“再創造”跨越斷層 “可視化”驅動思維

丁洪

[摘 要]“再創造”能搭建自由的學習平臺，引導學生經歷學習中的“關鍵步子”，幫助學生跨越思維的斷層。在“用字母表示數”的教學中，梳理、對比和整合 “差異化資源”，驅動學生思維的“可視化”，達到“激發和引導學生自我發展”的教育目的。

[關鍵詞]再創造;有效經歷;思維訓練;數學化

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）14-0006-03

現實的教學側重理性，短平快的“跨越”會使思維產生斷層，機械模仿只為“以學備用”。弗賴登塔爾推崇的“再創造”思想強調依靠學生的原有經驗和前概念，順勢而為地引導學生經歷知識產生和發展的全過程。尤其是“關鍵步子”的聚焦，“可視化”的思維碰撞，既能推動學習深入，獲得必要知識，又能促進思維發展，提升關鍵能力，真正實現“以學促思”的數學化教學目標。

筆者在某次觀摩活動上執教的“用字母表示數”一課，就緊緊圍繞“再創造”的理念來演繹數學化教學，引導學生調用已有的經驗驅動概念的建構。

【教學片段一】初步創造，激活經驗

師：星期天，大頭兒子和小頭爸爸在家玩拼圖游戲。拼1個獨立的三角形，用3根小棒。你能往下接嗎？

生1：拼2個三角形，用6根小棒。

生2：拼3個三角形，用9根小棒。

師：為了方便研究，我將信息整理成表格，把6根換成“3×2”，以此類推，你有什么發現？

生3：每個三角形用的根數一樣多。

生4：多一個三角形，就多3根。

生5：三角形越多，用的根數也越多。

師：6個三角形需要多少根小棒？8×3表示什么含義？

生6：6個三角形，需要6個3根，列式為6×3。

生7：8×3表示拼8個三角形需要的小棒根數。

師：能拼得完嗎？

生（齊）：不能。

師：請想個辦法，把已經拼的和還沒有拼的情況都包含進去，并且能清楚反映三角形的個數和對應的小棒根數。期待你的創造！

（學生在活動單上嘗試創造）

師：都用“？”或者“……”算一類，還有第二類（出示：“？”和“3×？”、“□”和“3×□”、“（ ）”和“3×（ ）”、“x”和“3×x”）。對比之后，你有什么想說的？

生8：感覺第二類要清楚一些。

生9：第二類容易看出對應關系。

生10：三角形有幾個，小棒根數對應就是幾個3根。

師：遇到未知的數，常用“？”“（ ）”和“□”。今天我們換種方式——用字母表示數。你怎么想到用x表示的？

生11：數學社團的老師提起過。

師：除了用x可以表示三角形個數，其他字母行嗎？

生12：都可以，外形不同，作用一樣。

師：被你們看穿了。如果我選a表示三角形個數，對應的小棒根數就是——

生13：3×a。

師：a可以是哪些數？

生（齊）：0、1、2、3…是自然數。

師：可以是半個嗎？

生（齊）：不可以。

師：看來，從三角形的實際情況來考慮，a相應的就有了范圍。

【思考：首先創設“拼圖形”情境，將零散的信息整理成表格，對比發現三角形個數和小棒根數的對應關系，巧借概括性表達的實際需要，驅動學生調用經驗進行創造活動;接著在分類比較的基礎上，引導學生感知符號和字母具有相同的效用，使學生換個方式表達的想法自然生長;最后引導學生結合三角形的圖形特征，理解字母范圍。】

