“拉船”問題通透看

吳珍發

(福建莆田第十中學,福建 莆田 351146)

1 問題的提出

圖1

如圖1,繩子拉船從A運動到B按運動的合成與分解可以看成是先把船沿著以滑輪為中心的從A轉到C,再把船沿繩子方向從C拉到B兩個運動的合運動;或者把繩子拉船從A運動到B看成先把船沿繩子方向的從A拉到D,再把船沿以滑輪為中心從D轉到B的兩個運動的合成．其中合運動和分運動之間的速度關系為v轉=v船sinθ,v繩=v船cosθ．

依教材這樣的分析對高一的學生還是算有點兒突然但也很巧妙,但是理解起來總的還是覺得有些陌生．對高一的學生,我們不妨另辟蹊徑,從其他角度入手,以加強對拉船問題的全面和透徹地理解．

2 橫嶺側峰多角度通透看“拉船”

圖2

2.1 從三角形三個邊之間關系粗淺看

初中學生都學過三角形兩邊和大于第三邊兩邊差小于第三邊這個原理,對于剛升入高中的高一學生,我們可以先從他們很熟悉的三角形邊間的關系初步入手研究拉船.

如圖2,假設船從A運動到B.在△ABC中，有LAB>LOA-LOB,又v船=LAB/Δt,v繩=(LOA-LOB)/Δt,由此,顯然有v船>v繩．

這樣我們從學生已知的很粗淺的數學知識入手,粗略知道了船速跟繩速之間的大體關系,對此拉船問題有了初步的理解．

2.2 從極限思想精確分析“拉船”

在高中物理學習中極限思想方法很重要,有關的數學知識會逐步學到,而且極限思維在物理里面的應用也很廣泛,其實繩拉船各種瞬時速度關系在極限思維方面可以看成是瞬時速度就是指船在無窮小的時間內通過的位移,也就是為繩拉船通過的無窮小的位移和無窮小的時間的比值．現我們由極限的思維入手分析.

從圖中的幾何關系可知:

l2=s2+h2.

(1)

(l-Δl)2=(s-Δs)2+h2.

(2)

上兩式(1)-(2)并兩邊同除以Δt,得

當Δt→0時,Δl→0,Δs→0.

由此可得2lv繩=2sv船,

這樣分析十分自然,學生由此也加深了對瞬時速度的理解,同時也培養了學生的高中物理學習中極其重要的極限思維思想,從一個嶄新的角度加深了對繩子拉船問題的熟悉和精確理解．

2.3 換個角度從功能原理方面看

極限問題比較抽象,我們還可以從我們熟悉的功能關系入手,其實,繩子拉船也是一個利用任何機械都不省功的功的原理問題．

當船水平前進時有

Wf=f·Δs,WF=F·Δl，

又由受力分析可知f=Fcosθ，根據功能原理利用任何機械都不省功,即WF=Wf.可得Δl=Δs·cosθ.兩邊同除以Δt得

從以上分析可知,無論船水平加速還是勻速都是v繩=v船cosθ．這樣我們又從學生很熟悉的物理知識入手解決繩拉船問題,這就猶如桃花源記里面說的,我們的思路經過剛才前面的抽象極限思維如一段狹窄的路段后前面又是一個一馬平川的“桃花源”.

2.4 用導數方法徹底解決

其實極限思維也就是大學中學到的導數方法,高中學生后面數學越來越深入也會粗淺學到導數方法．現在我們用導數方法極其簡便并徹底解決拉船問題．

如圖2,拉船過程中任意時刻,岸高h,定滑輪與船間的繩子長l和船距岸邊距離s有如下關系:l2=s2+h2.

顯然l和s都是時間的函數,對左右兩邊對t求導,有2l·l′(t)=2s·s′(t).則

由導數定義可知:s′(t)即為船速,l′(t)即為拉繩速度,因此

即v繩=v船cosθ.

導數作為高等數學的基礎,解決此類問題具有初等數學難以企及的優勢,但導數知識的方法一般出現在高二下學期的數學課程中,而拉船問題卻出現在高一物理中,應注意學生在學完導數都的后續物理學習和復習中點明和使用運用導數,可使學生對此類問題更加深刻理解,獲得新的處理物理問題的方法,其實導數方法本質上也是一種極限的思維.這種方法特別對于難度大的比如物理競賽中應用非常普遍,這也為學生大學的學習打下良好的基礎．

3 總結

至此,我們經過多角度的研究,對于拉船問題速度關系的正確答案已經確定無疑,如此經過幾種方法多角度的探究,我們拉船問題可以說是已經理解通透．其實,繩子拉船問題高考也常有涉及,比如全國卷或者福建卷好幾年都有出現．學生經過如此另辟蹊徑從各個角度透徹理解加深印象,特別是對數學里面導數方法應用,在物理競賽和其他物理問題經常有用到,有時候解題猶如戰場的輕騎兵,很快就可以解決問題．當然對于大部分的高中繩子拉船問題解題時還是應該多多運用運動的合成和分解方法或者功的原理方法進行解題,這樣的解答方法在普通解題過程中比較常用,特別是這樣的解法物理過程明白物理分析味道濃厚,較為普遍得到師生的青睞和推崇．