載流導線間軸向運動導電梁的參數-主共振

胡宇達， 張明冉

(1.燕山大學 建筑工程與力學學院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

隨著科學技術的發展，復雜運動結構在航空事業、機械器件、電子設備等一些工程技術應用越來越廣泛，例如，輸送機的傳送帶、電磁發射、電磁驅動等設備中都含有軸向運動結構，這些軸向運動系統經常在電磁場環境中工作，受到機械場和電磁場的共同作用，所以電磁固體結構在多物理場耦合作用下的力學行為也引起了國內外學者的廣泛關注。胡宇達等[1-2]針對磁場中軸向運動導電導磁梁及薄板的非線性磁彈性耦合振動的理論建模進行分析，從而推導出載流梁和薄板的磁彈性耦合振動微分方程；Ghayesh等[3]對具有縱向-橫向耦合位移的軸向運動梁的強迫非線性動力學進行了數值研究，并推得了縱向-橫向耦合運動的非線性偏微分方程；丁虎等[4]對軸向運動梁橫向非線性振動的兩組數學模型進行了研究。此外，針對梁和薄圓板的非線性振動穩定性及參數振動研究方面，Yang等[5]對由內部共振引起的穩態響應的非線性動力學現象進行了研究；Yurdda等[6]考慮非理想支撐情況，對軸向移動支撐弦的非線性振動問題進行了研究；Wu[7]對橫向磁場和熱負荷作用下梁的大幅度振動及動態穩定性進行了分析；Ding等[8]分析了軸向速度、邊界條件等參數對結構振動頻率及動力穩定性的影響；胡宇達等[9-10]研究了磁場環境中軸向變速運動導電矩形薄板和載流梁的磁彈性參數振動問題；Pratiher[11]對磁場中周期載荷作用下懸臂梁的主參數振動及穩定性等問題進行了研究；Ghayesh等[12]研究了軸向運動Timoshenko梁的雙模態非線性參數共振；Tang等[13-14]針對Timoshenko梁模型，分析了隨時間變化的軸向運動梁的參數共振現象及軸向加速黏彈性梁參數共振的動力學穩定性；Hu等[15-16]對磁場中軸向運動矩形薄板的非線性參數振動及穩定性進行研究，分析了磁場中軸向移動薄板的強非線性諧波共振和混沌運動現象。

本文針對兩平行交變載流導線間軸向運動導電梁的參數-主共振問題進行研究，推導出軸向運動梁的非線性參數-主共振聯合振動微分方程，分析平行導線載流強度和距離等參量對系統參數-主共振特性的影響。

1 載流導線間軸向運動梁的磁彈性方程

研究圖1所示處在兩平行交變載流導線間的載流導電梁，該梁沿形心軸x方向以速度c做軸向運動，并受軸向拉力F0x作用。梁的基本參數：長為l，寬為b，高為h，彈性模量E,質量密度ρ。導電梁通入的電流密度為J0x=J0，導線通入交變電流分別為I1(t)=i1cosωt和I2(t)=i2cosωt，導線與梁的距離為d1和d2，w(x,t)為梁的橫向位移，t為時間變量，i1和i2為交變電流的幅值，ω為電流頻率。

圖1 載流導線間的導電梁Fig.1Conductive beam between current-carrying wires

利用畢奧-薩伐爾電磁定律[17]，可以得到兩平行無限長載流導線在導電梁所在位置產生的疊加磁場之和為

(1)

式中：μ0為真空磁導率，當通入的電流i1cosωt與i2cosωt同向時取“-”,反向時取“+”。

由圖1可知，當無外加載荷時，導電梁的磁彈性振動一般方程為

(2)

將式(1)代入電磁力Fz中，可得電磁力的展開表達式為

(3)

將式(3)用泰勒級數展開，忽略三次方及以上的高階項，當載流導線通同向的交流電，可以得到導電梁的橫向非線性振動微分方程

(4)

2 參數共振與主共振問題的解析求解

2.1 微分方程的伽遼金截斷

當軸向運動梁受兩端鉸支約束時，考慮一階模態情形，設滿足兩端鉸支梁邊界條件的位移解為

(5)

將式(5)代入式(4)中，進行伽遼金積分并無量綱化，可推得含變系數參數項和強迫項的非線性振動微分方程

(6)

