考慮沖擊力的球軸承外圈剝落缺陷雙沖擊現象動力學建模

羅茂林， 郭 瑜， 伍 星

(昆明理工大學 機電工程學院 云南省高校振動與噪聲重點實驗室，昆明 650500)

當滾動軸承內圈或外圈滾道表面出現局部剝落缺陷時，滾動體通過剝落區時會產生雙沖擊現象，針對該現象的研究對發展滾動軸承故障診斷理論及壽命預測方法有重要意義[1-3]。

Epps在研究中首先報道了軸承局部剝落缺陷對應的振動響應具有雙沖擊特征，即滾動體進入剝落區引起的振動響應呈現出階躍響應特征，退出剝落區過程中與其后邊沿撞擊所激起的振動響應具有脈沖響應特征。并指出，若雙沖擊現象在時間序列上可觀測，則可用其估計剝落區域大小。Sawalhi 等對滾動軸承外圈滾道剝落所引起的雙沖擊現象進行了較為深入的研究，并指出，通過準確檢測進入與退出點所對應的時刻，可利用時差及轉速等信息估計出局部剝落缺陷的尺寸。

但上述關于雙沖擊現象的研究都缺乏相關理論支撐。劉靜等[4]考慮非線性Hertz接觸特性和時變位移激勵，建立了圓柱滾子軸承局部缺陷動力學模型。徐東等[5]對滾動軸承運轉過程中承壓滾子數變化規律的分析，采用分段函數和缺陷沖擊函數描述滾動軸承運轉過程中不同位置的缺陷是否處于承載區和缺陷產生沖擊力的強弱，提出了單表面故障的滾動軸承非線性動力學方程。劉倩楠等以混合陶瓷球軸承外圈剝落故障為研究對象，通過構建剝落激起的時變位移函數與時變接觸力增量函數，建立了滾動軸承外圈剝落故障動力學模型。但目前針對雙沖擊現象的動力學機理模型研究還較為鮮見，亟待發展較為精確的雙沖擊現象動力學機理模型。

本課題組在前期研究中取得部分進展，文獻[6]基于剝落區附加位移分析，初步建立了滾動軸承外圈單一故障的雙沖擊現象動力學模型。本文對滾動體和剝落區接觸的全過程進行分析，在前期研究基礎上，提出了一種考慮沖擊力的球軸承外圈剝落故障雙沖擊現象動力學模型。該動力學模型對合理闡釋雙沖擊現象與剝落區長度的聯系有重要意義，同時，基于雙沖擊現象的剝落區長度測量為運行工況下滾動軸承剝落損傷程度評價提供了嶄新的途徑。

1 雙沖擊現象產生原理

雙沖擊現象產生過程可用圖1解釋：徑向載荷Q通過轉子垂直作用在球軸承上(見圖1(a))，設內圈以恒定角速度ωr回轉。在球軸承承載區內，滾動體與內、外圈之間的接觸區域可視為一橢圓面[7]；當滾動體進入剝落區時，其先與剝落區前邊沿發生接觸(見圖1(b))；隨著滾動體進入剝落區，軸承內部間隙變大，曲率半徑變大，曲率和變小；由Hertz接觸變形理論可知，接觸力變小，導致去應力過程發生。該階段，滾動體以與前邊沿的接觸點為回轉中心做回轉運動，其有一下落過程，同時受力逐漸減小，產生一階躍響應，如圖1(e)所示。在保持架帶動下，滾動體到達剝落區中央，并與剝落區后邊沿發生撞擊(見圖1(c))，產生一脈沖響應(見圖1(e))；此后，滾動體以與后邊沿的接觸點為中心旋轉至離開剝落區到達圖1(d)位置時重新受力，應力恢復，如此往復。

圖1 雙沖擊現象原理圖Fig.1 Schematic diagram of dual-impulse behavior

2 考慮沖擊力的雙沖擊現象動力學模型

如圖2所示，無故障球軸承在徑向載荷Q作用下。在載荷區內，第k個滾動體與內、外圈之間相互接觸擠壓所產生的總接觸形變dk分別為滾動體與內、外圈在接觸點處作用所產生接觸形變的代數和，即

dk=δin+δou

(1)

