K-結(jié)構(gòu)變換下的非線性Cauchy-Riemann方程

王 根

（浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，浙江 金華 321004）

復(fù)分析中的Cauchy-Riemann偏微分方程組提供了復(fù)可微函數(shù)在開集中滿足全純函數(shù)的充要條件[1-2]，全純函數(shù)是復(fù)理論研究的核心之一。因此,圍繞著Cauchy-Riemann方程很多學(xué)者都有過討論與研究，T Parlakg?rür, OK Pashaev[3], I.N.Vekua, T.Carleman, Picard I, Tutschke W, J.D.Gray, S.A.Morris,Looman, H, Menchoff, D, L.Bers, G.T Makatsaria,Z.D.Usmanov,H.Najmiddinov,

R.Ahmedov, A.Tungatarov, G Giorgadze, V Jikia,A Gelbart, Friedman, Avner, H Begehr, DaiD Q, Reissig M, A.Timofeev,等人均是研究廣義解析函數(shù)或者Carleman-Bers-Vekua （CBV）方程的著名學(xué)者[4-12]。

Picard[6]在更一般廣義的一階微分方程橢圓系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提出了相似理論建立的方法，

在關(guān)于系數(shù)的一般假設(shè)下,系統(tǒng)（1）等價(jià)于系統(tǒng)

這是Hilbert首次研究的。Carleman[7]得到了系統(tǒng)（2）解的唯一性質(zhì)——它們的唯一性。

系統(tǒng)（2）有如下形式

這篇文章從函數(shù)變換的角度對(duì)復(fù)函數(shù)w(z)做了一般的結(jié)構(gòu)變換來討論（1）或（2）式中各項(xiàng)系數(shù)之間的聯(lián)系，其中K(z)=k1+ik2為結(jié)構(gòu)函數(shù)且只與復(fù)數(shù)域C有關(guān)，討論了復(fù)函數(shù)的可微和解析性，并結(jié)合Carleman-Bers-Vekua方程進(jìn)行了相關(guān)討論。C為復(fù)數(shù)域，R為實(shí)數(shù)域。

1 記號(hào)與相關(guān)定理

設(shè)C是復(fù)數(shù)域,在復(fù)分析中引進(jìn)Wirtinger記號(hào)[2-4]

對(duì)于可微函數(shù)w=w(z,z-),則有微分式dw=?w+其中的算子為因此得到d=

定理1[4]設(shè)w∶U→C是定義在域U上的函數(shù)，z0∈U，那么w在z0∈U處可微的充要條件為w在z0∈U處實(shí)可微且在可微的情況下，w′(z0)

定理2[2]在點(diǎn)z∈C為R可微的函數(shù)w=u+iv,在此點(diǎn)為C可微的充要條件是它滿足Cauchy-Riemann條件

式中u,v為實(shí)函數(shù),本文總是假定u,v實(shí)可微。

定理3[3]若實(shí)函數(shù)u(x,y)和v(x,y)滿足非線性CR方程組

式中G(u,v)和F(u,v)均為Cauchy-Riemann方程的解Fu=Gv,Fv=-Gu,則u(x,y)和v(x,y)滿足非線性Laplace方程組

Cauchy-Riemann方程組是線性方程,它們只能解決線性Laplace方程，文獻(xiàn)[3]推廣了CR方程組用于解決非線性Laplace方程組。

2 主要結(jié)果

定義1設(shè)Ω?C是一個(gè)開集，復(fù)函數(shù)w(z)=u+iv以及結(jié)構(gòu)函數(shù)K(z)=k1+ik2都是定義在Ω上的復(fù)函數(shù)，則K-變換使得

式中k1,k2均為變量x,y的實(shí)變函數(shù)，因此分量表達(dá)式為

這里需要說明的是結(jié)構(gòu)函數(shù)K(z)≠0 的任意性，一般情況下，為了突出經(jīng)典復(fù)變函數(shù)的地位，我們可以取結(jié)構(gòu)函數(shù)為K(z)=1+κ(z)，式中κ(z)為任意結(jié)構(gòu)復(fù)函數(shù)，因此，我們根據(jù)K-變換（8）來討論復(fù)變函數(shù)w的一般廣義可微性，由于結(jié)構(gòu)函數(shù)K的任意性，因此，通過這種變換可以得到任何可能的對(duì)傳統(tǒng)線性Cauchy-Riemann方程的推廣情況，用矩陣表示K-變換（8）即為

其中S為結(jié)構(gòu)矩陣，一般情況下，我們?nèi)1=1+α，則有

定義2設(shè)函數(shù)(z)在點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)或包含z0的區(qū)域Ω內(nèi)有定義,極限為函數(shù)(z)在點(diǎn)z0的導(dǎo)數(shù)，即

這時(shí)稱函數(shù)w(z)在z0點(diǎn)K-結(jié)構(gòu)可微。若w(z)在區(qū)域Ω中每點(diǎn)都K-結(jié)構(gòu)可微，就稱w是Ω中的K-結(jié)構(gòu)全純函數(shù)，或K-結(jié)構(gòu)解析函數(shù)。

