基于輸入-輸出修正的水輪機特性曲線精細化模型

劉 冬，胡 曉，曾 荃，周昊愷，肖志懷

（1. 武漢大學動力與機械學院，湖北武漢 430072；2. 武漢大學水力機械過渡過程教育部重點實驗室，湖北武漢 430072）

1 研究背景

水電機組特性曲線精細化模型是研究機組非線性動態及其優化控制策略的基礎，也可為正常或特殊工況下的機組實時仿真提供滿足工程需要的準確模型［1］。目前，水電機組特性曲線模型大多是基于水輪機模型綜合特性曲線、飛逸曲線及邊界條件建立起來的線性或非線性穩態模型，這種模型在實踐中得到了廣泛應用［2-5］。然而，由于比尺效應的影響，模型和原型的單位參數并不完全滿足相似率，表現為在同一工況下的效率存在差別，即原型機的效率一般要高于模型機［6］。此外，在建模的過程中，不可避免地存在由于參數、讀數及計算精度帶來的誤差，從而降低模型的預測性能。因此，對水輪機原始模型進行適當修正尤為必要，既可以提高系統仿真的精度，也能夠保證相關研究成果的可靠性與真實性。

在建立模型并做實際驗證時，有時會發現模型有系統性的偏差，即模型不夠精確。為保證系統的等效性，需要以適當方式對模型進行修正。例如，在小尺寸設備中得到驗證的并確定了模型參數的模型，在大尺寸設備中未能保持足夠的等效性，必需增補某些項或調整某些參數值；采用某些初始參數建立的動力學模型，表現出與實際結構不一致的動力學特性，需要在一定范圍內修正建立理論模型時采用的某些初始參數，如物理參數、幾何尺寸以及邊界條件［7］。誤差信號通常作為模型修正或參數調整的依據，用于建立誤差與在補償作用點上補償控制量之間的關系，以提高模型的仿真精度。

多數情況下的模型修正問題都可以轉化為帶有約束的參數優化設計問題［8］。當系統結構較為復雜時，傳統的優化方法存在梯度計算困難、病態、非唯一解等不足［9］。智能計算方法是根據自然規律設計的基于適應度函數的優化算法，無需問題的詳細描述，可實現復雜系統的參數優化。王志峰［10］提出了一種基于改進引力搜索算法的有限元模型修正方法，用于解決結構損傷識別問題，具有一定的工程應用價值。于開平等［11］針對傳統粒子群算法的缺陷，引入多族群搜索機制，對飛行器結構進行修正，顯著改善了原模型的固有頻率。

雖然模型修正技術已較為成熟，但在水電機組特性曲線建模中尚缺少實際應用。本文考慮到實際需要，同時又不過多增加模型的復雜度和計算量，提出了一種基于輸入-輸出修正的模型修正方法。根據修正次序、修正函數和評價函數，討論對比了幾種可能情況，驗證了該方法的有效性。首先確定水輪機原始模型輸入或輸出參數的修正函數類型，其次引入一種新的評價函數，利用粒子群算法依次對各輸入和輸出參數進行修正，最后將各修正函數與原始模型整合得到滿足工程要求的水輪機特性曲線模型。

2 基于輸入-輸出的模型修正

2.1 基本原理模型修正按時間角度可分為在線修正和離線修正［12-13］；按空間角度可分為基于模型參數的修正［14-17］和基于附加模型的修正［18-19］。理想的水輪機模型修正過程應該滿足在不過多增加模型復雜程度的基礎上，盡可能提高模型的預測精度。基于神經網絡的水輪機非線性模型是由模型綜合特性曲線建立的，模型可調整的參數過多，基于參數修正的方法很難適用。另一方面，該模型本身相對復雜，而可利用的實際運行數據又十分有限，因此很難找到一種簡單而有效的附加模型對原始模型進行校正。

為了克服以上缺點，本文提出了基于輸入-輸出修正的水輪機模型修正方法（如圖1），通過對模型輸入和輸出采用含參數少、結構簡單的非線性函數修正，在保證水輪機原有特性的基礎上實現模型的微調。對于混流式水輪機，不改變原始流量特性模型fQ和力矩特性模型fM，利用電站現場采集的數據，對導葉開度、單位轉速及單位力矩（或單位流量）以某種規則并借助優化算法進行修正，得到特性曲線加修正項的混合模型；對于軸流式水輪機，則還需考慮槳葉角度的修正。

