例談初中幾何“線段最值”問題的求解策略

李煥輝

初中幾何中的最值問題是指在一定條件下，求平面幾何圖形中某個意義明確的量（如線段的長度、角度大小、圖形面積等）的最大值或最小值，幾何最值問題屬于中考題中的熱點問題，其中，求線段的最值問題是近幾年常見的題型，且這類問題內容豐富，知識點多，涉及面廣，解法靈活多樣，具有一定的難度，本文擬例談這類問題的求解策略，

策略1利用“兩點之間，線段最短”求線段最值

例1如圖1，圓柱底面半徑為2cm，高為9兀cm，點A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A，B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側面繞3圈到B，求棉線長度最短為____.

解析要求圓柱體中兩點之間的最短路徑，最直接的做法就是將圓柱體展開，然后利用“兩點之間線段最短”解答，如圖2，將圓柱展開后可見，棉線最短是三條斜線的長度，第一條斜線與底面圓周長、圓柱的三分之一高組成直角三角形，由周長公式知底面圓一周長為47ccm，圓柱的三分之一高為37cm，根據勾股定理，得一條斜線長為57cm，根據平行四邊形的性質，棉線長度最短為157ccm.

解析如圖6，連接BD可證明AABE ADBF，得到BE= BF，進而證明出不論點E，F的位置如何變化，ABEF是正三角形，所以EF= BE，要求線段EF的最大（小）值，實際就是求線段BE的最大（小）值，由已知可知，當點E與點A重合時，即BE= BA=4時，此時為EF的最大值，又根據“垂線段最短”，當BE上AD時，線段BE最小，即為EF的最小值，答案為2√3.

例5如圖9，在邊長為2的菱形ABCD中， A= 600，點M是AD邊的中點，點Ⅳ是AB邊上一動點，將AAMN沿MN所在的直線翻折得到Mn，連結AC，則AC長度的最小值是，

解析連接MC，根據“三角形三邊關系：任意兩邊之差小于第三邊”，即，由于都是定值，所以根據圖形特征，只有當A在MC上時，A'C才可取最小值，具體解題思路如圖10所示，答案為√7 -1.

策略4利用“直角三角形中的性質”求線段最值

例6如圖11，在RtAAOB中，OA：OB：3，的半徑為l，點P是AB邊上的動點，過點P作的一條切線PO（點Q為切點），則切線PO的最小值為，

解析從近幾年中考看，動線段的取值范圍求解經常出現在試卷中，這種題型解法，首先要會分析判斷線段取最大（小）的位置情況，利用線段達到的極值情況去求范圍，本題由于點E G，H分別在正方形ABCD邊AB， CD，DA上運動，四邊形EFGH是菱形，所以可判斷當點E與點B重合時，此時線段EH= GH最大，線段DG也最大，從而線段GC最小;當點G與點D重合時，此時線段GH=EH=4最小，線段DG=0也最小，從而線段GC：6最大，答案為6—2√6≤GC≤6.

總之，線段最值問題（或線段取值范圍）的解題關鍵就是要結合題意，借助相關的概念、圖形的性質，將最值問題轉化成相應數學模型進行分析與突破，