高屋建瓴應(yīng)悟道 柳暗花明又一解
——以2018年浙江卷17題為例

廣東省廣州市從化區(qū)第四中學(xué) 黃 強

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的本質(zhì)反映了數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，其關(guān)鍵是能從數(shù)學(xué)的角度思考問題。 發(fā)散性思維又稱輻射思維，是根據(jù)已有的信息，從不同的角度思考，尋求多樣性答案的思維活動。在解決問題中表現(xiàn)了根據(jù)已知條件，能從不同的角度進(jìn)行思考，探究多種不同的解決辦法的思維活動，其具有思考角度多變、解決方法靈活的特點，是思維靈活性的表現(xiàn)。在解題活動中，教師常用典例多解的教學(xué)形式來培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。筆者認(rèn)為引導(dǎo)學(xué)生不囿于一個角度或一種思路去探究解法，關(guān)鍵是不但要滲透數(shù)學(xué)思想，更要揭示數(shù)學(xué)思想在思考過程中的運用，從而使學(xué)生認(rèn)識到思考角度的多變源于數(shù)學(xué)思想，解決方法的靈活生于數(shù)學(xué)思想。 因此，為了培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力，通過典例多解和數(shù)學(xué)思想的揭示，這不僅促進(jìn)學(xué)生知識網(wǎng)絡(luò)的形成，而且更重要的是促使學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的感悟，提高解題能力和發(fā)散思維能力，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。本文以2018年浙江高考的一道試題為例，以期拋磚引玉。

例題：（2018年浙江卷17題）已知點P(0,1)，橢圓上兩點A，B滿足則當(dāng)m=_________時，點B橫坐標(biāo)的絕對值最大。

一、運用方程思想探解

運用方程思想，就是通過分析問題中已知與未知的等量關(guān)系，建立方程（組），運用方程的性質(zhì)分析轉(zhuǎn)化問題，從而使問題得到解決的思維過程。相應(yīng)方程思想下的常見方法有點差法、韋達(dá)定理、判別式等等。揭示方程思想在解題中的運用，使學(xué)生認(rèn)識到解法并非無中生有，其根源在于數(shù)學(xué)思想給我們提供一個思考角度。

因為A，B點在橢圓上，所以兩式相減有代入橢圓方程并化簡得：m＞1，易知當(dāng)m=5時的最大值為4，即

評析：本解法運用方程思想作為思考角度。為了探求等量關(guān)系，先“固定m”， 再通過平面共線向量抓住關(guān)鍵點B，這樣處理不但減少了變量數(shù)對思維的影響，更重要的是突出了關(guān)鍵的未知量，即減少是為了突出。由兩個動點A，B在橢圓上這個幾何特征建立方程尤為重要，其數(shù)學(xué)思想是由形轉(zhuǎn)數(shù)，從而建立了點B的坐標(biāo)與m的等量關(guān)系，然后把坐標(biāo)的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題。整個解決過程清晰明快，一氣呵成！

運用直線的參數(shù)方程，也是解析幾何常用的方法，其思維的關(guān)鍵包括：一是理解參數(shù)方程既表示直線方程，同時也表示點，是兩者更抽象的形式；二是理解參數(shù)在問題中的幾何意義。用參數(shù)方程表示點，其作用相當(dāng)于減少變量數(shù)，同樣，利用點在橢圓這個幾何特征上建立方程，利用參數(shù)的幾何意義和方程性質(zhì)解決問題。

解法二：設(shè)直線AB的參數(shù)方程為其中t為參數(shù)，θ為直線AB的傾斜角。因為直線AB與橢圓相交，把直線AB的參數(shù)方程代入橢圓方程，得由韋達(dá)定理可知

二、運用函數(shù)思想探解

客觀世界的事物是運動變化的，事物間既有聯(lián)系，也有制約，這種關(guān)系在數(shù)學(xué)中以函數(shù)來刻畫。運用函數(shù)思想探求問題的解決，其思維過程是通過挖掘變量間的關(guān)系構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題。考慮到A，P，B三點共線，點P為定點，當(dāng)直線AB繞點P旋轉(zhuǎn)時，點B的坐標(biāo)也隨之變化，既然是動點，就需要知道按照什么規(guī)律運動，因此，挖掘點B的橫坐標(biāo)與直線AB斜率之間的函數(shù)關(guān)系為思考提供一個角度。

解法三：設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，因為直線AB與橢圓相交兩點，故聯(lián)立方程并消元得由韋達(dá)定理可知：

由橢圓對稱性，不妨設(shè)xb＞0，由得xa=-2xb，代入（1）式，得由基本不等式得當(dāng)且僅當(dāng)xb取最大值2，此時由（2）式可知m=5。

評析：本解法綜合運用數(shù)形結(jié)合、方程思想和函數(shù)思想，其思維過程通過形轉(zhuǎn)數(shù)建立方程，利用方程性質(zhì)挖掘函數(shù)關(guān)系，最后利用函數(shù)性質(zhì)解決問題，但也看到如消去k，而不是消去m，雖然可以解決問題，但運算量陡增，學(xué)生就陷入復(fù)雜的運算中，因而抓牢函數(shù)思想，優(yōu)化思考過程，從而解決問題。

