基于數學思想方法視角的課例研究

趙戌梅

（西北師范大學 教育學院，甘肅 蘭州 730070）

20世紀70年代以來，我國的許多數學家和教育家呼吁重視數學思想方法的教學，提倡讓數學思想方法滲透中小學的數學課堂教學，從而推動了我國中小學課堂教學滲透數學思想方法的進程[1]。如在《普通高中數學課程標準（實驗）》（之后簡稱《課標（2003）》）與《義務教育數學課程標準（2011年版）》（之后簡稱《課標（2011）》）中都提及到發展學生所必需的數學的基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗等[2-3]。但是，在現實的數學教學中，對如何滲透數學思想方法卻是一個不斷探索的過程，將數學思想方法與課堂教學有機結合，探究課堂中的教學形式，體現以學生為主體的教學理念成為數學教學的一種基本追求。

數學思想方法就是人們對數學內容、數學知識本質的認識，是指在解決問題過程中人腦經過一系列的思維活動將客觀世界中的數量關系和空間形式進行轉化產生結果，它是對解決問題過程中運用的方法、技巧等數學規律理性的認識[1，4]。截止目前，對數學思想方法的研究策略與成果已較成熟，但是基于數學教學課例探討數學思想方法的研究有待深入挖掘。基于此，提出以下幾個問題：教材和課標中如何滲透數學思想方法？教師如何將數學思想方法滲透于課堂中？教材與教師的滲透過程有何差異？

故作者選取在蘭州市某校觀摩的一節教師教學技能大賽的課例，運用“數學任務框架”研究法進行解構，通過分解該課例中的數學任務，透視了課堂中滲透了數學思想方法的路徑與方法。以探索數學思想方法滲透于數學課堂的有效策略，從而幫助教師在教學中更好地將數學思想方法滲透于數學教學中。

1 研究過程

1.1 研究對象

本文的研究對象是一節“二元一次不等式（組）與平面區域”課例，該課例滲透的數學思想方法是：類比和化歸。類比是常用的一種合情推理，是立足在已有知識的基礎上，通過兩個或兩類及以上對象之間某些相同或相似的性質，由已經獲得的知識引出新的猜測，推斷它們在其他性質上的相同或相似[5]；化歸思想是指在中學數學中分析、處理和解決問題時，一般的想法是將較復雜的問題向易解決的問題方向轉化，即化繁為簡、化難為易、化未知為已知的轉化思想[4]。

1.2 研究方法

本研究采用“數學任務框架”法，“數學任務框架”法是美國匹茲堡大學Stein博士提出的。他認為數學任務是指一個課堂活動的片段，該活動的目的是用于發展某個特定的數學技能、概念或思想。具體內容如圖1[6]。根據Stein對數學任務水平的劃分，學生對數學任務的認知水平取決于他們成功參與并完成任務所需要思維的種類和水平，從低到高可以分為以下水平（如表1所示）[7]。

圖1中教程呈現的任務，是指以書面材料形式呈現在教科書和數學課程標準中的任務，諸如問題、實驗、探究、思考、歸納等；授課環節是通過教師建立的一個個數學任務連接起來的，教師建立的任務則是指為實現教學目標，教師在課堂上圍繞“做什么”“怎樣做”“為什么這樣做”等設計的一系列任務；學生的學習結果是檢驗教學效果高低的主要依據[6]，本文中主要是指課堂上學生執行教師建立的數學任務時各方面的反饋。

圖1 數學任務框架法內容

表1 數學任務的認知水平劃分

通過圖1發現該研究方法的核心是數學任務，整個研究過程囊括了教師、學生、教材三個教學過程中的“鐵三角”因素，從而可以獲得解構課例的方向，其中解構就是指分解結構。表1中將數學任務根據認知水平分成四類，可以對數學任務進行評價。

1.3 研究設計

“課例”是一個實際的教學例子，是對一個教學問題和教學決定的再現和描述，“課例研究”往往指的是“做課例”的過程[8]。本文根據數學任務框架法，將該課例的結構分解成三個維度：教程任務、教師任務和學習結果，通過解構該課例，從而清晰地反映該課例中數學思想方法滲透的路徑和方法。首先，找出教程中呈現的數學任務及其水平，探尋任務間的聯系及其對滲透思想方法的影響；其次，匯總教師設置的統領性數學任務，探索數學思想方法滲透課堂的路徑；最后，根據課堂小結和課堂提問對學生的學習結果進行分析，探究使用滲透數學思想方法時學生的反饋。

