帶有雙側(cè)剛性約束的兩自由度振動系統(tǒng)的動力學(xué)分析

侍玉青, 杜三山, 尹鳳偉, 呂小紅, 羅冠煒

(1.蘭州交通大學(xué) 機電工程學(xué)院，蘭州 730070；2.甘肅省軌道交通裝備系統(tǒng)動力學(xué)與可靠性重點實驗室，蘭州 730070)

含間隙、約束等非光滑力學(xué)因素的機械系統(tǒng)的動力學(xué)目前仍是機械和振動工程領(lǐng)域關(guān)注的研究熱點。因機械裝配、部件運動限幅的需要，機械部件或機械子系統(tǒng)間必然存在間隙或約束，由此導(dǎo)致機械系統(tǒng)于工作運行中發(fā)生沖擊振動，加劇部件磨損，降低機械設(shè)備的服役壽命，極端環(huán)境下會導(dǎo)致機械設(shè)備失效甚至產(chǎn)生安全隱患。因此研究含間隙、約束機械系統(tǒng)的動態(tài)特性與動力學(xué)參數(shù)的關(guān)聯(lián)關(guān)系對改善和提升機械裝備動態(tài)性能、實現(xiàn)復(fù)雜裝備振動與噪聲的有效控制具有重要的意義。近年來，國內(nèi)外學(xué)者通過定性分析、數(shù)值仿真和試驗對含間隙、約束振動系統(tǒng)的動力學(xué)穩(wěn)定性[1-8]、分岔[9-14]、擦碰奇異性[15-26]、顫沖擊振動[27-33]和混沌控制[34-36]等問題作了深入研究。Nordmark研究了帶有剛性約束的單自由度振動系統(tǒng)沖擊映射的奇異性，發(fā)現(xiàn)了穩(wěn)定周期軌道以零速度或低速度與剛性約束擦碰接觸將誘發(fā)一類特殊的Grazing分岔，其不同于連續(xù)動力系統(tǒng)中的各種常規(guī)分岔，并給出了判定Grazing分岔的準則。Whiston將碰撞振動系統(tǒng)的擦切碰撞與函數(shù)曲線的奇異點結(jié)合起來，利用奇異性理論研究了碰振系統(tǒng)的全局動力學(xué)特性及全局穩(wěn)定流形的碎化機理。Nordmark在此領(lǐng)域的開創(chuàng)性工作為后續(xù)Grazing分岔及其誘發(fā)的復(fù)雜動力學(xué)行為的進一步研究奠定了理論基礎(chǔ)。其后，國內(nèi)外學(xué)者利用沖擊映射的不連續(xù)幾何方法進一步研究了分段光滑動力學(xué)系統(tǒng)的奇異性和Grazing分岔。含間隙沖擊振動系統(tǒng)通常在低頻域內(nèi)呈現(xiàn)顫-沖擊黏滯振動現(xiàn)象。Toulemonde等提出了沖擊振動系統(tǒng)的顫沖擊-黏滯周期響應(yīng)式，預(yù)估了其局部穩(wěn)定性。Ema等利用沖擊緩沖器抑制了鉆削系統(tǒng)的顫振動以提高鉆削的工作效率。Wagg針對一類帶有多個剛性約束的振動系統(tǒng)，數(shù)值分析了低頻完整顫黏振動及其隆起現(xiàn)象，隆起現(xiàn)象的存在使系統(tǒng)發(fā)生Rising分岔，導(dǎo)致系統(tǒng)于基本周期內(nèi)的黏滯時間顯著縮短。Nordmark 等推導(dǎo)了基本周期內(nèi)沖擊累積的局部不連續(xù)映射并且分析了帶有顫黏特征的極限環(huán)的穩(wěn)定性。Chillingworth研究了非退化和退化顫振情況下沖擊振動系統(tǒng)的動力學(xué)，論證了其顫黏振動穩(wěn)定流形的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的發(fā)生機理。Luo等和H?s等研究了齒輪傳動系統(tǒng)和泄壓閥呈現(xiàn)出的顫沖擊黏滯振動現(xiàn)象。