三、運用變換思想探解

在人教版選修1-1的35頁（或選修2-1的41頁）中，設(shè)置了一個探究橢圓與圓之間關(guān)系的思考問題。通過探究，在伸縮變換下，有下列結(jié)論（在此證略）：（1）直線依然變換為直線；（2）橢圓變換為圓，圓變換為橢圓；（3）線段比不變；（4）直線與橢圓的交點對應(yīng)直線與圓的交點。 把直線與橢圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)換為直線與圓的位置關(guān)系。這是從變換幾何思想的角度思考解法，其思維過程是把橢圓類比圓，把直線與橢圓問題轉(zhuǎn)換為直線與圓的問題，利用圓的性質(zhì)解決問題，這又為尋求新的解法提供了一個思考角度。

圖1

設(shè)∠XO'B'=θ，點B'(x'b，y'b)，由余弦定理，得：化簡得：

因為A'P'=2P'B'，并由相交弦定理C'P'·D'P'=P'B'·A'P'，得把（2）代入（1）并消去P'B'2，得即代入橢圓方程并化簡，得易知當(dāng)m=5時的最大值為4，即|xb|=2。

評析：本解法是通過對教材中的問題進(jìn)行探究所獲得的解法，因此重視教材中的探究問題，不但能培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，往往還能獲得新穎別致的解法，有利于拓寬學(xué)生思考角度，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

四、 運用特殊與一般探解

現(xiàn)實世界中，事物的特殊性中存在普遍性，個性中存在著共性，這在數(shù)學(xué)中就表現(xiàn)為特殊與一般的辯證關(guān)系，是重要的數(shù)學(xué)思想。其思維過程是以問題為起點，拋開其特殊性，探究更具一般形式的性質(zhì)或規(guī)律，從而找到思考的角度，這對提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力有積極的意義。在本題中，對于橢圓E1中的△ABO，有什么性質(zhì)？能否對探究解法提供不同的思考角度？通過探究點P關(guān)于點A的對稱點B的軌跡，如圖2所示，我們有下面結(jié)論：

性質(zhì)1：設(shè)橢圓曲線E1的方程為定點P(0,p)關(guān)于E1上的動點A的對稱點B的軌跡為橢圓E2，橢圓方程為

略證：設(shè)點B(x,y)，因為點A(xa,ya)為線段PB的中點，所以有點A在E1上，代入E1的方程并化簡，易得

圖2

而且通過探究，我們又發(fā)現(xiàn)以下性質(zhì)：

證明：設(shè)直線AB的方程為y=kx+p，A(xA,yA)，B(xB,yB)，直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立、消元并化簡，得：

如圖3所示，通過探究△ABO的AB邊中點G的軌跡，有以下性質(zhì)：

圖3

證明：設(shè)直線AB的方程為y=kx+p，A(xA,yA)，B(xB,yB)，G(x,y)。聯(lián)立直線AB方程與橢圓方程消元并化簡，得（b2+a2k2）由韋達(dá)定理得x=兩邊平方并化簡，得

從性質(zhì)3可以獲得下面推論：

利用性質(zhì)1，我們可以得到下面解法：

圖4

利用性質(zhì)2，我們又可以得到下面解法：

解法六：設(shè)A(xa，ya)，B(xb，yb)，由可知xa=-2xb，ya=-2yb+3。

直線AB,BO,AO的斜率分別為kAB、kOA和kOB，由性質(zhì)2可知，即把xa=-2xb，ya=-2yb+3代入并化簡，得代入橢圓方程并化簡，得易知當(dāng)m=5時的最大值為4，即|xb|=2。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題活動，在解題活動中，通過探究典例多解，可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，這是共識。如何培養(yǎng)學(xué)生找到解決問題的更多的思考角度，其關(guān)鍵在于揭示數(shù)學(xué)思想在解題中的運用，使學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和方法有更深的感受。 如通過突出已知和未知，抓住幾何特征建立方程，并運用方程的性質(zhì)解決問題；如通過挖掘變量間的函數(shù)關(guān)系構(gòu)造函數(shù)，并運用函數(shù)性質(zhì)解決問題等等，但同時也要看到以下幾點：（1）數(shù)學(xué)思想方法不但為解題找到思考角度，也自始至終貫穿整個解決過程；（2）在解題過程中往往由單一數(shù)學(xué)思想運用為開端，但思維過程又是多種思想方法的共同運用；（3）數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)該要揭示，因為數(shù)學(xué)思想是內(nèi)隱，通過揭示其運用和提煉，使學(xué)生加深對數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟，沒有這一點，多解就變成一個技巧，不會真正內(nèi)化學(xué)生的思維中。總之，跳出單純的題海訓(xùn)練，鼓勵獨立思考，產(chǎn)生想法，大膽探索新思路，這不僅有助于學(xué)生進(jìn)一步鞏固、深化和拓展所學(xué)的知識，而且對提高自主學(xué)習(xí)能力和培育創(chuàng)新意識，提升科學(xué)探索素養(yǎng)，具有積極的促進(jìn)作用。