基于改進(jìn)加窗的小數(shù)延遲濾波器性能仿真研究

張學(xué)成 王金鋒 張生鳳

（中國船舶重工集團公司第七二三研究所 揚州 225001）

1 引言

相控陣技術(shù)［1～3］已經(jīng)成為當(dāng)今主流，數(shù)字波束形成（DBF）技術(shù)［4～7］作為關(guān)鍵技術(shù)之一，直接影響系統(tǒng)性能的優(yōu)劣。目前數(shù)字波束形成技術(shù)主要分為兩個分支：1）固定權(quán)重波束形成［8］；2）自適應(yīng)波束形成［9～10］。其中固定權(quán)重波束形成可進(jìn)一步細(xì)分為：1）窄帶波束形成；2）寬帶波束形成。窄帶波束形成主要基于窄帶模型，通常適用于信道化體制，隨著信號帶寬的增加，窄帶波束形成所需的硬件資源對板卡性能提出了更高的要求，而寬帶波束形成為該問題提供了新的解決思路。

小數(shù)延遲濾波［11～12］（FDF）是寬帶數(shù)字波束形成的基礎(chǔ)。在信號檢測時的信道化處理，小數(shù)延遲濾波會在一定程度造成信號失真，本文在分析基于小數(shù)延遲濾波（FDF）的寬帶數(shù)字波束形成技術(shù)的基礎(chǔ)上［13］，提出了基于改進(jìn)加窗的小數(shù)延遲濾波器，并進(jìn)行仿真驗證。

2 小數(shù)延遲濾波器理論分析

本文主要討論FIR結(jié)構(gòu)的小數(shù)延遲濾波器。對于入射信號x()t，假設(shè)延遲量為τ，則延遲輸出為

根據(jù)傅里葉變換，可得系統(tǒng)函數(shù)H（.）的頻域表達(dá)式：

其中ω為對應(yīng)角頻率。信號經(jīng)過采樣變換為離散信號，式（1）等價于：

其中D為離散信號的延遲量，根據(jù)離散時間傅里葉變換（DTFT）可得延遲信號的頻域響應(yīng)：

此時理想系統(tǒng)函數(shù)Hid（.）的頻域表達(dá)式：

對應(yīng)時域表達(dá)式為

實際工程應(yīng)用FIR均為有限長，因此所設(shè)計的濾波器為理想濾波器的最小均方誤差逼近：

得出實際工程應(yīng)用的濾波器表達(dá)式：

濾波器長度為2N+1。式（7）的準(zhǔn)則函數(shù)僅僅對時域進(jìn)行約束，如果有效帶寬僅僅為奈奎斯特域的一部分，理論上可以通過對頻域進(jìn)行局部約束，從而進(jìn)行含約束的準(zhǔn)則函數(shù)求解，進(jìn)一步提高濾波器性能，考慮到時域約束已經(jīng)滿足性能需求，本文直接采用式（8）所設(shè)計的濾波器。

3 濾波器性能分析

濾波器的性能主要從兩方面展開分析：1）濾波器幅頻響應(yīng)特性；2）頻段選擇。

3.1 幅頻特性

由式（7）可知，濾波器在逼近中存在誤差：

濾波器對應(yīng)幅頻響應(yīng)曲線如圖1所示。

圖1 FDF幅頻響應(yīng)曲線

幅頻響應(yīng)曲線不是平滑的幅度為1的直線，造成該誤差主要有兩方面原因：1）濾波器的逼近誤差；2）吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象［14］。式（9）給出的濾波器逼近誤差解釋了圖1中幅度微小抖動的原因；觀察圖1容易發(fā)現(xiàn)頻率在0.5（高頻）附近出現(xiàn)大的抖動，造成該現(xiàn)象的原因為吉布斯現(xiàn)象。

首先介紹Gibbs現(xiàn)象：即信號在跳變點處，傅里葉級數(shù)是原始信號的最小均方誤差逼近，而非最佳一致逼近。圖2給出了吉布斯現(xiàn)象的仿真分析。圖3為幅頻響應(yīng)曲線。

圖2 吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象

圖3 幅頻響應(yīng)曲線

根據(jù)Gibbs原理可知，跳變點出現(xiàn)在±ωc處，對于全通的小數(shù)延遲濾波器而言，幅頻曲線在高頻處（ωc→π）有跳變點（即圖1中的0.5處）。至此通過理論解釋了幅頻曲線誤差特性，該誤差特性可進(jìn)一步概括為：系統(tǒng)幅頻曲線在整個頻段存在微小抖動，且在高頻處由于Gibbs原理引入較大的誤差。

