關(guān)于一道平面幾何問題的多種解法及思考

王震 李偉

一、引言

眾所周知，平面幾何是數(shù)學(xué)產(chǎn)生的最早形態(tài)之一，平面幾何通過研究二維平面內(nèi)的一維直線、曲線的幾何結(jié)構(gòu)及度量性質(zhì)，來解決生活中常見的二維數(shù)學(xué)問題。它的每一則證明，每一個定理，都無不展現(xiàn)著數(shù)學(xué)家們早期對數(shù)學(xué)的感悟與理解，凝結(jié)著數(shù)學(xué)家們早期的思索與智慧，至今仍然源遠(yuǎn)流長。

高中階段，平面幾何很少做單獨(dú)考察，而是與解析，向量等數(shù)學(xué)方法相互結(jié)合，以此達(dá)到對學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的培養(yǎng)與鍛煉。本篇文章主要從兩則平面幾何證明題展開，通過證明方法的多樣性來對平面解析幾何與向量兩種解法進(jìn)行對比，并從中發(fā)掘兩種解題方法的內(nèi)在聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)之美。

二、問題的提出

3.分析解法

上述幾種解法中，在解的過程中，不難發(fā)現(xiàn)解題思路有兩種：一是純平面幾何法：構(gòu)造特殊圖形，尋找等量關(guān)系，利用幾何定理證明。二是平面向量：通過設(shè)未知數(shù)，依據(jù)題中已知的等量關(guān)系列等式，并通過聯(lián)立解出未知數(shù)。此兩種方法各有千秋，但是，兩種方法是否有什么本質(zhì)區(qū)別呢？若沒有，那么兩種看似截然不同的解題思路其內(nèi)在又有什么深刻聯(lián)系呢？

平面向量是連通幾何與代數(shù)的重要橋梁。在解析還未被提出時，古代傳統(tǒng)平面幾何在一部分問題的解決上是那樣冗長與繁雜，人們?yōu)榱私鉀Q某一個問題，往往不得不去構(gòu)造十分復(fù)雜的圖形，做出大量輔助線，以利用某些公理或定理解決問題。但在笛卡爾首次提出“解析”的概念之后，幾何的發(fā)展便在歐幾里得建立的平面幾何時代的基礎(chǔ)上又產(chǎn)生了一個新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域：解析幾何。而向量，這個早在亞里士多德時代便已經(jīng)被提出的僅在物理學(xué)中有所應(yīng)用的概念也再一次得到充分的利用，它與解析幾何的融合，成功簡化了不少繁瑣的歐幾里得平面幾何證明題。

那么，為什么向量會使證明步驟簡化不少呢？就拿本題來看，若沒有梅氏定理法的引理，而卻仍用平面幾何角度去入手解題時，仍處于高中階段的我們對于“四等分點(diǎn)”這個關(guān)鍵條件又該如何利用呢？似乎只有作輔助線一條出路了，但問題就是，做完輔助線后的計算量將十分大且龐雜，但為何用解析加向量法便會輕松不少呢？其實(shí)解析向量法只是將我們不熟悉的幾何線段間的數(shù)量關(guān)系全部利用未知數(shù)去量化，二者毫無本質(zhì)上的區(qū)別，如本題中“四等分點(diǎn)”用向量表示十分簡單：即 ，向量法不僅表示有向線段長度十分容易，聯(lián)立有向線段間的矢量關(guān)系得到等式也是比較輕松。此法最終聯(lián)立等式的形式一般都是λ+?=0，從而以此得到?=0，λ=0。自然，求解未知數(shù)更是十分簡單。

數(shù)學(xué)總是講究一個條件一般便對應(yīng)一個結(jié)論，而多個條件也可對應(yīng)一個結(jié)論，多個條件一般每個都應(yīng)加以利用，缺一不可。那么如何利用條件便也成了解題簡與繁的先決因素。但無論如何我們都必須去設(shè)法利用到每一個條件。平面幾何的方法是構(gòu)造圖形，而向量的方法便是解析運(yùn)算。若平面幾何構(gòu)造很簡單，平面幾何法自然是首選，若平面幾何構(gòu)造十分復(fù)雜，不妨利用解析向量法，如此便可輕松充分利用題目中每一個條件，得到準(zhǔn)確的等量關(guān)系，從而解決數(shù)學(xué)問題。

三、結(jié)尾

代數(shù)可以脫離幾何而單獨(dú)存在，幾何也可以脫離代數(shù)而單獨(dú)存在，但大部分情況下，二者總是有著較深的內(nèi)在聯(lián)系。正是代數(shù)與幾何的內(nèi)在結(jié)合，才有了數(shù)學(xué)之美，正是有了代數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與幾何的遐想，才有了每個數(shù)學(xué)家心中的美麗心靈。