被閑置的輔助圖……

梅琳

[摘 要]小學數學教材中有許多輔助圖，如果利用得當，這些圖形不僅能起到直觀展示轉化過程的作用，而且能提高計算精度、簡化計算，強化學生的轉化意識。

[關鍵詞]傳統;圓柱體;長方體;表面積;體積

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）14-0054-01

小學數學教材中有許多輔助圖，但在總結公式、定律時，這些輔助圖往往被擱置一旁，無人問津。如蘇教版教材第十二冊“圓柱的體積”中就有一幅輔助圖（如圖1），教師如果能巧妙運用該圖來解析相關難點，就能使教學思路清晰、流程簡潔，大大提高課堂教學效率。

一、傳統方法遇到難題

【案例1】圓柱的側面積為36平方分米，底面直徑為2分米，求該圓柱的體積。多數學生是先求圓柱的高，得出[36÷（3.14×2）≈5.732]（分米），再求圓柱的體積，得出[3.14×（2÷2）2×5.732≈17.998]（立方分米）。

【分析】圓柱的側面展開后其實是一個長方形，一條邊為圓柱的高，另一條邊為圓柱底面的周長。利用長方形的面積公式，根據等量代換，用側面積除以底面周長就可以得出圓柱的高。當除不盡時，得數取近似值，一般保留三位小數（課本明文建議）。最后，根據圓柱體積公式“底面積×高”，求出體積。

這種解題方法本身是正確的，如果側面積剛好能被底面周長整除，那再好不過。但是，這道題在求側面積與底面周長的商，即求圓柱的高時無法整除，要取近似值，而后這個近似值被用于第二步計算中，導致第二步計算一開始就數據失實，計算出的圓柱體積就會存在一定誤差。如果學生在第一步時能用分數[900157]表示圓柱的高，以此作為第二步計算的原始數據，那么最終計算結果的精確度就會更高。

二、另辟蹊徑研究轉化圖

除此之外，還有沒有更加簡便易行的辦法？

如圖1，圓柱側面積的一半其實就是變形后的長方體的正面面積，長方體左右兩個面各是圓柱經過中軸線的縱切面的一半，長方體上下兩個面分別是圓柱的上底面和下底面。這樣就可以把長方體的正面視為底面，寬視為高，按照長方體體積公式列式，得[362×22=18]（立方分米）。故圓柱的體積是18立方分米。

這種方法的優勢是列式簡潔利落、結果準確，缺點是分析時思維較復雜。但實踐證明，只要教師引導學生對輔助圖分析到位，學生完全可以接受這種方法。

【案例2】圓柱的側面積是50.24平方厘米，高和底面半徑相等，它的表面積是多少？學生這樣解答：（1）（借助方程先計算出底面半徑的平方）設圓柱底面半徑和高都為r厘米，則[3.14×2×r×r=50.24]，[6.28r2=50.24]，[r2=8];（2）（計算圓柱上下底面的面積之和）[3.14×8×2=50.24]（平方厘米）;（3）（計算整個圓柱的表面積）50.24+50.24=100.48（平方厘米）。

【分析】先利用公式求出半徑的平方，再求出上下底面的面積之和，最后加上側面積計算表面積，條理分明、思路明朗，但是步驟煩瑣，且由于學生不懂開方為何物，所以止步于求出r[2]，沒有求出r，學生理解起來比較困難。

筆者認為，該題也可以利用輔助圖來簡化算式。如圖1，長方體的正面面積等于圓柱側面積的[12]，因為正面和背面全等，所以它們的面積之和剛好等于圓柱側面積。又因為圓柱的高和半徑相等，于是可以推理出長方體左右兩個面的形狀都為正方形且面積為r[2]，兩者的面積之和為2r[2];上下兩個面對應圓柱的上底面和下底面，面積分別為[π]r[2]，加起來為2[π]r[2]，而側面積也等于2[π]r[2]，所以圓柱體的表面積等于側面積乘2，列式為50.24[×]2=100.48（平方厘米）。

三、靈活使用教學材料滲透數學思想方法

關于使用圓柱體積公式輔助圖，筆者有兩點思考：

1.現實生活中存在各種教學材料，教師如果運用得當，就能激發學生興趣，使學生熱情地參與到思考活動中來。教師應合理利用各種教學材料，包括靈活處理課本中的現成材料，以及對教材中的一些經典素材進行加工變造、改頭換面，使之發揮新的作用。

2.教師在教學中要有意識地加強對數學思想方法的滲透。數學思想是人們在長期處理數學問題過程中積累出來的具有普適性的一般思維方法，數學方法是指某一數學思想在某一個案例中的具體外在形式，即用這種思想解決這類問題的手段和流程。數學思想方法是一種軟技能，教師應該在教學中大力開發這個“軟件”的功能，使之更好地服務于數學教學。

總之，可供利用的教學材料豐富多樣，教師應學會利用輔助圖，創造性地使用教材，使教學更加科學順暢。

（責編 吳美玲）