驅動剛度非線性對雙檢測微陀螺性能的影響

郝淑英， 李偉雄， 李會杰， 張琪昌， 馮晶晶

(1. 天津市先進機電系統設計與控制重點實驗室，天津 300384； 2. 機電工程國家級實驗教學示范中心，天津 300384；3. 天津市非線性動力學與控制重點實驗室，天津 300072)

微陀螺儀是一種微傳感器，用于測量物體相對慣性空間轉動的角速度或者角度，在各種制導航空彈藥、微小飛行器、穩定平臺、機器人等軍事領域和汽車導航、消費電子、移動應用等民用領域有著廣闊的應用前景[1]。在微機械陀螺的研究中，陀螺的靈敏度和分辨率的提高始終是人們追求的主要目標[2]。學者們在研究過程中發現，微電子機械系統中存在著多種非線性因素：所用特殊材料的非線性、剛度的非線性、靜電力的非線性[3]以及擠壓氣隙阻力的非線性[4]等，這些因素的存在往往會導致線性動力學的設計不精確甚至失效[5]，同時，也會使微陀螺系統表現出更為復雜的靜動態動力學行為。隨著研究的深入，了解非線性行為對微陀螺性能影響的重要性逐漸被重視。微陀螺系統中的剛度非線性是由微彈性梁幾何大變形引起的一種非線性現象。文永蓬等[6]指出非線性剛度會造成微陀螺在零角速度附近，系統有相對大的輸出，即出現明顯的零點漂移，這非常不利于檢測。剛度非線性特性還會影響閉環諧振電路的穩定性，如果控制電路參數設置處理不好，會出現混沌、分岔等震蕩不穩定現象[7-9]；另一方面，對于單自由度微陀螺系統，微彈性梁的非線性剛度硬化作用對輕松匹配驅動和檢測模態頻率非常有用，可以有效提高微陀螺的靈敏度[10]。通過前人研究可知微陀螺系統中的剛度非線性因素不可被忽略，因此，分析帶有非線性因素的微陀螺的動力學行為對于了解其全局動力學行為、發展動力學控制問題以及優化振動設計是至關重要的。

然而，目前對微陀螺非線性動力學問題的研究目標僅限于單自由度系統，多自由度微陀螺的非線性問題鮮有報道。在多自由度微陀螺的研究方面，朱奎寶等[11]設計一種新的三自由度諧振式MEMS(Micro-Electro Mechanical Systems)陀螺結構,檢測方向為雙自由度,有效解決了陀螺帶寬與檢測靈敏度間的矛盾問題,提高了陀螺抗干擾的性能。Wang等[12]提出了一種新型四自由度MEMS微陀螺模型，驅動方向和檢測方向均采用雙質量塊，同時提高了驅動和檢測方向的帶寬，并讓兩個帶寬高度匹配，極大地提高了微陀螺的魯棒性。但在多自由度系統的研究中，通常會將實際檢測輸出表達式中科氏力的影響消去，隱藏了科氏力變化對檢測輸出的影響，將雙檢測系統看作相對驅動獨立存在的兩自由度系統。通過本文分析所得結論，當考慮了驅動方向剛度非線性因素時，這種簡化方式不再適用。

本文以單驅動雙檢測三自由度的微陀螺為研究對象，文中采用解析和數值結合的方法，假設驅動方向阻尼是線性的，對比線性剛度結果分析驅動剛度非線性對微陀螺驅動、檢測一和檢測二的幅頻曲線、共振頻率和微陀螺性能的穩定性的影響規律。首先采用解析方法得到線性剛度下微陀螺系統的穩態響應，其間，考慮科氏力對檢測輸出的影響；其次，計入驅動方向的剛度非線性因素，分析其對驅動方向幅頻曲線、共振頻率造成的影響規律，由于檢測方向的科氏力和驅動方向響應的幅值密切相關，因此，驅動方向的剛度非線性會間接影響檢測方向的輸出，從而影響到微陀螺的靈敏度和帶寬。這些為接下來進一步探究多自由度微陀螺更為復雜的非線性動力行為提供理論基礎。