3.2 頻段選擇

暫且忽略微小抖動對系統(tǒng)性能的影響，僅分析高頻處由于Gibbs原理引入的較大誤差。根據(jù)上文分析可知：若信號有效頻段落在Gibbs失效區(qū)域，則濾波器對該頻段信號失效。特別地，當(dāng)入射信號為二相碼時，入射信號的濾波輸出將引入較大誤差，圖4給出了對應(yīng)的仿真結(jié)果。

圖4 不同頻率小數(shù)延遲濾波輸出

圖4 可以從兩個角度對誤差進(jìn)行分析：1）由于Gibbs原因，濾波器在設(shè)計上存在高頻失真的缺陷；2）跳變信號可看作沖激響應(yīng)，信號在整個頻段都有信號分布，而高頻部分由于Gibbs原因引入誤差，因此濾波器輸出將引入較大誤差，圖4給出了該誤差的直觀描述。

對于信號檢測，通常進(jìn)行信道化處理，雖然小數(shù)延遲濾波由于上述分析的各原因造成信號失真，但信號在高頻以外的部分誤差僅僅為濾波器逼近誤差引入的微小抖動，因此合理選擇信號工作頻段，在后續(xù)操作中剔除無效頻段（如信道化后丟棄非有效信道），整個系統(tǒng)架構(gòu)的性能將不受濾波器性能、信號跳變失真帶來的影響。為避免Gibbs原理帶來的影響，有效工作頻段的截止頻率取0.45fs，其中fs為采樣率。

4 濾波器性能改進(jìn)

濾波器性能改進(jìn)主要從兩方面展開分析：1）幅度平坦度；2）延遲器選擇。

4.1 幅度平坦度

對信號加窗［14］，可進(jìn)一步提升幅頻特性曲線的平坦度：

圖5對比了加窗前后的幅頻曲線，從圖中可以看出加窗可有效改善幅頻性能。

圖5 加窗前后幅頻性能對比

雖然加窗改善了平坦度，但不同時延需要不同的窗函數(shù)，如果系統(tǒng)采用實時運算處理的體制，窗函數(shù)將進(jìn)一步增加算法復(fù)雜度。考慮到固定窗函數(shù)不影響小數(shù)延遲濾波的延遲性能，對加窗操作進(jìn)行改進(jìn)：

該操作采用統(tǒng)一窗函數(shù)，但相同信號不同延遲對應(yīng)的權(quán)重將發(fā)生改變，如圖6所示。

濾波之后幅度發(fā)生改變，該特性將造成DBF性能的下降，因此可考慮對幅度進(jìn)行補償：用固定窗函數(shù)取代延遲窗函數(shù)，本質(zhì)上權(quán)重系數(shù)的改變即為窗函數(shù)的幅度。圖7給出了該結(jié)論的仿真圖，仿真結(jié)果同樣證明了該理論的有效性。

圖6 改進(jìn)加窗思路的小數(shù)延遲輸出

圖7 權(quán)重與延遲的關(guān)系圖

4.2 延遲器選擇

圖8 小數(shù)延遲濾波器誤差性能分析

對于不同的延遲單元：

其中n0為通過平移調(diào)整的整數(shù)采樣點延遲，D0為通過小數(shù)延遲濾波器調(diào)整的延遲，這樣一來出現(xiàn)多種組合，例如D=5.3采樣點，則組合為：［5+0.3］，［1+4.3］，［2+3.3］……即通過平移整數(shù)點抵消一部分延遲，通過濾波器抵消另一部分延遲，現(xiàn)在分析多種組合中的最優(yōu)解：

根據(jù)式（13）分析可知，直接小數(shù)延遲濾波的分母最大，相對誤差理論上最小，而采用整數(shù)點平移、小數(shù)部分采用小數(shù)延遲濾波的操作誤差最大，即理論上非整數(shù)的小數(shù)延遲濾波給出了幅頻性能的誤差上界，圖7的仿真結(jié)果同樣說明了該分析的合理性。

綜合上述分析，可以得出結(jié)論：固定加窗、直接小數(shù)延遲濾波都將改善小數(shù)延遲的性能。

5 結(jié)語

本文嘗試給出小數(shù)延遲濾波器誤差的理論分析，并針對誤差特性給出工程化應(yīng)用的要點，最后提出改進(jìn)的加窗思路，并對濾波器不同的延遲組合進(jìn)行理論分析，從理論上論證延遲濾波的最優(yōu)解。仿真結(jié)果驗證了本文思路的有效性。