2.2 評價和修正函數模型修正存在兩個關鍵問題：（1）以何種形式修正網絡端口；（2）以何種指標評價修正結果。實際上，若定義修正函數為實際值和模型端口值的映射關系，則問題（1）就是為了找到一種合適的修正函數，使得模型預測值能夠充分接近真實值。若評價函數定義為預測值和實際值的接近程度，則問題（2）就是為了找到一種合適的評價函數，使得模型預測值能夠以正確方向接近真實值。

多項式函數、高斯核函數和Sigmoid 函數是常用的擬合函數，表達形式分別如式（1）至式（3）所示。本文將以上3種函數作為修正函數分別研究其修正效果。同時，為保證模型誤差朝正確的方向減小，引入一種綜合誤差函數［20］（如式（4）），并與平均絕對誤差、均方根誤差等指標進行對比，證明該評價函數的優越性。

圖1 水輪機神經網絡模型修正的原理框圖

式中：a、b、c 分別代表修正函數的參數，決定了模型變量的修正量，進而影響模型的預測精度；x 為待修正的模型變量，可能是導葉開度、槳葉角度、水頭、單位轉速以及單位力矩（或單位流量）。

式中：NoL、NoV和NoA分別表示學習樣本數、驗證樣本數和樣本總數；RMSE 、MAE 和R 分別代表指定樣本數下的均方根誤差、平均絕對誤差和相關系數，計算方法為：

式中：di和yi分別代表數據樣本的真實值和預測值；n為指定的學習樣本或驗證樣本數。

2.3 基于PSO的修正函數優化基于輸入-輸出的模型修正方法的核心在于尋找指定修正函數的最優參數。參數優化方法既包含梯度下降法、最小二乘法等傳統數學方法，也包含遺傳算法、粒子群算法等智能計算方法。傳統數學方法可以求得線性模型的最優參數，但對非線性模型，考慮到算法的復雜性、步長和初始解的影響，實施起來較為困難。智能計算方法雖然求得的只是近似解，但只要滿足精度要求，是可以接受的。本文將工程上廣泛使用的粒子群算法（PSO）用于解決水輪機模型修正問題。PSO是模擬鳥群覓食行為的一種元啟發式優化算法。粒子速度和位置的更新受個體認知和社會認知兩方面因素影響，使算法不易陷入局部最優。

基于PSO算法優化修正函數，得到水輪機模型修正的一般流程為（見圖2）：

圖2 基于多階段輸入-輸出修正的水輪機精細化建模流程

（1）建立水輪機神經網絡模型，采集機組現場試驗或運行數據。

（2）確定合適的評價函數和修正函數；

（3）采用粒子群算法對神經網絡某個輸入或輸出端口進行修正，優化變量為修正函數的參數a、b、c：

①種群初始化，包括粒子的位置、速度（加速度）。

②計算初始種群的適應度（即評價函數值），并更新粒子的歷史最優位置。

③檢查是否滿足迭代終止條件，若滿足，返回全局最優解；否則轉到步驟（4）。

④按下式更新粒子的速度和位置。

式中：ω 為慣性因子；c1、c2為學習因子； pbx 和gbx 分別表示個體歷史最優和全局最優位置。

⑤更新種群適應度和粒子的歷史最優位置，返回步驟③。

（4）若修正有效，即模型誤差減小，則應用該端口的修正結果，并將該階段得到的修正模型作為下次修正的原始模型，反之則不修正；

（5）若所有端口修正完畢，則結束修正，否則返回步驟（3）。

3 試驗設計

為了驗證本文提出的模型修正方法的有效性和適用性，對混流式和軸流轉槳式這2種常見的水輪機模型進行修正。混流式水輪機只需對力矩神經網絡進行修正，相應的流量神經網絡共享該修正函數。實驗應充分考慮網絡端口修正的次序、不同修正函數及評價函數對修正結果的影響。混流式水輪機模型的輸入為導葉開度、單位轉速，輸出為單位力矩，根據不同端口的修正次序，共有6種修正方案。軸流轉槳式水輪機模型的輸入為導葉開度、單位轉速和槳葉角度，輸出為單位力矩。協聯關系模型的輸入為導葉開度和水頭，輸出為槳葉角度。因此軸流轉槳式水輪機有30種修正方案（包括協聯關系的6種）。試驗將按照圖1和圖2所示的方法和流程，根據模型最終誤差分別確定修正函數、評價函數和最優端口修正次序。

軸流轉槳式水輪機模型修正還需考慮協聯關系，而本文將水輪機和協聯關系分別建模，故存在模型修正的先后問題。針對該問題，本文給出了2種可能的模型修正流程（見圖3），并在后續試驗驗證階段給出相應的修正結果。