1 單驅動雙檢測微陀螺的工作原理

本文的研究對象是單驅動雙檢測的三自由度雙解耦微陀螺，該結構結合了雙級解耦和雙自由度檢測的優點。圖1中，x方向為驅動模態，y方向為檢測模態，解耦質量塊mc起到隔離驅動模態和檢測模態振動的作用，該質量塊具有x,y兩個方向的自由度,在驅動方向上，mc在梁k′s1的約束下通過梁k′d的連接沿x方向運動，此時，檢測質量塊ms1,ms2由于梁ks1的作用而保持靜止；在檢測方向上，mc在梁k′d的約束下通過梁k′s1的連接沿y方向振動，此時，驅動質量塊md由于驅動梁kd的作用而在y方向相對靜止。因此，mc有兩個方向的自由度，md只有驅動方向一個自由度，ms1,ms2共同構成的檢測質量塊使得檢測方向具有兩個自由度，從而使得檢測模態的幅頻特性產生了不同于傳統微陀螺的曲線。

圖1 單驅動雙檢測微陀螺動力學模型Fig.1 Dynamic model of single-drive double-sense micro-gyroscope

2 模型的線性剛度分析

建立該微陀螺動力學方程

(1)

式中：x,mx,Cx,kx，yi,myi,Cyi,kyi分別為微陀螺驅動方向，檢測方向第i自由度的位移、質量、阻尼系數、彈性梁彈性系數，i=(1,2)；Ωz為微陀螺輸入角速度；F0為靜電驅動力；ω0為激勵頻率， 且mx=mc+md，kx=kd+k′d，my1=mc+ms1，my2=ms2，ky1=ks1+k′s1，ky2=ks2。

采用復指數法對雙檢測動力學方程進行求解。解得穩態振幅B1,B2為

(2)

圖2 檢測方向線性剛度下的幅頻曲線Fig.2 Amplitude frequency curve of sense detection under linear stiffness

對比圖2(a)和圖2(b)，發現由于科氏力的影響，檢測一、檢測二的幅值在驅動模態固有頻率處均發生了明顯的共振現象，出現新的共振峰且位于兩檢測模態頻率共振峰中間。這是由于科氏力是驅動響應幅值及激勵頻率的函數，驅動方向發生共振時獲得最大的驅動響應幅值，此時科氏力最大，即中間的峰值是由于科氏力最大引起的，其與驅動的模態頻率相對應。本文的理論分析結果與文獻[13]的數學仿真相吻合，幅頻曲線都獲得三個峰值。在目前大多數針對多自由度微陀螺的研究中，均忽略了科氏力變化對檢測輸出的影響，即在實際檢測輸出表達式中消去科氏力因素的影響，將雙檢測系統看作相對驅動獨立存在的兩自由度系統[14]，其檢測響應只能得到與兩個檢測模態頻率相對應的結果，如圖2(c)所示。在這種情況下，一般將帶寬定義為1和3兩個峰值頻率之差的0.54倍，然而，通過本文分析可以直接觀察到，圖2(b)中的第二個峰值直接影響到該帶寬范圍內檢測靈敏度的穩定性，即在這一帶范圍內不能獲得穩定的靈敏度，在驅動頻率附近區域微陀螺靈敏度隨科氏力幅值的變化而變化。同理，當考慮驅動方向的非線性時，為獲得實際的輸出結果，科氏力對靈敏度的影響不可忽略[15]，在隨后的分析中也印證了這一點,圖2(a)、圖2(b)中第二個峰值處會出現非線性特征。

3 驅動的立方剛度非線性分析

3.1 驅動剛度非線性對驅動動力學響應的影響

當考慮驅動方向剛度非線性時，動力學方程如下式，將其無量綱化，其中，kd是驅動方向的剛度非線性系數。

(3)

(4)

(5)

x(t,ε)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)+O(ε2),
Tn=εnt;n=0,1,2,…

(6)

(7)

將式(5)～式(7)代入式(4)得

(8)

比較式(8)ε同次冪后得到一組線性偏微分方程

(9)

則式(9)的第一個式的通解可設為

(10)

其中，

(11)

將式(10)代入式(9)的第二個式子整理得

(12)

式中：cc為前面表達式的復共軛。 為使x1中不出現永年項， 須令exp(iωxT0)項為零，則有

(13)

將式(11)代入式(13)化簡得

(14)

令φ=σT1-β,β′=σ-φ′，將其代入式(14)后令實部和虛部等于0得

(15)

