“等分除”和“包含除”引發(fā)的教學(xué)思考

吳潤(rùn)洪

我校一位青年教師在講授青島版教材二年級(jí)下冊(cè)“表內(nèi)除法”時(shí)，有兩道題讓他犯難了。

題一：請(qǐng)畫(huà)圖表示12[÷]3。

以下是學(xué)生的幾種典型畫(huà)法：

畫(huà)法1：畫(huà)12個(gè)圓圈，將每4個(gè)圈作1堆，共分為3堆。

畫(huà)法2：畫(huà)12個(gè)圓圈并將它們分為4堆，每堆3個(gè)。

畫(huà)法3：畫(huà)12個(gè)圓圈，3個(gè)3個(gè)圈起來(lái)。

單看畫(huà)法1和畫(huà)法2，更像乘法算式的圖例，完全沒(méi)有除法算式的痕跡。如果判學(xué)生錯(cuò)，可課本上又有既可列出乘法算式又可列出除法算式的圖示。形如這樣的“雙關(guān)圖”，課本上隨處可見(jiàn)，這揭示了乘法與除法之間的互逆關(guān)系，那么學(xué)生這樣作圖也無(wú)可厚非。

題二：15[÷]3不但能表示將15等分成（ ）份，每份是（ ），而且能表示15里面有（ ）個(gè)（ ）。

按照參考答案，第一層含義學(xué)生很容易想到，第二層含義理應(yīng)是15里面包含（5）個(gè)（3），而非（3）個(gè)（5），多數(shù)學(xué)生在此處栽跟頭。就算教師細(xì)致解析后，仍有不少學(xué)生受乘法含義的負(fù)遷移影響，認(rèn)為原式解讀為15里面包含有3個(gè)5或5個(gè)3都說(shuō)得通。針對(duì)此爭(zhēng)議，教師也是各執(zhí)一詞。

一、兩種分法引起的分歧

觀點(diǎn)一：之所以出現(xiàn)上述分歧，歸咎于教師教學(xué)時(shí)沒(méi)有教會(huì)學(xué)生分辨“等分除”和“包含除”。教師應(yīng)沿用舊版教材的做法，將“等分除”和“包含除”分開(kāi)講授，而且要讓學(xué)生嚴(yán)格區(qū)分，做到?jīng)芪挤置鳎^不含糊其辭，這樣分歧就會(huì)消除。

觀點(diǎn)二：既然新教材沒(méi)有將“等分除”和“包含除”區(qū)別開(kāi)來(lái)，那么在教學(xué)中教師也不應(yīng)自找麻煩，給學(xué)生增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。因此對(duì)于題一，各種畫(huà)法均無(wú)不可，不同畫(huà)法剛好體現(xiàn)了學(xué)生個(gè)性;題二中的“另類”填法，也有一定的合理性，不應(yīng)全盤(pán)否定。

二、產(chǎn)生分歧的根本原因

教師之所以相持不下，癥結(jié)就在于教學(xué)重點(diǎn)不一致;而學(xué)生的回答千差萬(wàn)別，也歸因于對(duì)除法的含義理解有偏差。因此，筆者認(rèn)為有必要管控分歧，統(tǒng)一意見(jiàn)，進(jìn)一步厘清“除法的含義”的教學(xué)思路。

青島版教材“除法的初步認(rèn)識(shí)”一課，第一步設(shè)置的是“平均分”的模型。平均分是除法的基本模型，也是數(shù)學(xué)運(yùn)算的一個(gè)常用概念。教材高度重視“平均分”的前概念鞏固，“等分除”和“包含除”都是建立在平均分的基礎(chǔ)上的。不少教師忽視“平均分”前概念的引入，而側(cè)重于除法算式的計(jì)算技能訓(xùn)練，或者沿襲舊教材的兩種分法。在學(xué)生基礎(chǔ)薄弱的情況下，教師強(qiáng)行區(qū)分兩種算法無(wú)異于揠苗助長(zhǎng)。

在教學(xué)“表內(nèi)除法”時(shí)，絕大多數(shù)學(xué)生在做題時(shí)都能正確列出算式，機(jī)械搬用較大數(shù)除以較小數(shù)。這種形式上的正確掩蓋了理解上的問(wèn)題。許多教師也止步于此，只要學(xué)生會(huì)列式和計(jì)算就睜一只眼閉一只眼，對(duì)算理算法一帶而過(guò)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)除法的理解很淺薄。

三、教學(xué)應(yīng)對(duì)策略

基于此，應(yīng)讓操作、觀察、討論等活動(dòng)貫穿“除法的含義”教學(xué)的始終，讓學(xué)生經(jīng)歷“平均分”的分配操作，為學(xué)生認(rèn)識(shí)“除法”積累經(jīng)驗(yàn)。在教學(xué)“用除法算式表示平均分”時(shí)，可給學(xué)生分配學(xué)具，讓學(xué)生通過(guò)操作過(guò)程理解除法算式各部分的含義。在解決問(wèn)題時(shí)，除了要求學(xué)生能夠正確列式外，也應(yīng)要求學(xué)生根據(jù)算式含義來(lái)擺弄實(shí)物。通過(guò)反復(fù)體驗(yàn)除法算式的形成過(guò)程，使學(xué)生對(duì)平均分有更深刻、更全面的認(rèn)識(shí)，能夠意識(shí)到算式的不同含義是因?yàn)槠骄值姆绞讲煌斐傻模瑥亩嬲莆粘êx。在列式計(jì)算后，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析研究計(jì)算過(guò)程體現(xiàn)了哪種分配方案。通過(guò)這樣的分析研究，學(xué)生在深入理解除法概念的基礎(chǔ)上，對(duì)兩種分配法的實(shí)質(zhì)也有了更清晰的認(rèn)識(shí)。

而練習(xí)一定要注重質(zhì)量，練習(xí)時(shí)不忘讓學(xué)生陳述理由。如先讓學(xué)生按規(guī)定程序解說(shuō)“分什么？”“怎么分？”“分了之后怎么樣？”，說(shuō)清楚之后，再反過(guò)來(lái)理解算式，這樣學(xué)生自然可以理解兩種分法的異同。練習(xí)時(shí)，也可在列舉大量事例后進(jìn)行總結(jié)歸納，如在解決問(wèn)題時(shí)，可讓學(xué)生簡(jiǎn)述題意，如學(xué)生表述困難也可分點(diǎn)說(shuō)明。表達(dá)的方式多種多樣，除了口頭語(yǔ)言表達(dá)之外，也可作圖說(shuō)明。教師可引導(dǎo)學(xué)生讀圖，先說(shuō)明圖意，再作圖，然后按圖列式。教師應(yīng)允許學(xué)生個(gè)性化作圖，標(biāo)新立異。練習(xí)時(shí)可讓學(xué)生根據(jù)問(wèn)題“畫(huà)圖”，或者根據(jù)插圖編題。只有書(shū)面與口頭語(yǔ)言雙管齊下，才能內(nèi)化知識(shí)，提高效率。

總之，在遇到師生都感到困惑的問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)先將知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程、編者的用意和學(xué)生的理解程度調(diào)查清楚，只有這樣才能從根本上抓住解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

（責(zé)編 童 夏）