圖3 2種可能的軸流轉槳式水輪機模型修正次序

圖3中F 表示使用的修正函數，其下標1和2分別表示模型修正的先后順序，即帶有下標1的修正函數所屬的模型是首先被修正的。修正函數下標中y、z、h、n 和m 分別表示要優化的導葉開度、槳葉角度、水頭、單位轉速和單位力矩。若水輪機力矩網絡模型首先被修正，則測量的槳葉角度將分別用于兩種模型的修正；若協聯網絡模型首先被修正，則其輸出將替代測量值用于水輪機力矩網絡模型的修正。

4 試驗結果分析

4.1 試驗數據及模型的建立本文建立了混流式水輪機A 和軸流轉槳式水輪機B 的神經網絡模型，其中機組A的額定功率為700 MW，額定水頭為197 m，額定轉速為125 r/min，額定流量為432.67 m3/s；機組B的額定功率為204 MW，額定水頭為47 m，額定轉速為107 r/min，額定流量為467.7 m3/s。模型數據來自水輪機模型綜合特性曲線、飛逸曲線及邊界條件（零轉速邊界條件、零開度邊界條件和飛逸邊界條件）。采用標準BP神經網絡建立水輪機模型，網絡結構為2-6-1（混流式）、3-8-1（軸流式）以及2-6-1（協聯關系），隱含層神經元激活函數為sigmoid函數，網絡性能函數為MSE，采用LM算法訓練網絡。試驗樣本取自水電站現場監測數據，主要包含導葉開度、機組頻率、有功功率、工作水頭和槳葉角度等。詳細的數據描述及算法參數設置如表1所示，將所有實測樣本分為訓練數據和測試數據兩部分，訓練數據（包括學習和驗證）用于優化修正函數參數，測試數據用于觀察模型的優化效果。

表1 用于模型修正的數據描述及算法參數設置

圖4為水輪機A的神經網絡模型生成的力矩特性曲面與實測值（由現場監控系統測量數據換算得到）的比較。三維圖顯示出實測數據幾乎全部位于模型曲面的下方，進一步通過平面圖可以看出，實測數據未能準確落在模型表面，各個工況點偏離模型曲面的程度不同，這表明所建立的水輪機模型與實際水輪機存在差別，且這種差別不能簡單地通過曲面的平移而消除。

圖4 水輪機A模型生成的預測曲面與真實值的對比（部分工況）

4.2 修正函數和評價函數的確定基于輸入-輸出修正的關鍵是選取合適的修正函數，使得修正后的模型預測值更加接近真實值，同時又不破壞模型本身的函數特性。對模型輸入和輸出采用特定的修正函數，可使原坐標軸發生非線性的伸縮和平移，繼而導致模型生成的曲面發生不同程度的變形和扭曲。利用該原理進行模型修正，有可能消除圖4（b）中曲面與實測樣本點的誤差，從而達到提高模型預測精度的目的。同時，性能良好的評價修正函數應綜合考慮模型修正前后的形變程度和預測誤差，具有避免模型過擬合的能力。

本文分別采用不完全三次多項式、高斯核函數以及sigmoid 函數三種修正函數，以及平絕對誤差、均方根誤差和綜合誤差函數3種評價函數，在端口修正次序不變的情況下，對水輪機A和B、以及協聯關系模型進行輸入-輸出修正。采用決定系數來評判最終修正結果的好壞程度，它表征由模型預測引起的數據變動（或方差）占總變動的百分比，其值越大，說明模型對實際系統的解釋程度越高。決定系數（R2）由誤差平方和（SSE）和總離差平方和（SST）決定，它們的計算方法如下：

圖5至圖10為采用最優修正函數和評價函數修正水輪機模型時評價函數值的變化、模型輸出的誤差分布情況、以及預測值與實測值的比較。對于不同的優化變量，算法的迭代次數均為100。圖5至圖7表明在水輪機輸入端口修正的過程中，模型誤差主要是由導葉開度誤差引起的，單位轉速的修正不會降低模型誤差；對于軸流式轉槳式水輪機，槳葉角度對模型誤差的影響遠小于導葉開度；修正后原本集中在較大誤差范圍內的多數樣本點轉移到較小誤差范圍，并且隨誤差范圍的增大，樣本數呈現出逐級遞減的趨勢。圖8至圖10表明：修正后模型的輸出均與實測數據吻合得很好，可以反映真實的水輪機特性。