令等式(15)的右端為零， 并消去φ整理得驅動方向的幅頻方程為

(16)

用原系統參數表示后，在0

(17)

根據式(17)可以繪出驅動主共振幅頻曲線，如圖3所示。系統驅動方向的彈性力為

Fx=kxx+kdx3=x(kx+kdx2)

(18)

驅動線性剛度kx=192.9 N/m， 即kx為102量級， 當驅動位移x取10-6量級時， 則x2為10-12量級， 當|kd|<1011時， 有kdx2?kx， 則彈性力的比例系數kx+kdx2可以近似為kx， 此時剛度非線性是可以忽略不計的，其動力學行為的研究可以由前面的線性化分析得出。為了討論微結構中不可忽略的剛度非線性情況， 即kdx2kx時， 取驅動方向彈性梁的非線性剛度系數為1011，1011.5，1012，1012.2量級。

從圖中可以看出，隨著驅動剛度非線性系數的增大，驅動非線性幅頻響應出現典型的非線性硬化特性，造成共振頻率的偏移，但峰值不變，其中虛線部分代表近似周期解的失穩區域，很明顯，失穩區域是幅頻特性曲線上多解情況的中間解支，即幅頻特性曲線上兩個垂直切線點之間的虛線部分，此區域上有兩個漸近穩定解和一個不穩定解，由于在數值解中只能實現漸近穩定運動，所以，在數值掃頻分析中，對漸近穩定運動的跟蹤只能按圖3中箭頭所示的路徑進行，從而產生圖示的跳躍現象，正掃是點3～點4的下降跳躍，負掃是點7～點2的上升跳躍。由于共振頻率的偏移造成激勵頻率等于驅動模態頻率時，響應幅值明顯下降，當非線性彈性力是線性彈性力的4.5%，即驅動剛度非線性系數kd達到1012.2N/m3時，對比線性剛度分析，激勵頻率等于驅動模態頻率時的幅值減少了70.7%，這直接影響微陀螺的驅動響應，間接影響微陀螺在檢測方向的激振力幅值及輸出信號，從而對微陀螺的靈敏度及靈敏度的穩定性產生嚴重影響。因此驅動方向剛度非線性對微陀螺靈敏度及靈敏度穩定性的影響不可忽略。

圖3 驅動方向的線性和非線性剛度下的幅頻響應Fig.3 Drive direction’s amplitude-frequency response under linear and nonlinear stiffness

由于含阻尼的Duffing系統在簡諧激勵下的受迫振動的峰值與非線性因素無關，且峰值大小不變[16]，因此根據式(16)，等式左邊第二項為零，可得驅動方向主共振的峰值恒為

(19)

(20)

考慮到式(19)結合式(20)可知，當激振力幅為常量時驅動瞬時固有頻率是驅動剛度非線性系數的一次函數，頻率偏移量與驅動剛度非線性系數呈正比關系，如圖4所示。從圖中可以看到，當剛度非線性系數達到1012數量級時，其輕微的變化都會造成驅動模態固有頻率產生明顯的偏移。

圖4 瞬時固有頻率與驅動剛度非線性關系Fig.4 The relation curve between the driving instantaneous natural frequency and driving stiffness nonliearity

非線性系統的另一特征是瞬時固有頻率與振幅相關。由圖5可知瞬時固有頻率對剛度非線性及振動幅值的敏感性隨著剛度非線性的增加而增加。在kd=1012.2時，驅動模塊振動幅值較小的變化都會引起驅動固有頻率較大的偏移。因此剛度非線性使得驅動模態的固有頻率相對原本設計值產生嚴重偏差；另一方面，由于驅動模態采用單自由度結構，帶寬很窄，非線性瞬時固有頻率致使靜電驅動力的驅動頻率偏離驅動結構的模態頻率，嚴重影響微陀螺正常工作。

圖5 瞬時固有頻率與振幅的關系Fig.5 The relationship between instantaneous natural frequency and amplitude

3.2 驅動剛度非線性對檢測一輸出的影響

由式(2)中檢測幅值與驅動幅值的關系，聯立式(16)的驅動幅頻關系，可得到檢測幅值與激勵頻率的關系。然后利用Mathematics數學仿真軟件繪制檢測方向的幅頻響應，結合數值掃頻曲線得到檢測一的幅頻響應曲線如圖6所示。