2 研究結果

2.1 教程任務

教程中呈現的數學任務包含兩項，一個是教材中本節內容設置的探究、思考、觀察等欄目的任務，一個是課標中對本節知識內容的標準要求。該課例使用的教材是高中人教A版必修五，故匯總教材中的數學任務于表2。

由表2可知：人教A版必修五中本節設置的三個數學任務，可解構為讀題列式、聯系舊知、數形結合。任務2涉及了初中所學的一元一次不等式（組）及其解集的圖形表示法，建議教師類比一元一次不等式（組）的相關內容和化歸過程，探究二元一次不等式（組）的解集所表示的圖形。任務3是探究如何表示二元一次不等式（組）的解集的過程，通過歸納總結直線1：x-y＜6與直角坐標系內各點的關系，發現二元一次不等式（組）所表示的圖形，即使用化歸法將代數問題轉化為幾何問題。高中的教材任務中有兩個任務屬于高認知水平的做中學，故教材呈現的任務水平偏高。

《課標（2003）》中二元一次不等式（組）與線性規劃的內容有三條，（1）從實際情境中抽象出二元一次不等式組；（2）了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組；（3）從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決。課程內容要求可分解為讀題列不等式（組）、在相應區域表示不等式、應用不等式解決問題三個步驟。注意到《課標（2003）》注重實際情境與數學知識的聯系，要求學生能從實際情境中抽象出數學問題，并應用數學知識去解決該問題。內容標準要求利用平面區域表示不等式（組）的解集，將代數問題轉化為幾何問題，這種轉化過程即是化歸法。

表2 人教版教材任務匯總表

2.2 教師任務

教師任務是指課堂上教師建立的統領性任務，即教師建立的在課堂上安排給學生自主執行和完成一系列活動的任務，能推進課堂進度，或聯系相關知識。（見表3）作者記錄了該課例中教師讓學生自主、合作執行和完成的數學任務。

由表3知，教師共設置了12個任務，其中任務2至任務9是滲透類比的過程：通過情境列出對應關系，回顧已學過的“一元一次不等式（組）”；師生合作根據二者相似性得出二元一次不等式（組）和其解集的定義；回顧“一元一次不等式（組）”的學習過程，探究二元一次不等式的解集。滲透類比的8個任務中低水平任務和高水平任務各占50%。任務8和11運用了化歸法將復雜的代數問題轉化為直觀的幾何問題，并探究二元一次不等式（組）的解集的表示法。 探究過程主要在任務9中，通過歸納總結三個相似但不相同式子在平面中所表示的點特征，抽象出二元一次不等式的解集表示法。滲透華貴的教師任務都是高水平任務，其中有2個“做中學”水平任務。

表3 教師任務匯總表

教師通過9個數學任務，運用類比和化歸將這節知識有序地、連貫地串聯在一起。 表3與表2中任務水平相比，教師設置的與教材呈現的任務水平都呈階梯狀增加，其中高認知水平任務總數占任務水平總數的百分比分別是66.7%和50%。

2.3 學習結果

學生的學習結果的指標眾多、復雜、多重，需要細化和分析。[6]但鑒于本節課是觀摩課，故本文所指的學習結果是課堂上學生給予教師的反饋，主要通過課堂小結和課堂提問兩個具體教學環節反映。

2.3.1 課堂小結

為了提高學生對所學知識的掌握程度，鞏固所學內容，課堂中經常會設計課堂小結這一環節來檢驗學生的學習效果。下面為教師課堂小結環節的師生互動的過程：

師：給大家幾分鐘小組討論一下，一會請同學說說今天他學了些什么新內容？

生:二元一次不等式（組）及在平面中表示對應的解集。

師：我們是通過什么方法學習這些新知識的？

生：根據一元一次不等式的學習過程，探索二元一次不等式的內容。

師：同學們說得對，這種根據與未知事物相似的已知事物的特點和性質、推測未知事物的特點和性質的思想方法叫做類比。本節課我們重點學習了如何表示二元一次不等式的解集，誰來說說我們是通過什么來表示的？

生（集體）：平面區域。

師：因此，解二元一次不等式時，我們將復雜的代數問題轉化成了簡單的……

生（集體）：幾何問題。

師：是的，在小組探究活動中，我們將較復雜的問題向著易解決的問題方向轉化，而這種思想方法叫做化歸法。同學們再思考一下，然后請你給大家分享一下你對這節所學內容的總結。