圖2 球軸承接觸形變示意圖Fig.2 Sketch of the contact deflection of the defect-free ball bearing with a radial load

式中：δin與δou分別為滾動體與內、外圈間的接觸形變。由圖2所示幾何關系可知，dk可近一步表示為

dk=xcosθk+ysinθk-0.5Cd

(2)

式中：x與y分別為內圈在x和y方向的初始位移偏量；Cd為球軸承內部直徑間隙；θk為第k個滾動體相對于x軸的角度位置，可由式(3)定義

θk=2π(k-1)/Nb+θ0+ωct

(3)

式中:θ0為設定的第一個滾動體相對于x軸的初始角度位置(見圖2);Nb為滾動體數目;ωc為保持架角速度，由式(4)計算

(4)

式中:ωr為轉子角速度;Db為滾動體直徑;D為節圓直徑;α為球軸承接觸角。

2.1 局部剝落引起的位移激勵

為簡化研究，本文以外圈滾道單一剝落為例，并將該剝落簡化為一矩形凹槽，且僅考慮剝落區寬度小于滾動體直徑的情況。

如圖3所示，在載荷區內，當滾動體靠近剝落區時，由于受到外載作用而發生微小彈性變形，其球心位置相較于非載荷區有所降低；當滾動體進入剝落區時，其球心位置相比于正常滾道而言因滾動體滾入剝落區而降低，產生附加位移Δd。雖然在此過程中，滾動體與滾道之間的彈性變形得到一定程度的恢復，但遠小于Δd；當滾動體退出剝落區并進入正常滾道時，其恢復到與進入剝落區前的狀態。在整個過程中，滾動體質心歷經C1-C2-C3的位置變化，基于以上事實，采用半正弦函數建立時變位移激勵模型。

圖3 滾動體產生附加位移示意圖Fig.3 Schematic view of the producing processof the additional displacement

(5)

式中:mod(·)為求余函數；Ls為剝落區沿滾道方向長度；θs為外圈剝落區中心相對于x軸的角度位置；φs為剝落區對應于外圈中心弧度大小的一半，可定義為

(6)

式中:Dou為球軸承外圈直徑，基于以上分析，結合式(2)和式(5)，即可將球軸承外圈缺陷引起的時變位移激勵引入到動力學模型中。則在載荷區內，第k個滾動體的時變位移激勵為

δk=dk-λkΔd

(7)

式中:λk為判斷第k個滾動體在載荷區內與剝落區接觸的參數，可表示為

(8)

2.2 載荷區靜力計算

研究中以球軸承為對象，其主要承受徑向載荷，且載荷通過滾動體在內、外圈滾道之間進行傳遞，滾動體與滾道間的接觸滿足Hertz彈性接觸理論。研究中，假定外圈固定不動，內圈隨著轉軸旋轉，經轉子施加一垂直向下的徑向力，滾動軸承在徑向載荷作用下的整體受力如圖4。

根據球軸承幾何結構，可知載荷區內(-Φ<φ<Φ)任意角度位置φ處滾動體受力為

(9)

式中：Qmax為在φ=0處載荷區內的最大載荷；ε為載荷分布因子；n為載荷-形變指數，對于球軸承n=3/2，對于滾子軸承n= 10/9。參數Φ，ε，Qmax的計算見文獻[8]。

圖4 載荷分布示意圖Fig.4 Sketch of distributions of internalloading in statically loaded bearings

參照圖4，由靜態平衡條件可知，作用于軸承上的外載荷Q等于軸承所承受載荷Qφ的垂直分量，考慮到球軸承受力的對稱性，即有如下關系

(10)

2.3 沖擊力計算

如上所述，從滾動體進入剝落區到其與剝落區后邊沿撞擊的過程中，滾動體的速度會有一個急劇變化的過程，伴隨加速度產生，從而激發沖擊力，引起軸承振動。因此，動力學機理模型中應引入沖擊力。本文在建立了球軸承外圈剝落缺陷雙沖擊現象動力學模型的基礎上，將相關的沖擊力引入到模型中，通過分析滾動體與剝落區內在的撞擊過程，給出了沖擊力的近似計算方法。

