòu)的水平剛度，但其未考慮空氣彈簧的影響。董卡卡等[19]建立了等效動力學(xué)模型，通過實(shí)驗(yàn)和參數(shù)辨識的方法獲得了水平剛度和固有頻率等參數(shù)。朱煜等[20]對串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器中倒擺的穩(wěn)定性進(jìn)行了全面的分析，并確定了影響倒擺穩(wěn)定性的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)。

此前，作者已在本雜志發(fā)表文獻(xiàn)《串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器中倒擺的穩(wěn)定性分析》，本文在該文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)以串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器為研究對象，綜合考慮了空氣彈簧內(nèi)部壓縮空氣壓強(qiáng)大小和空氣彈簧水平剛度大小對隔振器固有頻率的影響，通過動力學(xué)分析建立倒擺轉(zhuǎn)動的運(yùn)動微分方程，得到了水平方向固有頻率表達(dá)式。另外，通過相關(guān)實(shí)驗(yàn)對該表達(dá)式進(jìn)行了初步驗(yàn)證。最后，通過數(shù)值仿真分析為隔振器的進(jìn)一步參數(shù)優(yōu)化設(shè)計提供理論指導(dǎo)。

1 理論分析

串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器示意圖如圖1所示。其中，倒擺主要由負(fù)載、擺桿、上活塞和下活塞等組成，空氣彈簧主要由壓環(huán)、橡膠模片、腔室和壓縮空氣等組成。外界振動作用下，倒擺會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，然后在彈性恢復(fù)力的作用下逐漸回復(fù)到原來的初始位置。該恢復(fù)力主要與空氣彈簧本身水平剛度大小和負(fù)載重力大小有關(guān)，而空氣彈簧水平剛度又與空氣彈簧內(nèi)部壓縮空氣的壓強(qiáng)大小有關(guān)。

圖1 串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器示意圖Fig.1 Air spring vibration isolator in series with inverted pendulum

因此，本章節(jié)將先計算空氣彈簧內(nèi)部壓縮空氣的壓強(qiáng)大小。然后，再計算空氣彈簧的水平剛度大小。最后，通過串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器水平方向動力學(xué)分析，得到了水平方向固有頻率表達(dá)式。

1.1 空氣彈簧內(nèi)部壓縮空氣壓強(qiáng)的計算

橡膠膜片與負(fù)載受力示意圖如圖2所示，橡膠膜片的厚度忽略不計, 上活塞直徑為2R。為方便計算，近似理想化認(rèn)為橡膠膜片在壓環(huán)和上活塞之間環(huán)形鼓起部分的斷面是簡單的圓弧，其直徑為2r。空氣彈簧內(nèi)部壓縮空氣壓強(qiáng)為P1，外部標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)為P0。鼓起橡膠膜片部分受到空氣彈簧內(nèi)部壓縮空氣垂直向上的拉力F1、橡膠膜片外圈受到壓環(huán)垂直向下的拉力F0，橡膠膜片內(nèi)圈受到上活塞垂直向下的拉力F0。中間上活塞受到負(fù)載垂直向下重力mg(包括上活塞、下活塞和擺桿等重力)、鼓起橡膠膜片部分垂直向上的拉力F′0和空氣彈簧內(nèi)部壓縮空氣垂直向上的拉力F2。

圖2 橡膠膜片與負(fù)載受力示意圖Fig.2 The force of the elastomer diaphragm and the load

鼓起橡膠膜片部分受到空氣彈簧內(nèi)部壓縮空氣垂直向上的拉力F1的大小為

F1=4π(Rr+r2)(P1-P0)

(1)

則F0和F0′的大小為

(2)

中間上活塞受到空氣彈簧內(nèi)部壓縮空氣垂直向上的拉力F2的大小為

F2=πR2(P1-P0)

(3)

由上活塞的受力分析可知

(4)

將式(2)和式(3)代入式(4)中，可得空氣彈簧內(nèi)部壓縮空氣壓強(qiáng)P1的大小為

(5)