2.2 多尺度法求解

研究系統參數-主共振問題，當應用多尺度法求解弱非線性方程式(6)時，需在方程等號右端引入小參數ε，即

(7)

為求解式(7)的近似解析解，選用兩個時間尺度T1=τ，T2=ετ討論系統參數共振和主共振方程的一次近似解，令其一次近似解為

x(τ,ε)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)

(8)

將式(8)代入式(7)中展開，令ε的同冪次系數相等，得到各階近似的非線性偏微分方程組

(9a)

(9b)

將零次近似方程式(9a)的解寫成復數形式

(10)

再將式(10)代入一次近似方程式(9b)的右邊，得到

(11)

式中:cc為等號右端項的共軛復數部分。

分析式(11)可知，當激勵頻率與固有頻率間滿足一定關系時，系統可能出現不同形式的參數共振或主共振現象，下面分別進行討論。

(1)Ω≈ω0情況

當激勵頻率與系統固有頻率近似相等時，設Ω=ω0+εσ，其中σ為引入的頻率調諧參數。由式(11)可知，為避免久期項出現，要求A滿足

(12)

將復函數A寫成如下指數形式

(13)

式中:a(T1),β(T1)均為T1的實函數。

將式(13)代入式(12)中，實部與虛部相分離，并令γ=σT1-β，得到關于a和γ的微分方程組

(14)

對于穩態運動的情況，令式(14)中a′,γ′都為零并且聯立，可得關于系統參數-主共振的狀態方程

(15)

由式(15)可知，對于系統的穩態運動解，即含有g7項的主共振激發項，也含有g1,g4,g6項的變系數參數共振激發項，因此，此時系統可能呈現主共振和參數共振同時存在的聯合共振現象。

(2)Ω≈2ω0情況

當激勵頻率近似等于系統固有頻率的2倍時，設Ω=2ω0+εσ，其中σ為引入的頻率調諧參數。同理由式(11)可知，為避免久期項，必須令A滿足

(16)

將式(13)代入式(16)中，實部與虛部相分離，并令γ=σT1-2β，得到關于a和γ的微分方程組

(17)

同理，對于穩態運動的情況，令式(17)中a′,γ′都為零可得幅頻響應方程

(18)

當a=0時，式(18)成立，令式(17)中a′,γ′都為零，當a≠0時，將a消去并整理可得

(19)

(20)

同理實部與虛部相分離，并令γ=2σT1-β，得到關于a和γ的微分方程組

(21)

對于穩態運動的情況，令式(21)中a′,γ′都為零可得幅頻響應方程

(22)

當a=0時，式(22)成立，當a≠0時，將a消去并整理方程可得

(23)

通過對式(23)的解a2=x進行判斷發現，根的判別式Δ<0，所以方程無非零實數解，故此時系統不存在非平凡穩態解。

3 算例分析

下面以軸向運動銅制材料導電梁進行算例分析。主要參數取值為：彈性模量E=108 GPa，質量密度ρ=8 920 kg/m3，導電率σ0=5.714 3×107(Ω·m)-1，真空磁導率μ0=4π×10-7H/m；梁長l=0.3 m，寬b=0.02 m，軸向拉力F0x=2 000 N，電流密度J0=2 A/mm2，導線與梁的距離為d1=0.04 m,d2=0.05 m。

圖2 不同電流頻率下的幅值變化圖Fig.2 The curve of amplitude changes in different current frequency

圖3～圖5為利用龍格-庫塔法求解式(14)，根據變化不同的初始值找到系統不同類型的奇點，再將不同調諧參數對應的奇點擬合成幅頻響應曲線。

圖3為i2=9 000 A，c=55 m/s，h=0.01 m時不同導線電流下的系統參數-主共振幅頻響應圖；圖4為i1=10 000 A，i2=9 000 A，c=55 m/s時不同梁高下的系統參數-主共振幅頻響應圖；圖5為i1=i2=9 000 A，h=0.01 m時不同軸向運動速度c下的系統參數-主共振幅頻響應圖。圖3～圖5中曲線中實心點代表穩定解，空心點代表不穩定解，從圖中可知，隨著εσ的增大，系統由單值逐漸變為多值解情況，且多值區包含穩定解和不穩定解；在給定εσ范圍內，共振幅頻響應曲線向右偏移，隨著εσ的改變，曲線呈現硬彈簧特性，系統出現多值性和跳躍現象。

