磁懸浮雙轉子系統的模態與不平衡響應分析

葉春，王念先，王東雄

(武漢科技大學 a.冶金裝備及其控制教育部重點實驗室；b.機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室,武漢 430081)

傳統的航空發動機雙轉子系統一般采用滾動軸承支承，會引入復雜的軸承腔、腔密封裝置、密封增壓系統、潤滑系統和冷卻系統等。磁懸浮軸承是新型的機電一體化設備，具有無機械摩擦，無潤滑，高轉速，高可靠性，長壽命及支承特性主動可控等優點。用磁懸浮軸承代替傳統滾動軸承，利用其支承剛度主動可調的特點，有望通過改變磁軸承支承剛度，達到對雙轉子系統固有特性和振動響應特性的主動調控。

固有特性和不平衡響應特性是雙轉子動力學研究的重點。文獻[1-4]對雙轉子系統進行模態分析，研究了離心力、運行狀態、支承剛度等對雙轉子系統模態的影響；文獻[5-6]用傳遞矩陣法計算了雙轉子系統的臨界轉速、振型及不平衡響應，研究了擠壓油膜阻尼對系統動力學特性的影響。文獻[7-10]對雙轉子系統進行不平衡響應分析，研究了轉速比、旋轉方向、不平衡質量及支承剛度等對雙轉子系統不平衡響應的影響。在磁懸浮轉子方面，文獻[11-13]計算了磁懸浮單轉子的固有特性，研究了系統的剛性及柔性、支承剛度、附加阻尼等對系統固有頻率、臨界轉速及振型的影響；文獻[14-15]以磁懸浮單轉子為研究對象，分析了阻尼器阻尼對系統模態及不平衡響應的影響；文獻[16-18]分析了磁懸浮單轉子系統的不平衡響應特性，探討了不同的控制算法及控制策略對系統不平衡響應的影響。上述研究都是基于滾動軸承支承的雙轉子系統和磁軸承支承的單轉子系統，對磁軸承支承的雙轉子系統的研究涉及較少；并且由于滾動軸承支承剛度難以在線調控，因而有關雙轉子系統振動的變剛度控制以及不同剛度下系統各模態對應的不平衡響應特性的研究很少。 鑒于此，現以磁懸浮雙轉子系統為研究對象，利用磁軸承支承剛度主動可調的特性，分析支承剛度對該雙轉子模態及不平衡振動的影響，研究其振動變剛度控制的可行性。

1 雙轉子系統模態分析

1.1 雙轉子系統結構

磁懸浮雙轉子系統結構如圖1所示，其中內轉子(用于模擬低壓)與外轉子(用于模擬高壓)之間采用2套永磁軸承耦合連接實現懸浮支承，外轉子采用2套電磁軸承實現懸浮支承。內轉子右端與外轉子左端分別通過彈性膜片聯軸器與2個電動機主軸連接。

1,7—永磁軸承；2—外轉子；3，6—電磁軸承轉子；4，5—外轉子導磁盤；8—內轉子；9—內轉子導磁盤；10—聯軸器

1.2 雙轉子系統有限元模型

雙轉子系統的可控性由其內在因素模態決定，并且可以通過其不平衡響應直接反映。在有限元軟件ANSYS中建立雙轉子系統模型(圖2)，對其進行模態及不平衡響應分析，雙轉子的主體部分采用SOLID187單元進行建模，將電磁軸承和永磁軸承簡化為彈性支承，采用COMBIN14彈簧單元模擬，對系統進行一體化建模，材料密度為7 850 kg/m3，彈性模量為209 GPa，泊松比為0.269。

圖2 雙轉子系統模型

在ANSYS中對內轉子進行獨立模態分析。假定外轉子完全固定，則永磁軸承外圈固定，內圈與內轉子相連，其支承剛度與雙轉子系統整體模態分析時的永磁軸承剛度相同。內轉子有限元模型中永磁軸承等效為彈簧單元，一端與內轉子外表面相連，另一端完全位移約束，其有限元模型如圖3所示。