本文采用多參數(shù)、多目標協(xié)同仿真分析著重研究了帶有雙側(cè)剛性約束的兩自由度受迫振動系統(tǒng)的動力學(xué)特性，分析了低頻域內(nèi)系統(tǒng)基本周期沖擊振動和亞諧沖擊振動的模式多樣性、參數(shù)域的分布規(guī)律和轉(zhuǎn)遷特征，討論了相鄰基本周期沖擊振動相互轉(zhuǎn)遷的不可逆性導(dǎo)致的系列奇異點及相伴隨的兩類轉(zhuǎn)遷域(遲滯域和舌形域)的發(fā)生機理和分布特征，研究了低頻基本周期沖擊振動群、亞諧沖擊振動模式類型、非完整顫振沖擊振動、完整顫振沖擊振動的特征及形成過程。

1 帶有雙側(cè)剛性約束振動系統(tǒng)的力學(xué)模型

圖1為帶有對稱雙側(cè)剛性約束的周期激勵振動系統(tǒng)的力學(xué)模型。系統(tǒng)中兩振動質(zhì)塊的質(zhì)量為Mi(i=1, 2)，其位移記為Xi，兩質(zhì)塊分別通過剛度為Ki的線性彈簧和阻尼系數(shù)為Ci的線性阻尼器與支撐基礎(chǔ)相連接。簡諧激振力Pisin(ΩT+τ)作用于質(zhì)塊Mi上，其中激勵力振幅、激振頻率和相位角分別為Pi,Ω和τ。當Pi偏小時，系統(tǒng)呈線性振動。隨Pi增大，當兩質(zhì)塊的位移差達到間隙閾值B時，發(fā)生相互碰撞，即振動系統(tǒng)的兩質(zhì)塊于|X1-X2|=B處發(fā)生碰撞。振動系統(tǒng)的碰撞恢復(fù)系數(shù)為R。系統(tǒng)的無量綱運動微分方程為

(1)

其中，無量綱時間t、變量xi和參數(shù)為

(2)

兩質(zhì)塊碰撞前后的瞬時速度可根據(jù)動量守恒確定

(3)

無量綱參數(shù)式(2)的定義便于開展系統(tǒng)動力學(xué)特性與其模型參數(shù)的關(guān)聯(lián)關(guān)系及匹配規(guī)律研究，其部分參數(shù)的取值范圍為m∈(0, 1),k∈(0, 1),c∈(0, 1)和f∈[0, 1]。在其參數(shù)域內(nèi)，圖1含間隙-對稱剛性約束振動系統(tǒng)呈現(xiàn)出豐富多樣的周期沖擊振動。借助符號n-p-q描述系統(tǒng)周期沖擊振動的模式類型，n為系統(tǒng)的振動周期Tn=2nπ/ω與激勵力周期之比T0=2π/ω，n=1，2，3，…；p和q分別為兩質(zhì)塊在系統(tǒng)振動周期內(nèi)于左、右兩側(cè)約束處的沖擊次數(shù)，p，q=0，1，2，3，…。特殊情況，p=q=0，對應(yīng)系統(tǒng)的無沖擊周期振動1-0-0，其主要存在于高頻或大間隙低頻工況，此時系統(tǒng)呈線性受迫振動。小間隙低頻工況下，系統(tǒng)主要呈現(xiàn)基本周期沖擊振動群1-p-p(p≥1)，其特征主要表現(xiàn)為系統(tǒng)的振動周期為一個激勵力周期，激振力周期內(nèi)兩質(zhì)塊于左、右兩側(cè)約束處的相互碰撞次數(shù)均為p。相鄰1-0-0與1-1-1振動的相互轉(zhuǎn)遷過程和分岔邊界特征與相鄰1-p-p和1-(p+1)-(p+1) 振動間的相互轉(zhuǎn)遷過程和分岔邊界特征有一定的相似性(p>0)，不同之處僅表現(xiàn)于激振頻率變化方向的差異。因此，為便于分析，1-0-0振動也可歸類于1-p-p基本周期沖擊振動群?；谡駝記_擊特征符號n-p-q，可選擇3個相關(guān)Poincaré截面