生：本節課我們主要運用了類比認識了二元一次不等式（組）和它的解，又運用化歸探究學習了用平面區域表示它的解集。

在以上的對話中，教師通過設計連續相關的提問，讓學生主動回顧在課堂上經歷過的基本活動，串聯本節知識點幫助學生復習，使學生自己發現數學思想方法的滲透過程，進一步認識了類比和化歸這兩種數學思想方法。

2.3.2 課堂提問

課堂提問是師生互動的主要活動之一，適時恰當的提問可促進教師的教和學生的學，同時也會提高整個課堂的效率。學生回答教師課堂提問情況記錄如下（表4）：

表4 學生回答教師課堂提問情況的記錄表

由表4可知：本節課教師共設計了需學生獨立回答的問題16個，共12位學生回答，其中回答了三次的一位，回答兩次的兩位，被指定回答的一位。故學生的參與度至少達到20%，且教師選擇的回答問題的學生也不局限于某一區域。再聯系表4中的任務（尤其是任務6）和課堂小結師生對話中兩次小組合作可知，根據類比和化歸設置的數學任務在一定程度上提高了學生的積極性。

3 結論與建議

3.1 結論

3.1.1 教程任務中將類比、化歸結合滲透

教程任務包含了課標中這部分的內容標準，和教材中呈現的任務中發現了數學思想方法及其滲透路徑。由表2和表3分析得，教程任務不直接給出需滲透的數學思想方法的名稱，而是通過課標和教材中相關任務確定類比和化歸，教材中兩種思想方是結合滲透的，如任務2中既要類比已學過的知識，也要用化歸得出新不等式的解集圖形。提出一元一次不等式的學習過程類比學習新知識，回顧一元一次不等式解集表示發現二元一次不等式解集表示要運用化歸。同時教材任務的水平等級變化趨勢和離散程度也給教師任務的創建提供參考。

3.1.2 教師任務以滲透類比為主，總體任務水平低于教材任務水平

表3的教師任務中任務2～9主要滲透的思想方法是類比。運用類比的步驟尋找與研究對象相似的相似物；探索相似物與研究對象的相似性；由相似物猜測研究對象性質的猜想；驗證猜想。[9]教師任務滲透類比的過程基本與此過程一致，5個教師任務以教程為主要依據，但不完全一致，加入了教師的理解和經驗，任務數量占總任務數的66.7%。教師任務將教材中3個數學任務分解為12個，且有一半任務是低認知水平，高任務水平任務占比低于教材任務中高認知水平的占比。

3.1.3 滲透化歸的教師任務同時也滲透類比，任務水平與教材任務水平基本一致

表3的教師任務中任務6和7主要滲透的思想方法是化歸。首先，聯想到一元一次不等式（組）的解集是用數軸表示的，推測二元一次不等式（組）的解集也要利用數形結合探究；其次，一元一次不等式（組）是由一維數軸表示解集的，推測使用二維平面表示新不等式解集；最終，通過選定的平面區域表示二元一次不等式（組）的解集。整個過程結合了類比和化歸兩種思想方法，類比相似物運用化歸解決問題。共建立了 3個教師任務，都是高水平任務，教材任務中滲透化歸的任務2、3都是高認知水平，二者基本一致。

3.2 建議

3.2.1 教師要重視教程任務的指導性

教程任務是滲透數學思想方法的主要依據，對教師在授課中滲透數學思想方法具有指導性，故教師應不斷提高對教程的重視程度和研讀能力，探究教材任務中蘊含的思想方法和滲透路徑，理解課標中的教學目標和內容標準，梳理中小學所有知識的內在邏輯，不局限于某一版本教材中。

3.2.2 教師建立的數學任務應科學安排、循序進階

教師根據教程任務和學生實際，建立相互銜接、循序進階的數學任務，使得每個任務都能很好地引導學生對下一個任務進行思考，既符合知識內在的邏輯和學生數學思維，又能逐步提高學生邏輯推理能力。 教師通過教程中任務的認知水平變化趨勢，將任務分解，并以認知水平遞進的方式將知識緊密地串聯起來，逐步滲透數學思想方法。

3.2.3 教師任務重視學生思維發展

教師以數學任務為載體，將數學思想方法滲透于整個課堂，針對性地開展一些數學探究合作等活動，引導學生主動思考交流并完成數學任務，如教師任務6，并從中獲得學生的學習反饋。通過課堂小結和課堂提問兩個重要環節，中師生互動的具體描述和數據刻畫，重現教師以連續追問的方式引導學生思考探究，發展學生的數學思維，培養學生的邏輯推理素養。