數學試題“不會解”現象的剖析及反思

陳銀會

摘 要：從學生對一道試題“不會解”各種現象進行剖析，反思教師教學應關注的問題。

關鍵詞：“不會解”現象 剖析反思

作為中學生，天天都在解數學題，作為數學老師，天天都在關注學生解題的結果。最近，筆者在對學生進行高一期末復習過程中，對學生解一道數學試題出現“不會解”現象進行剖析，反思我們在教學中應關注的問題。

原題展示：例. 若則=_____

現象1：部分學生對已知條件不知如何入手。教師啟發問“”之間有什么關系，學生回答不上來。

剖析：出現這類現象的原因是學生關于同角三角函數的基本知識點：平方關系及商數關系不具備，所以解題無從下手。

反思：這類學生是因為基礎知識有漏洞。不理解運算對象導致不會解。解題研究的一代宗師波利亞說過：“貨源充足和組織良好時的知識倉庫是一個解題者的重要資本”，數學知識與數學能力密不可分。數學知識是形成數學能力基礎。章建躍博士說：“無知者無能”，對學生而言，系統的數學知識、數學能力主要來自于課堂教學。所以我們在教學中應幫助學生查漏補缺，完善數學基礎知識的體系，使學生能夠理解運算對象。

現象2：部分學生在練習本中寫出“”，然后不知所向。

剖析：出現這類現象的原因是學生不具備方程思想。沒有意識到由已知等式與平方關系聯立，可得關于的二元方程組進行求解得出：

進而根據商數關系得出。

反思：數學思想是對數學對象的本質認識，是認識具體數學概念、命題、規律、方法等的過程中提煉概括的基本觀點和根本想法，是數學活動的指導思想。方程思想是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為方程，再具體用消元法使得問題得到求解。我們在教學中，不僅要給學生基本知識點，還應積極提煉滲透學科思想。

現象3：部分學生想到對原式兩邊進行平方，得到：

，然后不知所向。

剖析：這類學生欠缺的是基本問題的解題方法。這個基本問題就是三角求值中關于正（余）弦“齊次式”的求值問題：通過利用平方關系把原式變形為：

然后分子、分母同除以余弦平方可得：

解此方程可得：。

反思：解題方法需要解題實踐來強化，解題經驗的積累，有助于直覺性題感的形成。這一策略體現了化歸的思想，同時，它還是類比、聯想思維活動得以展開的基礎，并與直覺相練習。在中學數學教學中，積累“基本問題”也就成為提高這一策略效率的捷徑。

現象4：部分學生想到輔助角公式對原式進行變形，得到：，即，然后不知所向。

剖析：這類學生是因為對輔助角公式沒有理解，生搬硬套。遇到非特殊值就不會了。具體求解過程如下：

反思：在進行數學公式、定理、法則、性質教學時，要幫助學生熟記公式、定理、法則、性質，更要讓學生明確知識產生的前因后果，來龍去脈和內在聯系。性質、公式、法則成立的條件和適用范圍。建立在理解基礎上的記憶才是有效的、靈活的。

現象5：只有極少數學生想到了利用三角函數的定義將原式變形為：。然后不知所向。

剖析：這類學生首先缺乏解題的目標意識，不知道正切函數的定義。或者不知道如何由得到結果，其本質缺乏方程思想與轉化思想。只要意識到上述等式即為x，y的方程，即可通過計算得到x與y的關系，從而使問題得到求解。具體計算如下：

兩邊平方可得：

反思：在進行解題教學時，要訓練學生解題的目標意識。即首先我們必須清楚要求的是什么？其次，我們必須了解已知與所求之間有怎樣的聯系？然后再在已知到所求之間探求運算的方向與途徑。選擇運算方法，進而求得運算結果。

課堂教學是學生獲取知識的重要場所。而學生對一個問題的理解水平有差異。思維方向也各有不同，我們不能強制所有同學想法一致。所以，教師在課堂教學中應注意引導和觀察，立足于學生思維“最近發展區”，拓展學生思維的深度與廣度。