1.2 空氣彈簧水平剛度的計算

空氣彈簧的水平方向運(yùn)動如圖3所示，當(dāng)水平方向產(chǎn)生x的位移時，上活塞和橡膠膜片從圖中虛線所示的初始位置運(yùn)動到實(shí)線所示的實(shí)際位置。此時，左側(cè)橡膠膜片與上活塞的接觸面積變小，右側(cè)橡膠膜片與上活塞的接觸面積變大，在空氣彈簧內(nèi)部壓縮空氣的作用下，上活塞(包括擺桿和負(fù)載等)會受到恢復(fù)力F作用而回復(fù)到原來的初始平衡位置。

如圖3所示，設(shè)橡膠膜片與上活塞左側(cè)最短接觸長度為l，橡膠膜片與上活塞右側(cè)最長接觸長度為L，橡膠膜片中簾布的存在使上活塞四周鼓起圓弧部分的長度無法被拉伸或壓縮而改變，則有

(6)

進(jìn)一步整理計算可得

(7)

圖3 空氣彈簧的水平方向運(yùn)動Fig.3 Horizontal motion of air spring

上活塞與兩側(cè)橡膠模片接觸的面積差是產(chǎn)生恢復(fù)力F的主要原因。微幅振動時，水平位移x很小，近似認(rèn)為空氣彈簧內(nèi)部容積和壓強(qiáng)不變，上述面積差向一側(cè)的投影面即為一個長軸為2R，短軸為(L-l)的橢圓。根據(jù)該橢圓的面積和空氣彈簧內(nèi)部壓縮空氣壓強(qiáng)的大小，可直接計算出水平恢復(fù)力F的大小

(8)

則空氣彈簧水平剛度k(忽略了橡膠膜片本身的水平剛度)的大小為

(9)

1.3 水平方向動力學(xué)分析

串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器阻尼很小，近似認(rèn)為是無阻尼振動系統(tǒng)。將圖1所示的示意圖簡化為圖4所示的等效模型，負(fù)載等效為一個實(shí)心小球，擺桿等效為一根無質(zhì)量細(xì)長剛性桿，空氣彈簧等效為一個水平彈簧。其中，m為負(fù)載總大小，k為空氣彈簧的水平剛度，h為倒擺擺桿的有效擺長，H為負(fù)載質(zhì)心的高度。

當(dāng)?shù)箶[偏轉(zhuǎn)一個角位移θ時，空氣彈簧的恢復(fù)力為khsinθ，方向水平向左，重力mg的方向垂直向下，則擺桿轉(zhuǎn)動的運(yùn)動微分方程為

(10)

微幅振動時，θ很小，近似有sinθ≈θ和cosθ≈1，進(jìn)一步簡化式(10)可得

圖4 串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器等效模型Fig.4 Equivalent model of air spring vibration isolator in series with inverted pendulum

(11)

當(dāng)(kh2-mgH)>0 時，系統(tǒng)是穩(wěn)態(tài)振動，其固有頻率fn的表達(dá)式為

(12)

最后，將式(5)空氣彈簧內(nèi)部壓縮空氣壓強(qiáng)P1代入式(9)空氣彈簧水平剛度k中，再將k的計算結(jié)果代入式(12)中，可進(jìn)一步得到串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器水平方向固有頻率fn的表達(dá)式為

(13)

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

由6個自主研制的串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器組成的被動隔振系統(tǒng)作為實(shí)驗(yàn)對象，如圖5(a)所示。由中國地震局工程力學(xué)研究所研制的991B型拾振器采集地面和負(fù)載表面實(shí)時振動數(shù)據(jù)，如圖5(b)所示。由北京東方振動和噪聲技術(shù)研究所研制的INV3060T動態(tài)數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)對測試的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時分析得到隔振系統(tǒng)傳遞率曲線，如圖5(c)所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)設(shè)備Fig.5 Experimental equipment

實(shí)驗(yàn)所用的隔振器各參數(shù)名稱和參數(shù)值如表1所示，將表中各參數(shù)值代入固有頻率計算式(13)中，可得固有頻率fn為fn=1.040 8 Hz

(14)

表1 串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器各參數(shù)值

利用拾振器和動態(tài)數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)測試得到的隔振傳遞率曲線如圖6所示，實(shí)測固有頻率f為1.25 Hz。本文所提出的水平方向固有頻率fn計算結(jié)果與實(shí)測結(jié)果f的誤差εn為16.7%，初步驗(yàn)證了通過水平方向動力學(xué)分析所得串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器水平方向固有頻率計算公式誤差較小。