(4)

對于周期和亞諧沖擊振動，Poincaré截面σn上的不動點數(shù)即為激勵力周期數(shù)n，Poincaré截面σpl和σqr上的不動點數(shù)分別為兩質(zhì)塊于左右側(cè)剛性約束處的相互沖擊次數(shù)p和q。因此根據(jù)關(guān)聯(lián)Poincaré截面σn,σpl和σqr對應(yīng)的分岔圖中的分支數(shù)可確定系統(tǒng)周期振動的模式類型n-p-q。系統(tǒng)的沖擊Poincaré映射簡寫為

X(i+1)=f(X(i),μ)

(5)

圖1 帶有雙側(cè)剛性約束振動系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of vibrationsystem with bilateral rigid stops

2 對稱型n-1-1振動、穩(wěn)定性及分岔

設(shè)于間隙右側(cè)約束A處相鄰兩次碰撞間，圖1系統(tǒng)方程式(1)的解有如下形式

xi(t)=e-ηjt(aj1cosωdjt+bj1sinωdjt)+Ajsin(ωt+τ)+
Bjcos(ωt+τ), (0xi(t)=e-ηj(t-t1)(aj2cosωdj(t-t1)+bj2sinωdj(t-t1))+
Ajsin(ωt+τ)+Bjcos(ωt+τ), (t1

(6)

(7)

令sj=sin(nπωdj/ω),cj=cos (nπωdj/ω), e1=e-ηjπ/ω,j=1, 2, 及

(8)

(9)

(10)

由式(6)和邊界銜接條件式(7)得系統(tǒng)對稱型n-1-1振動的振幅及相位角

(11)

(12)

(13)

(14)

n-1-1振動的解析式表達如下

xi(t)=e-ηjt(aj1cosωdjt+bj1sinωdjt)+Ajsin(ωt+τ0)+
Bjcos(ωt+τ0), (0≤t≤π/ω)
xi(t)=e-ηj(t-t1)(aj2cosωdj(t-t1)+bj2sinωdj(t-t1))+
Ajsin(ωt+τ0)+Bjcos(ωt+τ0), (π/ω

(15)

(16)

間隙右側(cè)約束A處相鄰兩次沖擊間，n-1-1振動的擾動解的邊界條件為

(17)

將式(17)的邊界條件(t=0)代入擾動解式(16)得

(18)

(19)

(20)

(21)

構(gòu)造函數(shù)

(22)

假設(shè)(?h/?Δt1)(0,0,0,0,0)≠0，根據(jù)隱函數(shù)定理，由式(22)確定

(23)

(24)

將式(17)的邊界條件t=te代入擾動式(16)得

(25)

構(gòu)造函數(shù)

(26)

假設(shè)(?g/?Δt2)(0, 0, 0, 0, 0, 0)≠0，由隱函數(shù)定理和式(26)確定

(27)

(28)

n-1-1振動在Poincaré截面σpr上不動點的擾動映射為

(29)

Df(v,X*)=?f(v,X)/?X|(v, X*)

(30)

矩陣各元素為

(31)

若Jacobi矩陣的特征值皆位于復(fù)平面單位圓周內(nèi)，即|λi|<1,i=1, 2, 3, 4, 圖1系統(tǒng)的對稱型n-1-1振動是穩(wěn)定的；當一實特征值從(1,0)點穿越單位圓周，其余特征值仍位于單位圓內(nèi)，對稱型n-1-1振動發(fā)生Pitchfork分岔或鞍結(jié)分岔；當一對復(fù)共軛特征值穿越單位圓，其余特征值位于單位圓內(nèi)，對稱型n-1-1振動發(fā)生Neimark-Sacker分岔，呈現(xiàn)概周期振動。仿真分析所得的圖1系統(tǒng)對稱型n-1-1振動及分岔特征可分別由其解析式(15)和Jacobi矩陣式(30)的特征分析驗證。

