關于矩陣特征值有關性質的探討

2019-07-26 10:33:20閔超

教育教學論壇 2019年24期

閔超

摘要：矩陣的特征值和特征向量是線性代數課程的重要內容，它們不僅在矩陣的可對角化問題中起著關鍵的作用，也在概率統計、物理、工程、經濟學等領域有廣泛應用。本文主要探討矩陣的特征值的有關性質，希望能引發讀者的思考，并對線性代數的教學起到一定的作用。

關鍵詞：線性代數；矩陣的特征值；矩陣多項式；可逆矩陣

中圖分類號：O151.2 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2019）24-0190-02

本文主要探討在線性代數課程教學中關于矩陣的特征值和特征向量的有關問題。首先介紹矩陣的特征值和特征向量的定義以及求法[1]。為方便起見，本文考慮的數域是復數域。

定義[1]：設A是n階方陣，如果數λ和n維非零列向量x使關系式

Ax=λx （1）

成立，則稱λ是方陣A的特征值，非零列向量x稱為A的對應于特征值λ的特征向量。

（1）式也可以寫為

（A-λE）x=0，

該齊次線性方程組有非零解的充要條件是

A-λE=0。（2）

這里A-λE是λ的n次多項式，稱為A的特征多項式，（2）式稱為A的特征方程。

通過以上的分析，我們得到求解方陣A的特征值和特征向量的方法[1]：首先求出特征方程A-λE=0的全部根，即是A的全部特征值；然后把每個特征值代入到齊次線性方程組（A-λE）x=0，求出基礎解系，則基礎解系的所有線性組合（零向量除外）就是A對應于該特征值的全部特征向量。

現在我們來探討矩陣的特征值的有關性質。

定理1[2]：設A是n階方陣，f（x）=ax是一個m次多項式，m∈N，

（i）若λ是方陣A的特征值，則f（λ）是f（A）的特征值；

（ii）設λ，λ，…，λ是A的全部特征值，則f（λ），f（λ），…，f（λ）是f（A）的全部特征值。

注意該定理的結論（ii）中重特征值按重數計算，（ii）并不能直接由（i）得到，除非能保證A沒有重特征值且f（λ），f（λ），…，f（λ）兩兩互不相等。該定理的嚴格證明參考林亞南[2] （p185）：（i）直接由特征值和特征向量的定義得到；（ii）的證明需要用到“任一復數矩陣相似于一上（下）三角形矩陣”這一性質，從而該上（下）三角形矩陣對角線上的元素就是該矩陣的全部特征值，事實上還有“任一復數矩陣相似于一Jordan矩陣”這一更強的論斷。這里需要指出的是，該定理的兩個結論都是重要的，部分教材沒有給出結論（ii）但實際需要用到。比如吳傳生[1]只給出了結論（i）但是其習題5-2第3題就需要用到（ii）。

本文的主要目的是考慮當A是可逆矩陣時定理1中的一般多項式可以推廣到Laurent多項式的情形。我們先給出一個引理。

引理：設A是n階可逆方陣，

（i）若λ是方陣A的特征值，則是A的特征值[1]；

（ii）設λ，λ，…，λ是A的全部特征值，則，，…，是A的全部特征值。

證明：該引理的結論（i）直接由矩陣的特征值和特征向量的定義得到[1] （p160）。下面證明（ii），由于A相似于一上三角形矩陣，故存在可逆矩陣P，使得PAP=B，B是一上三角形矩陣，且對角線上的元素為λ，λ，…，λ。對上面的矩陣等式兩邊同時取逆矩陣得PAP=B，易知B仍然是一個上三角形矩陣，且對角線上的元素為，，…，，這即是A的全部特征值。

由上述引理，我們容易得到下面的定理。

定理2：設A是n階可逆方陣，g（x）=ax是一個Laurent多項式，l，m∈N，

（i）若λ是方陣A的特征值，則g（λ）是g（A）的特征值；

（ii）設λ，λ，…，λ是A的全部特征值，則g（λ），g（λ），…，g（λ）是g（A）的全部特征值。

需要注意的是，這里對于一個可逆方陣的負整數冪定義為A=（A），k=1，2，…，當然A=E。該定理的證明思路同定理1，故不再詳述。利用定理2，我們可以很容易由一個可逆矩陣的特征值寫出其對應的矩陣Laurent多項式的特征值。

例已知λ，λ，λ是三階可逆方陣A的特征值，求（A）-2A+3E的所有特征值。

解由于（A）-2A+3E=A（A）-2A+3E，故其對應的Laurent多項式為

g（x）=Ax-2x+3=（λλλ）x-2x+3，從而g（λ），g（λ），g（λ）就是（A）-2A+3E的三個特征值，即

（λλ）-2λ+3，（λλ）-2λ+3，（λλ）-2λ+3。

此外，吳傳生[1]習題5-2第3題，第五章總習題第1題都可以用定理2直接求解。因此本人建議可以考慮將定理2加入到線性代數的教材中，這有助于學生對矩陣的特征值有更全面的理解，并且非常有利于快速解答相關題型。

最后，定理1中考慮的多項式還可以推廣到更一般的矩陣函數（通過收斂的矩陣冪級數定義）[3]。例如對于n階方陣A，定義e=A，可得

（i）若λ是方陣A的特征值，則e是e的特征值；