圖6 實(shí)測傳遞率曲線Fig.6 Measured transmissibility curve

3 仿真分析與參數(shù)優(yōu)化

從固有頻率fn表達(dá)式(13)中可以看出，其大小主要與上活塞半徑R、橡膠膜片鼓起圓弧半徑r、倒擺擺桿有效擺長h、負(fù)載質(zhì)心高度H和負(fù)載總質(zhì)量m有關(guān)。針對圖5和表1所示的隔振器算例，逐一仿真分析上述五個參數(shù)的變化對固有頻率的影響，并在此基礎(chǔ)上初步給出一些可行的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計。仿真分析結(jié)果如圖7所示，其中：

(1) 隨著上活塞半徑R的增加，固有頻率fn不斷降低，但當(dāng)R增加到150 mm以后時，fn降低的幅度很小。因此，存在一個較優(yōu)的上活塞半徑的值，適當(dāng)增加上活塞半徑R至該值可以降低固有頻率，獲得更好的隔振性能。

(2) 隨著橡膠膜片鼓起圓弧半徑r的增加，固有頻率fn有所降低，但降低的幅度很小，僅在10%以內(nèi)。因此，嘗試通過優(yōu)化橡膠膜片鼓起圓弧半徑r來降低固有頻率，獲得更好的隔振性能，其效果有限。

圖7 五個參數(shù)的變化對固有頻率的影響Fig.7 The influence of the five parameters on the fn

(3) 隨著倒擺擺桿有效擺長h的減小，固有頻率fn有所降低，但降低的幅度也很小，僅在10%以內(nèi)。因此，嘗試通過優(yōu)化倒擺擺桿有效擺長h來降低固有頻率，獲得更好的隔振性能，其效果有限。

(4) 隨著負(fù)載質(zhì)心高度H的增加，固有頻率fn有所降低，但增加H會使整體隔振機(jī)構(gòu)重心過高，影響穩(wěn)定性。因此，嘗試通過優(yōu)化負(fù)載質(zhì)心高度H來降低固有頻率，獲得更好的隔振性能，其效果有限。

(5) 隨著負(fù)載總質(zhì)量m的增加，固有頻率fn不斷降低，但當(dāng)m增加到1 200～1 500 kg以后時，fn降低的幅度很小。因此，存在一個較優(yōu)的負(fù)載值，適當(dāng)增加負(fù)載總質(zhì)量m至該值可以降低固有頻率，獲得更好的隔振性能。

綜上所述，上活塞半徑R和負(fù)載總質(zhì)量m是影響水平方向固有頻率fn的主要因素。綜合考慮這些參數(shù)對倒擺穩(wěn)定性的影響，為了降低固有頻率獲得更好的隔振性能，可以適當(dāng)增加上活塞半徑R至150 mm左右或適當(dāng)增加負(fù)載總質(zhì)量m至1 200～1 500 kg左右。

4 結(jié) 論

微幅振動條件下，對于串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器，通過動力學(xué)分析建立了倒擺轉(zhuǎn)動的運(yùn)動微分方程，得到了水平方向固有頻率表達(dá)式。傳統(tǒng)單擺固有頻率計算公式僅與倒擺擺桿有效擺長有關(guān)，本文研究發(fā)現(xiàn)空氣彈簧上活塞半徑、橡膠膜片鼓起圓弧半徑、倒擺擺桿有效擺長、負(fù)載質(zhì)心高度和負(fù)載總質(zhì)量均會影響系統(tǒng)水平方向的固有頻率，空氣彈簧本身的影響不可忽略。相關(guān)實(shí)驗(yàn)初步驗(yàn)證了所獲水平方向固有頻率表達(dá)式的計算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果誤差較小。針對所選隔振器算例，分別仿真分析了五個參數(shù)的變化對固有頻率的影響，結(jié)果表明上活塞半徑和負(fù)載總質(zhì)量是影響固有頻率的主要因素。綜合考慮倒擺的穩(wěn)定性，適當(dāng)增加上活塞半徑或增加負(fù)載總質(zhì)量，可以降低隔振器固有頻率，獲得更好的隔振性能。