3 含對稱剛性約束振動系統(tǒng)的運動特性

3.1 周期沖擊振動的模式類型、參數(shù)域及顫振的形成過程

圖2 帶有對稱剛性約束振動系統(tǒng)(ω, δ)-參數(shù)平面內(nèi)沖擊振動的模式類型及其發(fā)生區(qū)域Fig.2 Pattern types and occurrence regions of various impact motions of the vibration system with symmetric bilateral rigid stops in the (ω, δ)-parameter plane

圖3 整顫振沖擊振動的時間響應(yīng)圖，δ=0.1Fig.3 Time series of complete chattering-impact motion, δ=0.1

3.2 相鄰基本周期沖擊振動的相互轉(zhuǎn)遷規(guī)律

圖4 相鄰基本周期沖擊振動1-4-4和1-5-5的分岔圖及相關(guān)舌形域內(nèi)亞諧振動分岔圖, ω=0.27Fig.4 Bifurcation diagrams of adjacent periodic-impact motions 1-4-4 and 1-5-5 and bifurcation diagram of sub-harmonic impact motions in a tongue-shaped region nearby the boundary L:R1-4-4∩R 1-5-5, ω=0.27

圖5 圖4(b)局部示意圖：ω=0.27Fig.5 Local details of Fig. 4(b): ω=0.27

4 含非對稱剛性約束振動系統(tǒng)的運動特性

圖6 不同間隙閾值條件下，帶有非對稱剛性約束振動系統(tǒng)(ω, δ2) -參數(shù)平面內(nèi)沖擊振動的模式類型及其存在域Fig.6 Pattern types and existence regions of impact motions of a periodically-forced system with asymmetric rigid stops in the (ω, δ2)-parameter plane with different clearance threshold δ1

圖7 帶有非對稱剛性約束振動系統(tǒng)的完整顫振沖擊振動的時間響應(yīng)圖Fig.7 Time series of complete chattering-impact motion of the periodically-forced system with asymmetric rigid stops

5 結(jié) 論

帶有對稱、非對稱剛性約束受迫振動系統(tǒng)在低頻域內(nèi)均能夠呈現(xiàn)周期沖擊振動群、非完整顫振沖擊振動、完整顫振沖擊振動和舌狀轉(zhuǎn)遷域內(nèi)的亞諧沖擊振動。不同點是帶有對稱剛性約束振動系統(tǒng)呈現(xiàn)的基本周期沖擊振動群具有對稱性，而帶有非對稱剛性約束振動系統(tǒng)呈現(xiàn)的周期沖擊振動群不具有對稱性，左間隙閾值較小(偏大或較大)時，系統(tǒng)的沖擊主要集中發(fā)生于左(右)側(cè)剛性約束處?；局芷跊_擊振動群的產(chǎn)生源于基本周期沖擊振動的Real-grazing分岔。隨激振頻率遞減，系列Grazing分岔導(dǎo)致基本周期沖擊振動于激勵力周期內(nèi)的沖擊次數(shù)逐次增多。激勵力周期內(nèi)沖擊次數(shù)足夠大時，系統(tǒng)呈現(xiàn)非完整顫沖擊振動。激振頻率進一步遞減，非完整顫沖擊振動經(jīng)Sliding分岔轉(zhuǎn)遷為完整顫沖擊振動。低頻和小間隙閾值域內(nèi)，完整型顫沖擊-黏滯振動效果更為明顯。隨著激振頻率ω遞減，基本周期內(nèi)T=2π/ω，顫沖擊序列快速衰減，兩質(zhì)塊黏滯于約束處的時間相應(yīng)延長。