對軸承系統而言，沖擊運動是其內部動能傳遞的過程，其持續時間相對較短。假設整個球軸承系統能量守恒，則在沖擊前后系統的機械能恒定。以圖5(a)中滾動體所在水平面為參考面，由機械能守恒有

(11)

式中:mb為滾動體質量;Ib為滾動體的質量慣性矩，可由式(12)求得

(12)

式中：V與ω分別為滾動體的線速度與角速度，由圓周運動理論可知

V=0.5Dbω

(13)

將式(12)和式(13)代入式(11)，整理可得

(14)

式中:?為沖擊角，定義為在x-y平面內滾動體中心與剝落區后邊沿接觸點間的連線與豎直方向的夾角，在?很小時

sin ?≈?

(15)

依據圖5 (c)中的角度關系可知?=?1，即

(16)

因此，由三角函數倍角關系可知

1-cos ?=2sin2(?/2)

(17)

圖5 滾動體與剝落區撞擊過程示意圖Fig.5 Sketch of the striking process between the ball and the spall

參照關系式(16)，將式(16)代入式 (17)，即得

(18)

將式(18)代入式(14)，進一步可得

(19)

參照文獻[9]，近似可得動態(沖擊)力的計算式為

F=Cimpact(ΔV)2

(20)

式中:Cimpact為一常量，與沖擊材質和沖擊體的質量大小有關。

滾動體在保持架帶動下，以速度ωr做圓周運動，當滾動體滾過剝落區的過程中，其與剝落區后邊沿撞擊所產生沖擊力的強度與其自身運動速度以及所承受外部徑向載荷(Qφ)大小密切相關。因此，由滾動體與剝落區后邊沿撞擊所產生的沖擊力應該由兩部分組成，一部分是由外部徑向載荷作用而產生的靜態分量Fs(Fs=Qφ)，另外一部分是由滾動體撞擊剝落區后邊沿所產生的動態分量(Fd)。故由式(20)可得

Fd=CimFs·(ΔV)2

(21)

式中：Cim為一常量，僅與沖擊材質有關。

Fim=Fs+CimFs(ΔV)2=Fs[1+Cim(ΔV)2]

(22)

將式(19)代入式(22)，整理可得

(23)

式中:C為一常量，與沖擊材料和滾動體直徑有關。

3 考慮沖擊力的動力學模型

3.1 模型簡化

為便于分析球軸承故障機理，建立描述雙沖擊現象的動力學機理模型，將滾動體與內、外圈間的接觸視為一彈簧-質量系統[10-11]，如圖6所示。為此作如下假設[12-13]。

(1)滾動體由保持架固定并繞轉子均布，轉子視為剛性。

(2)軸承內圈與外圈分別剛性固定在轉子與軸承座上，內圈與轉子間為過盈配合。

(3)滾動體在無故障區時，其與內外圈接觸過程作純滾動，并忽略滾動體在運動過程中其慣性對轉子-軸承系統的影響。

(4)接觸力只作用在徑向(沿x軸和y軸方向)，轉軸的質量包括內圈的質量。

企業把客戶聚集到公眾平臺，不定期向客戶推送信息，讓客戶對企業的品牌認知度越來越深。把所有客戶加到公眾平臺，建立聯系，持續下來，發揮更好的效果，節省投放廣告的預算。微信作為騰訊公司的兩大社交軟件之一，有著強大的社交性、便利的互動性，即使是在微信公眾平臺，用戶也可以向企業反饋問題，并得到及時回復，而企業則能夠通過微信公眾平臺向它的粉絲實時推送信息[3]。

(5)在滾動體運動過程中，其與內、外圈彈性接觸過程所產生的形變與接觸力間的關系滿足Hertz彈性接觸理論。

圖6 簡化的彈簧-質量模型原理圖Fig.6 Schematic diagram of simplified spring-mass model

3.2 動力學模型

基于Hertz彈性接觸理論，時變接觸力可由式(24)計算。

F=Ktδn

(24)

式中:Kt為滾動體與內、外圈間總接觸剛度系數，計算見Harris等的研究。

(25)

式中:Kin，Kou分別為滾動體與內、外圈間的接觸剛度，計算見Harris等的研究。

(26)

(27)