由圖3可知，隨著導線電流i1的增大，曲線的多值區右移，共振主架曲線呈明顯的外擴趨勢；由圖4可知，隨著高度h的增大，曲線多值區左移，共振主架曲線呈明顯的內縮趨勢；由圖5可知，隨著軸向速度c的增大，曲線多值區右移，共振主架曲線由狹窄的內縮逐漸變為外擴趨勢。

圖3 電流i1影響下的幅頻響應圖Fig.3 The curve of amplitude frequency in different current i1

圖4 高度h影響下的幅頻響應圖Fig.4 The curve of amplitude frequency in different high h

圖5 軸向速度c影響下的幅頻響應圖Fig.5 The curve of amplitude frequency in different velocity c

圖6～圖14為運用龍格-庫塔法求解式(14)，根據選取不同的初值，找到不同類型的奇點，繪制了變化導線電流、梁的高度以及軸向速度的動相平面軌跡圖。

圖6～圖8為與圖3對應得到的不同導線電流i1下的動相平面軌跡圖。由曲線可知，隨著調諧參數εσ的增大，由單值逐漸變為多值解，其中多值解中有一個不穩定解鞍點S2和兩個穩定解焦點S1,S3，鞍點S2逐漸靠近焦點S3，逐漸遠離焦點S1，與圖3中的隨電流變化的幅頻響應結果吻合；隨著電流的增大曲線逐漸由緊密變得疏松清晰，單值部分曲線形狀發生變化，由圈繞比較圓潤到圈繞形成類似橢圓形狀。

圖6 當i1=9 000 A時不同εσ對應的動相圖Fig.6 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with i1=9 000 A

圖7 當i1=10 000 A時不同εσ對應的動相圖Fig.7 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with i1=10 000 A

圖8 當i1=11 000 A時不同εσ對應的動相圖Fig.8 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with i1=11 000 A

表1列出了與圖6～圖8對應的穩態解的具體數值，從表中可以看出，當εσ=0時，隨著導線電流的增大，共振幅值也有增大趨勢，但變化幅度很小；從數值上看單值解和多值解也與幅頻響應圖3中的對應值相同。

表1 不同導線電流i1下的幅值穩態解(×10-3)

圖9～圖11為與圖4對應得到的不同高度h下的動相平面軌跡圖。由曲線可知，隨著調諧參數εσ的增大，由單值逐漸變為多值解，其中多值解中有一個不穩定解鞍點S2和兩個穩定解焦點S1,S3，鞍點S2逐漸靠近焦點S3，逐漸遠離焦點S1，與圖4中的隨高度變化的幅頻響應結果相吻合；隨著高度的增大，曲線逐漸由緊密變得疏松清晰，但單值部分的曲線圈繞形狀基本沒變。

圖9 當h=0.01 m時不同εσ對應的動相圖Fig.9 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with h=0.01 m

圖10 當h=0.015 m時不同εσ對應的動相圖Fig.10 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with h=0.015 m

圖11 當h=0.02 m時不同εσ對應的動相圖Fig.11 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with h=0.02 m

表2列出了與圖9～圖11對應的穩態解的具體數值，從表中可以看出，當εσ=-0.004時，隨著高度逐漸增大，共振幅值逐漸減小；從數值上看單值解和多值解也與幅頻響應圖4中的對應值相同。

表2 不同梁的高度h下的幅值穩態解(×10-3)

圖12～圖14為與圖5對應得到的不同軸向運動速度c下的動相平面軌跡圖。由曲線可知，隨著調諧參數εσ的增大，由單值解逐漸變為多值解，其中多值解中有一個不穩定解鞍點S2和兩個穩定解焦點S1，S3，與圖5中的隨軸向運動速度變化的幅頻響應結果相吻合；隨著軸向運動速度的增大，曲線圈繞的緊密度及形狀沒有發生變化。

表3列出了與圖12～圖14對應的穩態解的具體數值，從表中可以看出，當εσ=0.002時，隨著軸向速度逐漸增大，共振幅值逐漸減小；但變動幅度很小，從數值上看單值解和多值解也與幅頻響應圖5中的對應值相同。