圖6 考慮驅動方向的剛度非線性時檢測一的幅頻響應Fig.6 Sense 1 amplitude frequency response under drive direction’s nonlinear stiffness

由圖6(a)和圖6(b)可知，在剛度非線性系數kd較小時，相對線性幅頻曲線，非線性曲線只是在驅動方向模態頻率處發生了微小的偏移，此時非線性影響可略去不計。圖6(c)～圖6(e)表明隨著剛度非線性系數kd的增加，幅頻曲線非線性程度明顯增加，峰值逐漸減小，幅頻曲線在驅動方向模態頻率處出現不穩定區域(虛線)，側彎、跳躍現象[17]，由圖6(e)中的幅頻曲線可知在激勵頻率為14 890 rad/s處有三個解，兩個穩態解。其穩態響應的幅值則與激勵頻率的變化趨勢有關，其中低幅值的穩態解見圖6(e)。當激勵頻率等于驅動方向模態頻率ωx時，檢測1的幅值大幅下降，尤其當剛度非線性系數為1012.2N/m3時，檢測1幅值對比線性系統的幅值減少了65.2%。但驅動剛度非線性并不影響檢測1和檢測2模態頻率附近的響應，其頻響關系與線性系統一致。

3.3 驅動剛度非線性對檢測二輸出的影響

由圖7可知，檢測二的幅頻曲線在剛度非線性系數kd較小時，幅頻曲線幾乎和線性結果一致，隨著剛度非線性系數kd的增加，幅頻曲線在驅動固有頻率附近同樣出現典型的非線性硬化特征，但其影響相對于檢測一來說弱了許多。但剛度非線性同樣對檢測一和檢測二模態頻率附近的響應無影響。

圖7 考慮驅動方向的剛度非線性時檢測二的幅頻響應Fig.7 Sense 2 amplitude frequency response under-drive direction’s nonlinear stiffness

當剛度非線性系數為1011N/m3時，非線性的影響可略去；當剛度非線性系數為1012.2N/m3時，激勵頻率等于驅動方向模態頻率ωx時，由于非線性系統固有頻率的漂移使得檢測二的幅值相對線性系統大幅下降，對比線性結果，檢測二幅值減小70.3%，這將對微陀螺的輸出信號造成重大誤差，由于靈敏度為檢測二幅值和輸入角速度Ωz的比值，可見靈敏度也降低了70.3%，此時，峰值處的靈敏度對比線性分析也減少了10.8%，這將直接降低微陀螺的性能，剛度非線性引起的多解及不穩定解的存在都會嚴重影響微陀螺靈敏度的穩定性。

科氏力會影響檢測輸出的帶寬，在剛度硬特性情況下應將檢測一與驅動頻率之間的頻率范圍設定為帶寬以保持靈敏度的穩定性，避開因非線性解的跳躍而導致的靈敏度不穩定現象，此時驅動非線性對雙檢測微陀螺的靈敏度無影響，且剛度的硬特性有利于帶寬的提高。

4 結 論

本文針對一種單驅動雙檢測三自由度微陀螺，在考慮科氏力對檢測輸出影響的前提下對該復雜動力學系統的線性及非線性動力學特性進行了分析，獲得如下結論：

(1) 驅動剛度非線性使驅動模態的幅頻響應出現了典型的非線性硬化特征，引起驅動固有頻率偏移。其非線性系統共振處的幅值只取決于靜電驅動力的大小與非線性剛度強弱無關，均與線性系統相同，因此當靜電驅動力為定值時瞬時固有頻率與剛度非線性系數成正比關系。

(2) 瞬時固有頻率與振動幅值和剛度非線性相關，固有頻率的漂移量對振幅變化的敏感性隨剛度非線性增加而增加。

(3) 驅動剛度非線性導致檢測一、檢測二幅頻特性曲線均在驅動模態頻率ωx處呈現非線性硬化特征，且較弱的非線性就會導致檢測一和檢測二在驅動模態頻率處的幅值大幅下降，發生跳躍、共振頻率偏移等。對微陀螺的輸出信號產生極大影響，降低了微陀螺檢測信號的穩定性，并與基于線性系統的靈敏度計算結果產生極大的偏差。