表2 采用不同修正函數和評價函數時水輪機A模型的決定系數

表3 采用不同修正函數和評價函數時水輪機B模型的決定系數

表4 采用不同修正函數和評價函數時協聯關系模型的決定系數

（3）R2=1-SSE SST。

表2至表4為采用不同修正函數和評價函數修正后的水輪機模型的決定系數。可以看出，采用多項式修正函數及綜合誤差函數時，水輪機A和B、以及協聯關系模型的決定系數均為最大，分別達到98.98%、99.59%和99.82%。進一步分析，對于水輪機A和B模型，當修正函數為三次不完全多項式時，無論采用何種評價函數，相應的決定系數均為最大；當評價函數為綜合誤差函數時，無論采用何種修正函數，相應的決定系數也均為最大。因此，采用多項式修正函數以及綜合誤差函數來修正水輪機模型可以達到最佳的修正效果。

圖5 采用最優修正函數和評價函數時水輪機A模型修正前后誤差對比

圖6 采用最優修正函數和評價函數時水輪機B模型修正前后誤差對比

4.3 端口和模型修正次序的確定不同端口修正次序可能對修正后的模型預測誤差產生不同程度的影響。研究最優修正次序，可以得到最小的預測誤差，進一步提高模型的預測精度。混流式水輪機可能的端口修正次序如表5所示。情況5中單位力矩作為階段1修正量時，目標函數最小值最小，但最大值和均值都大于情況1中導葉開度作為階段1修正量時的對應值；單位轉速不適合作為階段1修正量，情況3中相應目標函數值的各項指標均較大。因此難以直接判斷哪種端口修正次序最為合適。

為綜合評價各變量修正次序對模型精度的影響，分階段統計經各變量修正的目標函數值。例如，當導葉開度作為階段1修正量時，情況1和情況2滿足條件，將二者目標函數平均值的均值作為綜合指標，其值越小，說明變量在該階段修正的效果越好，計算結果如表6至表8所示。當某一變量在多個階段同時具有最小的均值，則考慮及早修正。經過比較，針對本文研究對象，混流式水輪機的模型修正應按導葉開度、單位力矩和單位轉速的順序依次進行；軸流轉槳式水輪機的模型修正應按導葉開度、槳葉角度、單位轉速和單位力矩的順序依次進行；協聯關系的模型修正應按導葉開度、水頭和槳葉角度的順序依次進行。

圖7 采用最優修正函數和評價函數時協聯關系模型修正前后誤差對比

圖8 修正后水輪機A模型的預測值與實測值的比較

圖9 修正后水輪機B模型的預測值與實測值的比較

圖10 修正后協聯關系模型的預測值與實測值的比較

表5 不同修正次序對水輪機A模型預測精度的影響

表6 水輪機A模型端口處于不同階段修正時的目標函數總體均值

表7 水輪機B模型端口處于不同階段修正時的目標函數總體均值

表8 協聯關系模型端口處于不同階段修正時的目標函數總體均值

最后，在采用最優評價函數和修正函數的基礎上，對軸流轉槳式水輪機力矩特性網絡和協聯關系網絡的模型修正次序進行了研究，計算了圖3中兩種混合模型對測試數據的預測誤差，結果如表9所示。可以看出：先修正協聯關系模型再修正水輪機模型得到的混合模型具有更高的預測精度。這是因為協聯關系模型的預測誤差在水輪機模型修正過程中得到了一定程度的削弱。

表9 不同模型修正次序的預測誤差

5 結論

本文提出了基于輸入-輸出修正的水輪機特性曲線修正方法，并對兩種不同類型的水輪機進行了驗證。從水輪機模型特性曲線獲取流量和力矩特性數據，訓練并建立原始的水輪機神經網絡非線性模型。利用采集的水電站現場監測數據，對原始水輪機模型采用多項式修正函數和綜合評價函數，并按最優的端口修正次序和模型修正次序進行修正，得到水輪機特性曲線精細化模型。驗證結果證明該方法有效提高了特性曲線的預測精度，可為后續水電機組辨識和穩定性分析提供較為精確的數學模型。根據仿真結果與實測值的對比，可以得出以下結論：

（1）模型修正的精度與使用的修正函數和評價函數有關。對于不同類型的水輪機，采用多項式修正函數和帶有相關系數的綜合誤差函數，可以獲得較好的修正模型。

（2）模型修正的精度與端口的修正次序有關。對特定的水輪機模型，均可以找到最優的端口修正次序，建議將導葉開度作為優先修正的變量，以提高模型的預測性能。

（3）對于更為復雜的軸流轉槳式水輪機，模型修正的精度還與模型的修正次序有關。當協聯關系和水輪機分別建模時，由于存在槳葉角度的聯系，建議首先修正協聯關系模型再修正水輪機模型，以獲得精度較高的聯合模型。