圖12 當c=10 m/s時不同εσ對應的動相圖Fig.12 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with c=10 m/s

圖13 當c=55 m/s時不同εσ對應的動相圖Fig.13 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with c=55 m/s

圖14 當c=90 m/s時不同εσ對應的動相圖Fig.14 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with c=90 m/s

軸向速度(c)調諧參數εσ0.0020.003 7S1S2S30.005S1S2S30.006 5S1S2S30.008S1S2S3c=10 m/s2.941.012.563.570.713.334.06c=55 m/s2.830.822.983.810.603.544.27c=90 m/s2.600.992.623.600.763.153.89

圖15～圖17為利用龍格-庫塔法直接求解式(6)，初值選取為x=0.004，x′=0.000 6，繪制了與圖3對應的不同導線電流i1條件下的時程圖、相圖。其中圖(a)和圖(b)為單值解情況，即一個穩態解，而圖(c)和圖(d)為多值解情況，即一個調諧參數εσ的值對應多個幅值，但是只有兩個穩定解；且圖中得到的數值結果與圖3中的解析結果相吻合。

由圖15和圖3(a)可以發現εσ≈0.004 3為分界點；當εσ<0.004 3時，為一個穩定解，隨著εσ的增大，幅值逐漸增大；當εσ>0.004 3時，逐漸出現兩個穩定解，其中幅值較大的隨著εσ增大而增大，幅值較小的隨著εσ增大而減小；通過比較數值解與解析解發現，當εσ=0.004,εσ=0,εσ=-0.004時，圖15(a)中所對應的幅值大小與圖3(a)中幅值相吻合，當εσ=0.004 5時，圖15(c)中的兩個解的大小與圖3(a)中的上下兩個穩定解相吻合。

由圖16和圖3(b)可以發現εσ≈0.004 75為分界點，當εσ<0.004 75時，為一個穩定解，隨著εσ的增大，幅值逐漸增大；當εσ>004 75時，逐漸出現兩個穩定解，其中幅值較大的隨著εσ增大而增大，幅值較小的隨著εσ增大而減小；數值解與解析解比較發現，當εσ=0.004,εσ=0,εσ=-0.006時，圖16(a)中所對應的幅值大小與圖3(b)中幅值相吻合，當εσ=0.006時，圖16(c)中的兩個解的大小與圖3(b)中的上下兩個穩定解相吻合。

由圖17和圖3(c)可以發現εσ≈0.006 35為分界點，當εσ<0.006 35時，為一個穩定解，隨著εσ的增大，幅值逐漸增大；當εσ>0.006 35時，逐漸出現兩個穩定解，其中幅值較大的隨著εσ增大而增大，幅值較小的隨著εσ增大而減小；比較發現，當εσ=0.006,εσ=0,εσ=-0.004時，圖17(a)中所對應的幅值大小與圖3(c)中幅值相吻合，當εσ=0.007時，圖17(c)中的兩個解的大小與圖3(c)中的上下兩個穩定解相吻合。

圖15 當i1=9 000 A時不同εσ對應的時程圖和相圖Fig.15 The time history response diagrams and phase plot in different frequency with i1=9 000 A

圖16 當i1=10 000 A時不同對應的時程圖和相圖Fig.16 The time history response diagrams and phase plot in different frequency with i1=10 000 A

圖17 當i1=11 000 A時不同εσ對應的時程圖和相圖Fig.17 The time history response diagrams and phase plot in different frequency with i1=11 000 A

4 結 論

本文針對載流導線間軸向運動導電梁的參數-主共振問題，推導出不同激勵電流頻率下磁彈性參數-主共振狀態方程，并判斷了非零穩態解的存在情況。算例計算結果表明：

(1)軸向運動梁的幅頻響應曲線具有多值性和跳躍性現象，呈現硬彈簧特性，具有復雜的非線性動力學行為。

(2)從動向平面軌跡圖中可以看出，隨著調諧參數εσ的增大，出現兩個穩定焦點一個鞍點，且鞍點S2逐漸靠近焦點S3，逐漸遠離焦點S1，其值與幅頻響應曲線中對應的計算結果相吻合。

(3)從時程圖、相圖中可以看出，通過改變不同的調諧參數，幅值大小變化規律與動相圖和幅頻圖保持一致，驗證了解析結果的正確性。