【教學片段二】對比創造，建構模型

師：不知道大頭兒子和小頭爸爸的年齡，我們可以用哪個字母表示？

生1：用字母a表示。

生2：用字母b表示。

生3：26個字母都可以。

師：是的，字母在這里的作用是一樣的。如果用字母x表示爸爸的年齡，大頭兒子的年齡可以用字母x表示嗎？

生4：我覺得不行，用相同的字母，感覺年齡一樣了。

師：你的感覺是對的。在同一個問題情境中，不同數量一般用不同的字母表示。

師（出示：大頭兒子比小頭爸爸小24歲）：怎么表示大頭兒子的年齡？

（學生活動，教師巡視）

師：你覺得哪種方法比較好？先獨立思考，再小組交流。

（第一類：用單個字母表示，如“y”;第二類：x-24）

生5：我們小組認為“x-24”能表示大頭兒子的年齡，還能看出父子之間相差幾歲。

師：給了結果，還說出理由，真棒！接下來，玩“對口令”游戲，試著用含有字母的式子表示數量，看誰的反應快！

師：小頭爸爸a歲，大頭兒子——

生6：（a-24）歲。

師：大頭兒子b歲，小頭爸爸——

生7：（b+24）歲。

師：你們都能緊扣條件表達，非常好！再來“對口令”，如果小頭爸爸25歲，大頭兒子幾歲？

生（齊）：1歲。

師：出生了。如果小頭爸爸31歲，大頭兒子幾歲？

生（齊）：7歲。

師：上學了。能說得完嗎？

生（齊）：說不完。

生8：不對，人的年齡是有限的。

師：是的，年齡有范圍，相應的，含有字母的式子就有范圍。

【思考：首先創設“算年齡”情境，將知識順勢遷移，使學生在簡單運用中體會“同一情境中，不同數量一般用不同字母表示”的數學約定;接著增設條件，搭建“再創造”平臺，促使學生通過對比評價活動，感知含有字母的式子不但能表示數量，還能清楚地反映數量之間的關系;最后的游戲活動，一是“變式訓練”，二是“代數求值”，讓學生進一步感知取值范圍對應的問題實際。】

【教學片段三】反思創造，理解簡化

師：你能寫出正方形的周長和面積公式嗎？

生1：正方形的周長C=a×4。

生2：正方形的面積S=a×a。

師：用字母表示公式，顯然比文字表達要簡潔。其實，簡潔是數學發展的需要，這些式子還能再簡潔嗎？

（學生創造： C=a4、C=4a、S=aa）

師：數學家又是怎樣創造的呢？請自學課本。

生3：C=a4是錯的，省略乘號時“數字在前，字母在后”，應寫成C=4a。

生4：S=aa是對的，還可以寫成“S=a2”，“a2”讀作“a的平方”。

生5：a×1=a，字母和1相乘等于本身。

師：“·”表示什么？

生6：我覺得像是“×”的縮小變形。

生7（手勢配合）：就是這樣，把四邊向中間合攏。

師：思維碰撞，渡人渡己，真棒！從上往下看，越來越簡潔，方便表達;從下往上看，能追根溯源，把握本質。

師：在歷史上，用字母表示數的過程可沒有這么簡單，不信你聽！

[z][r][j]

（播放“字母表示數的歷史”錄音;略）

師：看來，從只能表達特定意思的字母，到現在擁有變通魔力的符號，這是數學家的創造，也是歷史的選擇。

【思考：首先是借用簡潔表達的需要，驅動學生自主創造;接著基于評判對錯的需要，驅動學生自學反思，并在辨析中梳理知識、解決困惑和建構規則，尤其是“自上而下”和“自下而上”的觀察比較，能夠引導學生掌控方向、聚焦方法和把握本質;最后的穿越歷史相當于“替代性創造”，引導學生體驗字母的作用和內涵，感悟“再創造”的生活基礎和智慧付出，以豐富學習的意義。】

【評析】

“用字母表示數”是人們為方便生活表達的創造，也是數學自身簡約發展的追求。在整個“數與代數”板塊中，“用字母表示數”的作用和地位比較特殊，既屬于核心知識，又肩挑承前啟后的重任。學習這部分知識，能夠增強學生表達問題的能力，沉淀“代數”的數學思想，為代數式及其運算、方程等的后續學習做好必要鋪墊。

要想達到理想的學習效果，教學中不能忽視這些問題，即“為什么選擇用字母表示數？”“字母怎樣表示數？”“在具體情境中，字母表示什么樣的數？”“字母表示數的意義和價值是什么？”“字母表示數的歷史是什么？”等。只有把這些問題想清楚，才能更好地設計和實施“再創造”活動，以幫助和驅動學生有效地建構數學知識。

一、創設情境，激發創造

教學中，圍繞大頭兒子和小頭爸爸的周末生活，先后創設“拼圖形”“算年齡”和“巧簡化”的情境，以及展示練習中衣食住行的問題場景。連續的、完整的和全方位的情境體驗，使“再創造”活動順利切入，并因接地氣而孕育靈氣。

