統計學中幾個容易混淆的問題

張明亮

摘要：統計學是一門重要的學科，在日常生活中有著極其廣泛的應用。本文對統計學教學中幾個容易混淆的問題進行闡明，旨在幫助學生對統計學中的一些概念有個正確的理解。

關鍵詞：統計學；直方圖；總體；相關系數

中圖分類號：C81 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2019）24-0188-02

統計學是一套處理和分析數據的方法和技術，是一門數據分析的學科。統計學作為一門基礎課程，越來越受到人們的重視，呈現著新的發展趨勢及活力。但是，學生往往對一些概念產生模糊認識，甚至一些教科書中，也出現對一些概念表述不清的情況，這里就學生在學習中容易產生混淆的幾個問題進行闡述，旨在幫助學生對一些概念有一個正確的理解。

一、直方圖與條形圖

直方圖是統計學中對數據描述的一個圖形，在高中教材中也有介紹，但有一部分學生對這個概念理解不清。曾對學習統計學一年以后的大三學生做過一項統計學方面的調查，班級共有68名學生，有36名學生對直方圖與條形圖不能很好地區分開來，約占53%。有的學生把二者混為一談，對于二者的應用范圍分不清楚。條形圖是用寬度相同的條形的高來表示數據多少的圖形，每一矩形表示一個類別，其寬度沒有實際意義，每個小矩形不相連。條形圖有單式條形圖和復式條形圖之分，它一般適應于品質數據。

直方圖是用于展示定量數據分布的一種常用圖形，它是用矩形的寬度和高度來表示頻數的分布，矩形的寬度表示分組數據的組距，由于分組數據具有連續性，所以每個矩形是相連的，通過直方圖可以觀察數據分布的大致情況。一般用每個小區間內的頻率比上組距來表示小矩形的高度，這樣做是為了使得直方圖圍成的面積為1，因為一維連續型隨機變量的概率密度函數與x軸圍成的面積為1，通過對直方圖的折線近似擬合，觀察這條折線與已知分布的哪個概率密度函數擬合得比較好，可得出這組數據的大致分布。

但是，在有的教材中，往往把直方圖的高這一數據標錯，給學生理解帶來困難。右圖為某公司電腦銷售額分布的直方圖，從圖中可以看出，縱坐標標出的高度都不是頻率與組距的比，直方圖圍成的面積自然也不能保證是1。

二、對總體的理解

總體是指研究的對象的全體或試驗的全部可能的觀察值。由此可見，總體是指研究對象，一般是一些具體的數值。如，要考察一個班級《統計學》期末的考試成績，不能把這個班的學生看作總體，而應是每個學生的《統計學》成績組成的集合為總體，因為這里考察的僅僅是《統計學》的成績，而不是其他學科的成績。有的學生對總體理解不到位，甚至一些教材上也犯有同樣的錯誤。

三、方差與標準差的單位

隨機變量X的方差用D（X）或Var（X）表示，若E[X-E（X）]存在，則D（X）=E[X-E（X）]稱為隨機變量X的方差。它刻畫了隨機變量X的取值與其數學期望E（X）的偏離程度，若方差較小，意味著隨機變量X的取值比較集中在E（X）附近，反之，說明隨機變量X取值比較分散。方差的開平方稱為標準差或均方差。方差和標準差是否有單位，應該怎樣定義單位呢？關于這個問題有很多人認識不清，方差和標準差是否有單位，取決于“樣本數據”，若“樣本數據”有單位，那么方差和標準差均有單位；若“樣本數據”是沒有單位的數值，那么方差和標準差均沒有單位。由方差的定義知，一個隨機變量X的方差，是這個隨機變量與它的數學期望的差的平方的數學期望，若這個隨機變量X有單位，它的數學期望就與這個隨機變量具有相同的單位，二者差的平方的單位應該是原單位的平方，再求數學期望則單位不變，因此，方差的單位應該是“樣本數據”單位的平方，而標準差是由方差開方得到，所以標準差的單位與“樣本數據”的單位相同。如果數據的單位是千克，方差的單位就是千克的平方，標準差的單位就是千克；如果數據的單位是秒，方差的單位就是秒的平方，標準差的單位就是秒。只是現在教科書中對方差的單位比較淡化，一般考試中，所求的方差不要求寫單位。但是，在有的教材中仍會出現單位標注錯誤。有本教材給出的例題是這樣的：

例：根據例4.1的數據，計算9名員工月工資收入的方差和標準差。

四、無限與不可數

可數和無窮多是兩個不同的概念。可數可以簡單地認為是可以按一定順序排列出來，所以也稱為可列。如所有自然數{0，1，2，3，…}是可數個，只要能與自然數一一對應就是可數的，如所有奇數、所有偶數、所有有理數都是可數的。不可數就是沒有辦法一一排列出來，如區間[0，1]內的所有實數就是不可數的。

五、相關系數及其含義

當r=1時，稱隨機變量X與Y正相關；當r=-1時，稱隨機變量X與Y負相關；當r=0時，稱隨機變量X與Y不相關。說明相關系數定量地刻畫了隨機變量X、Y的線性相關程度，這里需注意的是：相關系數為零，只能說明隨機變量X與Y不具有線性相關關系，未必沒有關系；相關系數為1，也只能說明隨機變量X與Y之間以概率1存在著線性關系，直觀來說，就是幾乎所有的點（X、Y）都在直線Y=aX+b上，允許個別點不在這條直線上，不在這條直線上的點的概率應為0，但不能說二者具有函數關系。在有些教材中，把r=1與二者具有函數關系等同起來，此教材這樣描述相關系數：“可以證明，相關系數的取值范圍在+1和-1之間，即-1

六、一元線性回歸模型

總之，有些概念在一些教科書中介紹不清，老師在講授時又不夠重視，使得學生對這些概念不能很好地掌握，這是造成學生錯誤的根本原因，值得重視。

參考文獻：

[1]賈俊平.統計學基礎[M].第3版.北京：中國人民大學出版社，2013.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011.