事實(shí)上，根據(jù)以上定義，由點(diǎn)z0的任意性，得到K-結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式為

以上揭示了K-結(jié)構(gòu)函數(shù)的不可或缺性，它的重要性對(duì)于拓展一般的復(fù)導(dǎo)數(shù)意義重大，同時(shí)，我們可以抽象出K-結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)算子及它的共軛算符如下列推論。

推論1 C上的廣義結(jié)構(gòu)Wirtinger導(dǎo)數(shù)算子為

顯然，它是Wirtinger導(dǎo)數(shù)算子（4）的自然延拓，稱為廣義結(jié)構(gòu)Wirtinger導(dǎo)數(shù)算子。運(yùn)用整體性的表示法，也就是下面，我們來討論K-結(jié)構(gòu)微分（10）的分量表達(dá)式，即廣義（9）的方程組表達(dá)式。通過計(jì)算可以容易得到表達(dá)式

將系統(tǒng)（1）與系統(tǒng)（11）進(jìn)行對(duì)比，易得系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

顯然地，所有系數(shù)都只與結(jié)構(gòu)函數(shù)K的分量k1，k2及其一階偏導(dǎo)數(shù)有關(guān),也就是只與結(jié)構(gòu)函數(shù)有關(guān)，這樣一來，我們就極大地簡化了系統(tǒng)（1），而只需研究系統(tǒng)（11）或者以下的K-結(jié)構(gòu)全純條件就行。因此Picard研究的系統(tǒng)（1）可以統(tǒng)一用關(guān)于結(jié)構(gòu)函數(shù)K的形式表示,也就是只要知道了結(jié)構(gòu)函數(shù)K的具體表達(dá)形式，則系統(tǒng)（1）就可以被唯一確定,通過在復(fù)數(shù)域C上加上額外的附加條件,則可以簡化得到如Carleman-Bers-Vekua方程的系統(tǒng)。

若將Carleman-Bers-Vekua方程系統(tǒng)（2）與系統(tǒng)（11）對(duì)比易得系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

此時(shí)K=k1,與定理3相比較易得此時(shí)

分量k1，k2的取值也就意味著結(jié)構(gòu)函數(shù)K由復(fù)變函數(shù)形式變?yōu)閷?shí)函數(shù)形式K=k1或者純復(fù)函數(shù)形K=ik2。Carleman-Bers-Vekua方程系統(tǒng)（2）可以由這兩種形式構(gòu)成，且系數(shù)a，b，c，d只與結(jié)構(gòu)函數(shù)K的分量的一階偏導(dǎo)數(shù)k1y，k2y，k1x，k2x的四則運(yùn)算所唯一確定。

利用推論1的廣義結(jié)構(gòu)Wirtinger導(dǎo)數(shù)，（11）可以用更加簡潔的形式表示因此得到如下的定理。

定理4 設(shè)Ω? C是開集，復(fù)函數(shù)w(z)=u+iv是Ω上的K-結(jié)構(gòu)全純當(dāng)且僅當(dāng)

成立，對(duì)于?z∈Ω? C。若w在整個(gè)復(fù)數(shù)域C都K-結(jié)構(gòu)全純，則w就稱為K-結(jié)構(gòu)整函數(shù)。它的解w稱為廣義結(jié)構(gòu)解析函數(shù)。

證明：由推論1的廣義結(jié)構(gòu)Wirtinger導(dǎo)數(shù)，（12）很顯然可以自然地推導(dǎo)出分量表達(dá)式系統(tǒng)（11）。

注意到K-結(jié)構(gòu)全純條件是一個(gè)等式形式K(z)記所有的K-結(jié)構(gòu)全純函數(shù)的集合為SHol。

推論2 在復(fù)數(shù)域Ω? C上定義的復(fù)函數(shù)w(z)∈SHol，若它滿足以下條件：

例1：設(shè)K=z，此時(shí)K-結(jié)構(gòu)全純條件為=0。

例2：設(shè)K=1+z-，此時(shí)K-結(jié)構(gòu)全純條件為

3 總結(jié)

事實(shí)上，K-結(jié)構(gòu)全純條件定理4可以從單復(fù)數(shù)域C自然地推廣到多復(fù)數(shù)變量上Cn，因此我們可以得到結(jié)論如下：

1.K=1，Cauchy-Riemann方程，Cn上的解析條件為也就是，1-結(jié)構(gòu)全純條件。

2.K=1+κ，非線性結(jié)構(gòu)Cauchy-Riemann方程，Cn上的廣義解析條件為

也就是，K結(jié)構(gòu)全純條件。若κ |z=z0=0，κ-結(jié)構(gòu)全純條件為

3.K=K1+iK2，Cn上的非線性K-結(jié)構(gòu)Cauchy-Riemann方程為K也就是，K-結(jié)構(gòu)全純。

在單復(fù)變C中，n=1且方程形式保持不變。由此可見，K-結(jié)構(gòu)變換具有統(tǒng)一性，能從數(shù)學(xué)的角度合理地推出其它可能對(duì)線性Cauchy-Riemann方程的推廣形式。