圖3 內轉子模型

在ANSYS中對外轉子進行獨立模態分析。假定內轉子完全固定，則永磁軸承內圈固定，外圈與外轉子相連，其支承剛度與雙轉子系統整體模態分析時的永磁軸承剛度相同；電磁軸承外圈固定，內圈與外轉子相連，其支承剛度與雙轉子系統整體模態分析時的電磁軸承剛度相同。外轉子有限元模型中永磁軸承等效為彈簧單元，其一端與外轉子內表面相連，另一端完全固定約束；電磁軸承亦等效為彈簧單元，一端與外轉子外表面相連，另一端完全固定約束，其有限元模型如圖4所示。

圖4 外轉子模型

1.3 雙轉子系統模態振型分析

一般永磁軸承支承剛度k1為1×104～1×106N/m[19]，電磁軸承支承剛度k2為1×105～1×107N/m[20]。實際電磁軸承存在一定阻尼，而永磁軸承的阻尼相對很小，故只在電磁軸承上施加一個較小的阻尼250 N·s/m。

在固有頻率700 Hz以下，分別對內、外轉子及雙轉子系統有限元模型進行模態分析。以k1=1×105N/m，k2=1×106N/m為例，內、外轉子及雙轉子系統的模態振型見表1。

表1 內、外轉子及雙轉子系統振型

由表1可知，在設定頻率范圍內，內轉子有4階模態：1階固有頻率為52.3 Hz，振型為繞內轉子左側錐動；2階固有頻率為76.4 Hz，振型為繞內轉子中間靠右某點錐動；3階固有頻率為229.9 Hz，振型為典型一彎變形；4階固有頻率為589.1 Hz，振型為典型二彎變形。外轉子有2階模態：1階固有頻率為66.7 Hz，振型為繞外轉子右端錐動；2階固有頻率為96.8 Hz，振型為繞外轉子中間某點錐動。雙轉子系統有6階模態：1階固有頻率為47.6 Hz，振型中內、外轉子均為平動，且內轉子變形遠大于外轉子；2階固有頻率為62.2 Hz，振型中外轉子繞其左側錐動，內轉子其繞右側錐動；3階固有頻率為71.8 Hz，振型中外轉子繞其右側錐動，內轉子其繞左側錐動；4階固有頻率為97.4 Hz，振型中外轉子繞其中間錐動，內轉子繞左側錐動并伴有微小一彎變形；5階固有頻率為230.1 Hz，振型以內轉子一彎變形為主，外轉子幾乎無變形；6階固有頻率為589.1 Hz，振型以內轉子二彎變形為主，外轉子幾乎無變形。

對比可知，雙轉子系統前3階模態的固有頻率與內、外轉子模態固有頻率均不同，且系統中的轉子振型與內、外轉子獨立模態振型也不同，故認為雙轉子前3階模態為內、外轉子混合激發；雙轉子系統第4階模態的固有頻率與外轉子第2階獨立模態固有頻率基本相同，且系統第4階模態中外轉子振型與外轉子第2階獨立模態振型基本相同，故認為雙轉子第4階模態為外轉子激發；雙轉子系統第5，6階模態固有頻率分別與內轉子第3，4階獨立模態固有頻率基本相同，且雙轉子系統第5，6階模態中內轉子振型分別與內轉子第3，4階獨立模態振型基本相同，故認為雙轉子第5，6階模態為內轉子激發。

由此可見，根據激發狀態不同，雙轉子系統模態可以分為內轉子激發、外轉子激發及內、外轉子混合激發這3類模態。

1.4 雙轉子系統固有頻率分析

雙轉子系統不平衡振動變剛度的可控性在模態中可以體現在固有頻率方面。系統固有頻率反映了不平衡響應的峰值頻率，只要系統固有頻率隨電磁軸承支承剛度發生變化，即可認為其不平衡振動是可控的。而對于固有頻率不隨電磁軸承支承剛度變化的情況，則需進行不平衡響應分析，判斷其不平衡振動的峰值大小是否隨電磁軸承支承剛度發生變化。若其峰值大小發生變化，則可控；否則不可控。

當k1在1×104～1×106N/m之間取定值時，分析雙轉子系統前6階固有頻率隨k2的變化規律。以k1分別取1×104，1×105，1×106N/m為例，雙轉子系統前6階固有頻率隨電磁軸承支承剛度的變化曲線如圖5所示。