例如，在“拼圖形”情境中，提出“請想個辦法，把已經拼的和還沒有拼的情況都包含進去，并且能清楚反映三角形的個數和對應的小棒根數。”驅動未知數量表達方式的創造;在“算年齡”情境中，提出“怎么表示大頭兒子的年齡？”驅動含有字母的式子的創造;在“巧簡化”情境中，提出“這些式子還能再簡潔嗎？” 驅動規則簡化的創造。顯然，這些問題貼近學生的認知，具有真實性，能激發學生的興趣和潛能，促使學生的學習狀態從“被動”走向“主動”。

二、搭建平臺，個性創造

智慧的火花被問題點燃后就需要“平臺”來記錄和整理。這里的平臺，其實是指學生思考的時間和空間。這樣做是想讓學習進程慢下來，讓學生經歷“再創造”過程，養成獨立思考和自我對話的習慣。

例如，在“拼圖形”情境中，學生調用原有表示未知數的經驗，創造出純符號和形如“？”和“3×？”的表達方式;在“算年齡”情境中，結合已知數量和數量關系，創造出單個字母和含有字母的式子兩種表示年齡的方式;在“巧簡化”情境中，根據自己的理解，進行初步的簡化嘗試。盡管創造的結果相對“粗糙”，但是卻生動地、充分地暴露了學生的即時狀態和思維過程。直播式的“再創造”，可愛、可控和可調，使學習方向由“模糊”變得“清晰”。

三、巧妙對比，優化創造

創造的成果為互動交流和問題爭鳴提供了素材。這些素材豐富多彩、角度多樣，是差異化和共性化的并存。將這些素材巧妙梳理和分類，有序呈現和對比，能激發學生的表達欲望，提升學生的表達質量，優化學生的創造成果。

例如，在“拼圖形”的情境中，先將表示數量的方法梳理成兩類，比較后發現第二類能清楚地表示數量，接著聚焦第二類的內部結構，在發現符號和字母都具有表示數量的功能后，順勢引入新知的學習;在“算年齡”情境中，先將表示年齡的方法梳理成兩類，比較后發現，第二類能表示年齡，還能反映年齡之間的關系;在“巧簡化”情境中，將文字公式、字母公式和逐步簡化過程中的公式進行對比，還將歷史中字母的自我發展一起對比。顯然，經過對比的過程更生動、思維更透徹和結構更穩固，促使學習方式從“植入”變成“建構”。

四、積極反思，感悟創造

就本課而言，在板塊教學中，已經借助即時反思，解決了部分課前提出的問題。但是，這樣的反思行為是局部的，缺少連續性和整體性，對學習的幫助也就是“點到為止”，難以讓學生習得“能帶得走的能力”。

要想反思有效，可以將思考的零散碎片整合在“再創造”模塊之內。例如，在“巧簡化”情境中，數量關系的表達方式有4種，每種表達方式都對應一種抽象水平。“自上而下”的對比反思，能感知簡化的方向和方法;“自下而上”的對比反思，能還原簡化本來的“面貌”;“一上一下”的整體互動，使模塊學習自成體系。又如，將字母表示數的相關問題，巧妙融合在字母表示數的歷史中，通過其發展歷程的動態演繹，將靜態的、濃縮的和人為分解的知識“無縫對接”。“一動一靜”，使模塊學習更具畫面感和生命力。顯然，有反思的學習更具溫度和深度，促使學習收獲從“知識”變成“能力”。

顯而易見，弗賴登塔爾所提倡的“再創造”，既搭建了學生自主、自由和自在的學習平臺，又在梳理、展示和整合思維方面做出最大努力，達到“激發和引導學生自我發展”的教育目的。但是，在教學實踐中，有一種現象要警惕，就是只有自由創造之形，缺少有條理的思維訓練之實的活動。這種虛偽的“再創造”，華而不實、牽強附會和漫無目的，需要認真甄別。

[本文系南通市“十三五”教育科學規劃2016年度青年專項課題“基于問題驅動的數學化過程的研究”階段性成果（課題編號：QN2016012）。]

（責編 金 鈴）