式中:Σρ為曲率和；下標b-in和b-ou分別為滾動體與內圈、外圈之間的接觸曲率和；Eeq為等效彈性模量；e為橢圓度參數；ξ1和ξ2分別為第一和第二類橢圓積分。參數Σρ，Eeq，e，ξ1和ξ2的計算式見Harris等的研究。

基于以上分析，參照Sunnersj?[14]模型，可得描述雙沖擊特征的時變位移與沖擊力相耦合的滾動軸承動力學微分方程為

(28)

4 仿真及實驗結果

4.1 仿真結果

表1 混合陶瓷球軸承LYC 6205E幾何尺寸參數

基于MATLAB軟件進行編程仿真，運用定步長四階Runge-Kutta數值積分法求解動力學微分方程，解得外圈故障仿真時域信號，如圖7(a)所示。圖7(b)對應雙沖擊局部細節展示，從中可看出仿真信號具有明顯的雙沖擊響應特征。

圖7 外圈剝落球軸承仿真信號Fig.7 Simulated signal of the ball bearing with a spall on the outer race

4.2 實驗結果

為進一步驗證文中所提出的球軸承動力學模型的合理性，以混合陶瓷球軸承(LYC 6205E)為實驗對象，利用電火花方法在球軸承外圈滾道上加工出一個寬Ld=2 mm的損傷區域來模擬剝落故障，如圖8(a)所示，并在QPZZ-Ⅱ旋轉機械故障模擬實驗臺(見圖8(b))上進行實驗。試驗中選用3個壓電式加速度傳感器進行振動信號的采集，其安裝位置如圖8(c)所示。

圖8 實驗裝置Fig.8 Experimental set-up

研究中應用Autoregressive(AR)方法對實測信號進行預白化處理，以增強剝落球軸承的雙沖擊現象。圖9為轉速在442.58 r/min(fr=7.38 Hz)條件下采集到的外圈剝落所對應的振動信號雙沖擊現象。

如圖5(b)，由圓周運動理論可知，滾動體從剝落區邊沿1運動至邊沿2的時間間隔，亦即振動響應中兩沖擊脈沖間的時間間隔Δt可定義為

(29)

聯立式(4)、式(6)和式(29)可解得剝落大小為2 mm時對應的理論雙沖擊時間間隔。仿真、實測以及理論雙沖擊時間間隔對比如表2所示。

從表2中可知：在誤差允許范圍內，測量值與理論值基本一致。

圖9 外圈剝落球軸承實測信號Fig.9 Measured signal of the ball bearing with a spall on the outer race

表2 仿真雙沖擊時間間隔與實測、理論值對比

為進一步驗證本文所提出的考慮沖擊力的球軸承外圈剝落缺陷雙沖擊現象動力學模型的有效性，對故障球軸承仿真信號與實測信號進行包絡分析。圖10(a)為未考慮沖擊力的仿真信號包絡譜，圖10(b)為考慮沖擊力的仿真信號包絡譜。可發現在頻率26.7 Hz處，圖10(a)和圖10(b)包絡譜皆有明顯峰值，通過對比可看出本文提出的考慮沖擊力的動力學模型的優越性。與表3中外圈通過頻率26.35 Hz以及圖10(b)實測振動加速度信號中的26.35 Hz基本吻合，且存在明顯的倍頻成分(2倍頻52.45 Hz和3倍頻79.15 Hz成分等)。

表3 轉速為442.58 r/min條件下 混合陶瓷球球軸承特征故障頻率

圖10 仿真與實測信號的包絡譜比對Fig.10 Comparison of envelope spectra between the simulated and experimental signals

5 結 論

本文基于Hertz彈性接觸理論，通過分析滾動體位于載荷區內不同角位置與內、外圈滾道間的彈性變形量以及滾動體通過外圈滾道剝落區時所激起的時變位移激勵并建立了相應的時變位移激勵模型，結合球軸承結構參數與剝落區尺寸，將沖擊力納入考慮，建立了一種考慮沖擊力針對雙沖擊現象的滾動軸承外圈剝落故障動力學機理模型。仿真、實測及理論雙沖擊時間間隔對比分析研究，并對仿真與實測信號進行包絡分析。研究結果表明本文所建立的描述雙沖擊現象動力學機理模型的有效性。