相鄰基本周期沖擊振動相互轉(zhuǎn)遷的不可逆性導(dǎo)致了一系列奇異點、遲滯轉(zhuǎn)遷域和舌形轉(zhuǎn)遷域。相鄰基本周期沖擊振動依系統(tǒng)振動的初始條件或激振頻率ω變化方向的不同可共存于遲滯轉(zhuǎn)遷域。舌狀域主要源于基本周期沖擊振動的Bare-grazing分岔，系統(tǒng)于舌狀域內(nèi)呈現(xiàn)規(guī)律性的亞諧沖擊振動群。針對帶有對稱約束的振動系統(tǒng)，在相鄰基本周期沖擊振動1-p-p和1-(p+1)-(p+1)間的舌形轉(zhuǎn)遷域內(nèi)系統(tǒng)呈現(xiàn)1-p-(p+1)基本周期振動、2-(2p+1)-2p，3-(3p+1)-(3p+1)和5-(5p+1)-(5p+1)等亞諧振動，其中 1-p-(p+1)振動的發(fā)生域面積最大，該類亞諧沖擊振動隨激振頻率或間隙閾值變化一般發(fā)生周期倍化分岔或Grazing分岔。針對帶有非對稱約束振動系統(tǒng)，當左側(cè)約束間隙閾值較小時，其存在若干系列基本周期沖擊振動群1-p-0, 1-p-1, 1-p-2, 1-p-3, 1-p-4, …, 1-p-m，… (p,m=0, 1, 2, 3,…)；例如，對于1-p-1(或1-p-m，m>1)基本周期振動群，舌形轉(zhuǎn)遷域內(nèi)存在亞諧n-(n×p+1)-(n×1)(或n-(n×p+1)-(n×m))沖擊振動；當左間隙閾值較大時，其存在周期沖擊振動群1-1-q，相鄰基本周期沖擊振動間的舌形轉(zhuǎn)遷域內(nèi)存在亞諧n-(n×1)-(n×q+1)沖擊振動；當左間隙閾值很大時，其存在周期沖擊振動群1-0-q，相鄰基本周期沖擊振動間的舌形轉(zhuǎn)遷域內(nèi)存在亞諧n-(n×0)-(n×q+1)沖擊振動，即n-0-(nq+1)。該系列周期沖擊振動群及舌形域內(nèi)亞諧沖擊振動的分布規(guī)律和分岔特征與帶有對稱剛性約束沖擊振動系統(tǒng)呈現(xiàn)的分布規(guī)律和分岔特征有一定的類似性。

針對帶有對稱剛性約束的沖擊振動系統(tǒng)，相比于偏小或較大閾值δ，系統(tǒng)在非常小的間隙閾值域內(nèi)基本周期沖擊振動群的形成過程較為復(fù)雜，主要經(jīng)歷三種分岔形式：遞減ω，對稱型1-p-p振動發(fā)生叉式分岔轉(zhuǎn)遷為非對稱型1-p-p振動；持續(xù)遞減ω，非對稱型1-p-p振動經(jīng)周期倍化分岔序列嵌入混沌，最終由混沌沖擊振動退化出對稱型1-(p+1)-(p+1)振動。當p足夠大時，系統(tǒng)呈現(xiàn)非完整顫振沖擊振動，再經(jīng)Sliding分岔轉(zhuǎn)遷為完整顫沖擊振動。帶有對稱和非對稱約束的振動系統(tǒng)在高頻偏大間隙閾值參數(shù)域內(nèi)均主要呈現(xiàn)1-1-1振動和無沖擊周期振動；帶有對稱約束振動系統(tǒng)在高頻偏小間隙閾值域內(nèi)主要呈現(xiàn)對稱型周期1-1-1振動，隨激振頻率遞減，其發(fā)生叉式分岔轉(zhuǎn)遷為非對稱1-1-1振動，隨激振頻率遞增，其發(fā)生鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為無沖擊1-0-0振動，對于非常小的間隙閾值，當激振頻率過高時，該系統(tǒng)可能呈現(xiàn)亞諧n-1-1振動(n>1)。