由圖5a知，k1=1×104N/m時，雙轉子系統的5，6階固有頻率及k2為4×105～1×107N/m的系統1，2階固有頻率不隨電磁軸承支承剛度變化，同時對比內、外單轉子及雙轉子系統模態(表1)可知，此時雙轉子系統模態均為內轉子激發；而雙轉子系統的3，4階固有頻率及k2為1×105～4×105N/m的系統1，2階固有頻率隨電磁軸承支承剛度增大而增大，其模態均為外轉子激發或內、外轉子混合激發。

圖5 雙轉子系統前6階固有頻率隨電磁軸承支承剛度的變化曲線

同理，圖5b中，k1=1×105N/m時，雙轉子系統的5，6階固有頻率及k2為4×106～1×107N/m的系統1，2階固有頻率幾乎不隨電磁軸承支承剛度變化，其模態均為內轉子激發；而系統的3，4階固有頻率及k2為1×105～4×106N/m的系統1，2階固有頻率隨電磁軸承支承剛度增大而增大，均為外轉子激發或內、外轉子混合激發。

圖5c中,轉子系統的5，6階固有頻率，k2為8×106～1×107N/m的系統1，2二階固有頻率及k2為1×105～2×106N/m的系統3，4階固有頻率幾乎不隨電磁軸承支承剛度變化，其模態均為內轉子激發；而k2為1×105～8×106N/m的系統1，2階固有頻率及k2為2×106～1×107N/m的系統3，4階固有頻率隨電磁軸承支承剛度增大而增大，均為外轉子激發或內、外轉子混合激發。

對比不同轉子激發模態對應的電磁軸承剛度區間可知：當永磁軸承剛度較小(1×104N/m)時，系統1，2階模態在低電磁軸承支承剛度區間(1～4)×105N/m為外轉子激發或內、外轉子混合激發，在高電磁軸承支承剛度區間4×105～1×107N/m為內轉子激發；并且隨著永磁軸承支承剛度的增大，外轉子激發或內、外轉子混合激發的模態會向高電磁軸承支承剛度區間擴展，內轉子激發的模態會向高電磁軸承支承剛度區間收縮。當永磁軸承支承剛度較小時，系統3，4階模態為外轉子激發或內、外轉子混合激發；當永磁軸承支承剛度增大到6×105N/m附近時，系統在低電磁軸承支承剛度區間開始出現內轉子激發的柔性模態，并且隨著永磁軸承支承剛度進一步增大，該模態會向高電磁軸承支承剛度區間擴展，此時外轉子激發或內、外轉子混合激發的模態會向高電磁軸承支承剛度區間收縮。在永磁軸承支承剛度一定時，系統5，6階模態基本不隨電磁軸承支承剛度變化，為內轉子激發的柔性模態。

由此可見，雙轉子系統中外轉子激發或內、外轉子混合激發的模態固有頻率隨電磁軸承支承剛度增大而增大，其不平衡振動是可控的；內轉子激發的模態固有頻率不受電磁軸承支承剛度影響，其不平衡振動的可控性需通過不平衡響應分析中的振動幅值來判斷。雙轉子系統各階模態中，不同轉子激發的模態對應的電磁軸承支承剛度區間隨永磁軸承剛度變化而變化。

2 雙轉子系統不平衡響應分析

雙轉子系統的不平衡響應可以直觀反映系統變剛度控制的可控性。實際雙轉子系統內、外轉子上均存在不平衡量，故對雙轉子系統進行不平衡響應分析時，為接近實際情況，應在內、外轉子上同時施加不平衡量。

當永磁軸承支承剛度一定，且變化區間為1×104～1×106N/m時，使內、外轉子同向旋轉，且轉速比為1∶1.2，同時在內、外轉子盤上施加1×10-5kg·m的不平衡量，分析電磁軸承支承剛度對其不平衡振動的影響。以k1=1×105N/m為例，其不平衡響應隨電磁軸承支承剛度的變化如圖6所示，其中內轉子盤各曲線峰值情況見表2。

