再析斜面對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的限制

饒華東 鄭睿林

(1. 漳州第一中學(xué),福建 漳州 363000; 2. 漳州第一中學(xué),福建 漳州 363000)

貴刊刊登了李愛(ài)華老師的《限制空間范圍條件下(類)平拋運(yùn)動(dòng)的末速度極值問(wèn)題舉例》一文,[1]文章就平面、豎直面、斜面、拋物面、圓弧面對(duì)(類)平拋運(yùn)動(dòng)的限制進(jìn)行了全面、詳細(xì)的分析,讀完該文,深受啟發(fā).美中不足的是文中關(guān)于斜面對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的限制的闡述存在一處計(jì)算失誤和一處表述不當(dāng),給筆者閱讀該文帶來(lái)一定的困擾,但瑕不掩瑜,該文不失為一篇極具參考價(jià)值的好文章.為避免給更多讀者帶來(lái)困擾,也為了讓該文更具完整性、科學(xué)性,筆者斗膽指出了文章的錯(cuò)誤,并就該文例題3提出了新的解法,同時(shí)就斜面對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的限制進(jìn)行了拓展分析.

1 原文再現(xiàn)[1]

圖1 原文圖

例1.如圖1所示,一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從傾角θ=45°的斜面底端正上方h=2.4 m處水平拋出,不計(jì)空氣阻力

(B) 若初速度加倍,小球飛行時(shí)間減半.

(C) 若小球垂直撞在斜面上,則初速度為4 m/s.

(D) 若落點(diǎn)由A到B逐漸升高,小球落到斜面時(shí)的動(dòng)能逐漸增大.

2 錯(cuò)誤糾正并提出新解法

2.1 錯(cuò)誤糾正

此外,原文題干敘述為“一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)”,并未說(shuō)明是小球,但選項(xiàng)中用“小球”替代了“質(zhì)點(diǎn)”,顯得不夠嚴(yán)謹(jǐn),因?yàn)樾∏虿灰欢芤暈橘|(zhì)點(diǎn),兩者間不能等同,所以將題干敘述改為“一質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))”更為合理.

2.2 利用導(dǎo)數(shù)法求解極值

3 拓展與延伸

3.1 拋出點(diǎn)水平右移

例2.例1中,若將拋出點(diǎn)水平右移x距離,試分析x為何值時(shí),落點(diǎn)由A到B逐漸升高,小球落到斜面時(shí)的動(dòng)能一直增大?

圖2 拋出點(diǎn)水平右移

3.2 拋出點(diǎn)豎直上移

例3.例1中,若將拋出點(diǎn)豎直上移h′距離,試分析h′為何值時(shí),落點(diǎn)由A到B逐漸升高,小球落到斜面時(shí)的動(dòng)能一直減小?

圖3 拋出點(diǎn)豎直上移

3.3 落點(diǎn)固定,拋出點(diǎn)豎直移動(dòng)

圖4 落點(diǎn)固定，拋出點(diǎn)豎直移動(dòng)

例4.如圖4所示,一質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))從傾角θ=45°的固定斜面底端正上方不同位置水平拋出,均落在斜面上的D點(diǎn),不計(jì)空氣阻力,已知D、C在同一水平線上,C在A點(diǎn)正上方,x=1 m,試分析h取何值時(shí)小球落在D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能最小?

涉及極值求解的題目,要充分利用已知條件,將多變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單一變量問(wèn)題,如本文中小球平拋的初速度、下落高度、空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間等都是變量,根據(jù)平拋規(guī)律、動(dòng)能定理及斜面的限制條件,將動(dòng)能(或末速度)用單一變量(如下落高度)表示,再利用求導(dǎo)或構(gòu)造均值不等式的數(shù)學(xué)方法求解.此外,利用函數(shù)(如三角函數(shù))的單調(diào)性、配方、構(gòu)造雙勾函數(shù)等方法也是求解極值的常用方法.這些方法在文獻(xiàn)[1]中均有舉例,在此不再贅述.