模型建構(gòu)助力“解三角形的綜合應(yīng)用”

李露

摘? ?要：高中階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容更加抽象，建立數(shù)學(xué)模型，有助于高中生在真實(shí)或者虛擬情境中，積極進(jìn)行數(shù)學(xué)思考.以“解三角形的綜合應(yīng)用”學(xué)習(xí)為例，闡述模型建構(gòu)和模型建構(gòu)助力學(xué)生數(shù)學(xué)思考和對數(shù)學(xué)知識的理解、應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：解三角形的綜合應(yīng)用;數(shù)學(xué)思考;模型建構(gòu);助力

立德樹人是新時(shí)代教育的根本任務(wù)，目的是為培養(yǎng)具有振興民族能力的人才奠定基礎(chǔ).數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界、用數(shù)學(xué)的思想做事情的素養(yǎng)，高中數(shù)學(xué)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對實(shí)踐問題情境進(jìn)行探索，引發(fā)學(xué)生對情境進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，建立情境數(shù)學(xué)模型，借助模型思考解決數(shù)學(xué)問題.學(xué)生建立解三角形綜合應(yīng)用的模型，借助模型進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，探究實(shí)踐中解三角形問題的解決辦法，是一種有效的學(xué)習(xí)方式.

1? 數(shù)學(xué)建模對“解三角形的綜合應(yīng)用”學(xué)習(xí)的意義

數(shù)學(xué)知識來源于生產(chǎn)、生活實(shí)踐，又運(yùn)用于生產(chǎn)、生活實(shí)踐.解三角形的綜合應(yīng)用主要是解決生產(chǎn)、生活實(shí)踐中距離、高度的測量以及角度的計(jì)算等實(shí)際問題，其手段主要是運(yùn)用正弦定理、余弦定理、三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)等，幫助學(xué)生加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用研究，體驗(yàn)數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用價(jià)值.

1.1? 數(shù)學(xué)模型有益學(xué)生學(xué)以致用

解三角形的綜合應(yīng)用通過運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識解決一些與測量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題，學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角思考解三角形的實(shí)踐情境，建立解三角形的模型，用解三角形知識解決實(shí)際問題.學(xué)生建模的過程就是吸收數(shù)學(xué)知識、理解數(shù)學(xué)知識、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的過程，建模過程中的數(shù)學(xué)思考是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的核心.數(shù)學(xué)思考基礎(chǔ)上模型建構(gòu)與數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上數(shù)學(xué)思考相互促進(jìn)提升數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生運(yùn)用解三角形的知識解決實(shí)踐問題能力，以發(fā)展學(xué)生適應(yīng)未來社會發(fā)展需要的必備品格.

1.2? 模型建構(gòu)助力學(xué)生數(shù)學(xué)思考

可以說，沒有數(shù)學(xué)思考就不可能進(jìn)行數(shù)學(xué)模型建構(gòu)，建模的過程就是學(xué)生數(shù)學(xué)思考的過程;數(shù)學(xué)模型建立促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解、運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考.日常數(shù)學(xué)課堂教學(xué)解讀文本和單純知識講解，很難激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，灌輸式的教學(xué)、模仿式的訓(xùn)練，加重了學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，也不利于學(xué)生深刻理解知識，運(yùn)用知識.借助數(shù)學(xué)模型引導(dǎo)學(xué)生探究模型變化，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，改進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生體驗(yàn)知識，理解和運(yùn)用知識.如解三角形的綜合應(yīng)用問題的常用術(shù)語是仰角、俯角、方向角、方位角，學(xué)生可以建構(gòu)模型加以理解，如圖1、2，模型，學(xué)生就會一目了然.

學(xué)生觀察圖2模型，就能理解方向角是指相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等;方位角是指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α.學(xué)生還可以根據(jù)自己平時(shí)生活體驗(yàn)建立小山坡模型，得出坡度就是坡面的垂直高度與水平長度之比，所以坡度又稱坡比.學(xué)生還可以通過建立三角形的模型解決應(yīng)用問題中豎直高度、水平距離的解法，通過對模型的思考，運(yùn)用解直角三角形、解兩個直角三角形解決底部可達(dá)、底部不可達(dá)問題;運(yùn)用正、余弦定理解決山兩側(cè)、河兩岸、河對岸問題.