圖6 k1=1×105 N/m時轉子盤的不平衡響應隨k2的變化

表2 不同電磁軸承支承剛度下的內轉子盤不平衡振動峰值

陀螺力矩是造成轉子固有頻率和臨界轉頻存在差異的主要因素，而轉動慣量是影響陀螺力矩的內在因素[21]。雙轉子系統結構中，盤狀結構和系統轉動慣量較小，陀螺力矩對系統固有頻率的影響幾乎可以忽略，系統固有頻率與其臨界轉頻基本相等，故系統在其固有頻率處會發生共振，出現振動峰值。

由圖6a及表2可知：電磁軸承支承剛度為1×105N/m時，系統在內、外轉子混合激發的前4階模態頻率(19，23，57，83 Hz)處出現振動峰值，當電磁軸承支承剛度從1×105N/m增加到4×106N/m時，系統前4階共振頻率增大，進而使原共振頻率處的振幅減小，可見內轉子在內、外轉子混合激發的模態處的不平衡響應是可控的；電磁軸承支承剛度為4×106N/m時，系統在外轉子激發的3,4階模態頻率(128，164 Hz)處出現振動峰值，當電磁軸承支承剛度從4×106N/m增加到1×107N/m時，系統3,4階共振頻率增大，進而使原共振頻率處的振幅減小，可見內轉子在外轉子激發的模態處的不平衡響應是可控的；電磁軸承支承剛度為4×106N/m時，系統在內轉子激發的剛性模態頻率(51，75 Hz)處出現振動峰值，電磁軸承支承剛度從4×106N/m增加到1×107N/m時，系統在這2處的峰值頻率及大小均不發生變化，可見內轉子在內轉子激發的剛性模態處的不平衡響應是不可控的；電磁軸承支承剛度為1×105N/m時，系統在內轉子激發的柔性模態頻率(229，589 Hz)處出現振動峰值，電磁軸承支承剛度從1×105N/m增加到1×107N/m時，系統在這2處的峰值頻率及峰值均不發生變化，可見內轉子在內轉子激發的柔性模態處的不平衡響應是不可控的。

同理，由圖6b可知：外轉子在內、外轉子混合激發的前4階模態頻率(19，23，57，83 Hz)附近的共振頻率隨電磁軸承支承剛度增大而增大，進而使原共振頻率處的振幅減小，其不平衡響應是可控的；外轉子盤在外轉子激發的3,4階模態頻率(128，164 Hz)附近的共振頻率隨電磁軸承支承剛度增大而增大，進而使原共振頻率處的振幅減小，其不平衡響應是可控的；外轉子盤在內轉子激發的剛性模態頻率(51，75 Hz)附近的不平衡振動峰值頻率不隨電磁軸承支承剛度變化，但峰值大小隨電磁軸承支承剛度增大而減小，故其不平衡響應亦可控；外轉子盤在內轉子激發的柔性模態頻率(229，589 Hz)附近的不平衡振動峰值大小及頻率均不隨電磁軸承支承剛度變化，其不平衡響應是不可控的。

綜上所述，當永磁中介軸承支承剛度一定時，雙轉子系統中外轉子激發或內、外轉子混合激發的模態不平衡振動是可控的，與系統模態分析一致。不平衡響應分析可判斷內轉子激發的模態的可控性：內轉子激發的柔性模態不平衡振動是不可控的；內轉子激發的剛性模態不平衡振動不可控，外轉子上的不平衡振動可控。

3 結論

1)根據內、外轉子獨立模態是否與磁懸浮雙轉子模態相同，可將系統模態按激發狀態分為3類：內轉子激發,外轉子激發及內、外轉子混合激發。

2)系統中內轉子激發的模態固有頻率不隨電磁軸承支承剛度發生變化，外轉子激發或內、外轉子混合激發的模態固有頻率隨電磁軸承支承剛度增大而增大。系統中外轉子激發或內、外轉子混合激發的模態，內、外轉子不平衡振動均可控。

3)內轉子激發模態的固有頻率不隨電磁軸承支承剛度變化；但若模態為剛性，則外轉子不平衡振動的峰值隨電磁軸承支承剛度增大而減小，內轉子不平衡振動峰值不變；若模態為柔性，則內、外轉子不平衡振動的峰值均不發生變化。內轉子激發的剛性模態，外轉子不平衡振動可控，內轉子不平衡振動不可控；內轉子激發的柔性模態，內、外轉子不平衡振動均不可控。