2? 借助模型進(jìn)行“解三角形的綜合應(yīng)用”

通過對解三角形的現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題.改變了學(xué)生被動接受者的角色，數(shù)學(xué)建模過程是以學(xué)生為主體、問題為中心、探究為手段，能有效挖掘?qū)W生數(shù)學(xué)潛能，讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人.基于模型的數(shù)學(xué)思考也是以學(xué)生為主體，學(xué)生圍繞問題借助模型，探究問題解決方法，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的實(shí)踐能力.

2.1? 運(yùn)用模型引導(dǎo)學(xué)生解決高度問題

以“解三角形的綜合應(yīng)用”為例，讓學(xué)生借助建立的模型解決測量高度的問題.如無錫靈山是一座風(fēng)景秀麗的山峰，通往靈山大佛有一條拾級而上的筆直山路和一條乘坐纜車的索道，見圖3，登山者打算不坐纜車，而是花2個小時(shí)的時(shí)間進(jìn)行徒步攀登.已知山腳B到山路點(diǎn)D相距1千米，從山腳平面上點(diǎn)A觀測點(diǎn)D的仰角是30○，到山頂C的直線距離是3千米.AB之間的距離是1千米，登山者徒步攀登的速度為每小時(shí)1.2千米。問登山者能否在2個小時(shí)內(nèi)徒步登上山峰（即從B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)C點(diǎn)）.

首先要根據(jù)題意進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，建立數(shù)學(xué)模型，再依據(jù)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。求出BC之間的距離，才能夠解決2個小時(shí)內(nèi)是否能夠徒步登上山峰.

2.2? 借助模型引導(dǎo)學(xué)生思考角度問題

數(shù)學(xué)應(yīng)用就是對實(shí)際情境進(jìn)行數(shù)學(xué)思考、抽象，建立實(shí)際情境數(shù)學(xué)模型，研究模型，探索解決問題的辦法.例：如圖4，海面上東西方向有兩個相距5（3+）km的A，B兩個觀測點(diǎn).位于A點(diǎn)北偏東45°方向。B點(diǎn)北偏西60°方向上的D點(diǎn)的游船發(fā)出求救信號，此時(shí)救援船位于相距B點(diǎn)20km、南偏西60°的C點(diǎn)，救援船最快航行速度為30 km/h.救援船到達(dá)D點(diǎn)至少需要多長時(shí)間？學(xué)生借助模型思考救援船怎樣用最短時(shí)間到達(dá)救援地點(diǎn)，需要求出救援船從北偏東多少度出發(fā)，直線距離最短.

2.3? 借助模型引導(dǎo)學(xué)生思考距離問題

模型建構(gòu)不僅要立足課堂教學(xué)，還要把學(xué)生帶進(jìn)真實(shí)的或者模擬的數(shù)學(xué)情境，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)探索的情感體驗(yàn)。著力培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考、建模用模的自覺行為，形成“思考——建模——思考”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，將數(shù)學(xué)素養(yǎng)落實(shí)在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程之中.如一條海防警戒線上有A，B，C三處水聲監(jiān)測點(diǎn)，B點(diǎn)、C點(diǎn)到A點(diǎn)的距離分別是20和 50千米，聲波在水中傳播的速度是1.5千米/秒.某時(shí)刻，在B處收到發(fā)自靜止目標(biāo)P處的一個聲波信號，8秒后A，C同時(shí)接收到該聲波信號.已知靜止目標(biāo)P到海防警戒線A，C的距離是多少.根據(jù)情境，建立數(shù)學(xué)模型，依據(jù)模型解決問題.

模型建構(gòu)是高中生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，需要在數(shù)學(xué)探究活動中不斷積累.解三角形的綜合運(yùn)用的模型建構(gòu)需要注意情境的邊角關(guān)系及隱含的條件、注意空間與平面模型的聯(lián)系.