高中數學課程難度的對比研究

皮帥玲　蘇淑華　李琪　張碧霞

摘 要 高中數學課程標準在教材編寫和教學設計等方面有著重要的指導作用。以2000年版、2003年版和2017年版為比較對象，通過靜態定量模型的三個主要影響因素課程廣度、課程時間和課程深度來分析普通高中數學函數的課程難度。研究發現，2017年版課程標準在課程廣度和課程深度都稍有增加，有助于研究者對函數課程內容的進一步認識。

關鍵詞 課程標準 課程難度 函數 對比

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2019.06.074

A Contrastive Study on the Difficulty of Mathematics Course in Senior High School

——Take the compulsory course function as an example

PI Shuailing， SU Shuhua， LI Qi， ZHANG Bixia

（Fuzhou Normal College of ECUT， Fuzhou， Jiangxi 344000）

Abstract High school mathematics curriculum standards play an important guiding role in textbook compilation and teaching design. By comparing 2000 edition， 2003 edition and 2017 edition， this paper analyses the curriculum difficulty of mathematics function in senior high school through three main factors of static quantitative model： curriculum breadth， curriculum time and curriculum depth. The study finds that the 2017 version of curriculum standards has slightly increased in the breadth and depth of the curriculum， which is helpful for researchers to further understand the content of functional curriculum.

Keywords curriculum standards； course difficulty； function； contrast

1 問題提出

對于普通高中數學課程，2000年之后共有三個版本的課程標準，分別是：2000年《全日制普通高級中學數學教學大綱（修訂版）》、[1]2003年《全日制普通高中數學新課程標準（實驗版）》[2]和2017年《普通高中數學課程標準》。[3]為了方便起見，分別簡稱為：2000年版、2003年版和2017年版。目前，研究課標的主要方法是史寧中于2005年提出的靜態定量模型。[4]該模型主要是基于課程廣度、課程時間和課程深度來建構課程內容難度的量化模型。

函數作為高中數學的基本概念和課程核心內容之一。現有文獻主要是從教材角度來分析函數內容的課程難度，而從課程標準來分析研究的比較少。例如魏鈺婷以人教A版與澳洲BIP版高水平數學教材為例，[5]胡曉婷以我國各版本教材為例，來考查高中數學三角函數內容的難度情況；[6]胡莉莉等以中美數學教材為例，來分析初中函數內容的難度情況；[7]呂世虎和劉鵬飛從大綱和課標來探究函數課程內容難度的發展情況。[8]

隨著我國最新的高中數學課程標準修訂的完成，對函數課程內容難度的具體要求也有所變化。在這樣的背景下，把最新修訂的2017年版高中數學課程標準與前兩版的函數課程內容難度進行分析比較，探究最新的2017版課程標準下的函數課程難度的變化情況，擬解決的問題是：相較于前2版課標，2017版高中數學課程標準對函數課程內容難度的具體要求發生了怎樣的變化？

2 關于“函數”課程難度的對比研究

刻畫課程難度的靜態定量模型為：

（1）

表示課程難度，表示課程廣度，表示課程時間，表示課程深度。本文以必修課程函數為樣本，運用該模型來研究函數課程內容難度。

由于2003年版課程廣度、課程深度和課程時間的具體數據都沒有明確給出，為了便于計算，作出以下假設，在對該版三個因素進行量化時，均采用2003年版課程標準下的教材來代替。該教材能夠比較全面地反映2003年版課標。

2.1 考查課程廣度

課程廣度是指課程內容所涉及的范圍和領域的廣泛程度，可以用我們通常所說的“知識點”的多少進行量化。考慮到“解三角形” 、“數列”、“三角恒等變換”等都涉及到“函數”，所以，我們把這些都歸結為“函數”部分的課程內容。經統計，2000年版相應內容的知識點合計32個，取綜合的課程廣度系數為32，即=32；2003年版相應內容的知識點合計33個，取綜合的課程廣度系數為33，即=33；2017年版相應內容的知識點合計34個，取綜合的課程廣度系數為34，即=34。

由上可知，這三個版本函數內容的知識點數量在逐版增加，2017版課程標準相較于前兩版，函數知識點的范圍最廣。

2.2 考查課程時間

課程時間是指課程內容的完成所需要的時間，可以用我們通常所說的“課時”多少進行量化。

2000年版是“函數”30課時，“三角函數”是46課時，“數列”也歸為一種特殊的函數，是12課時，共計88課時。于是，T1=88。

2003版下的教科書的設置是“人教版”高中數學課程必修1中“集合與函數概念”、“基本初等函數（I）”、“函數的應用”是18課時，在必修4 中第一章“三角函數”、第三章“三角恒等變換”是36課時，必修5中第一章“解三角形”、第三章“數列”是36課時，共計90課時。類似地，在“北師大版”高中數學課程中，課程時間共計75課時。綜合兩個版本，取其平均值82.5. 于是，T2=82.5。

2017版中必修課程內容“主題二函數”有52課時，選擇性必修課程“主題一數列、函數”有30課時，共計82課時。于是，T3=82。

可以看到，這三個版本函數內容的課時數設置在逐次減少，2017版課程標準相較于前兩版，函數的課時數安排最少。

2.3 考查課程深度

課程深度是指課程內容的數學抽象度，還涉及到課程內容的推理與運算步驟。根據數學抽象分析法，[9]我們用抽象度deg來表達數學課程內容的綜合深度，可有如下分析：

（1）2000年相應課程內容的抽象度分析：

A：函數 B：三角函數C：同角三角函數D：三角恒等變換 E：斜三角形解法舉例。《函數》的deg=3.5從而，其相應的課程內容深度為3.5，即。

（2）2003年相應課程內容的抽象度分析：

A：函數 B：三角函數 C：三角函數的圖像和性質 D：三角函數模型的簡單應用 E：三角恒等變換。《函數》的deg=4。從而，其相應的課程內容深度為4，即=4。

（3）2017年相應課程內容的抽象度分析：

A：函數 B：三角函數 C：同等三角函數 D：三角恒變換 E：三角函數應用F：三角函數模型與數學建模。《函數》的deg=4.5。 從而，其相應的課程內容深度為4.5，即=4.5。

可以看到，這三個版本函數內容中課程抽象度在逐次增加，2017版課程標準相較于前兩版，函數的課程抽象度最深。

3 比較結果

（1）由以上數據可得，表1。

分別代入公式（1）可得：

其中，于是，，，。如果取，那么，，。結果表明，在這個模型下，2017年版函數最難。

（2）如果假定2017年版與2000年版和2003年版的課程難度是相同的，即，相應的課程廣度和課程時間不變，而且，仍取，那么，課程深度必滿足

于是得到，

如果取，那么，

這表明，此時如果2017年版下的“函數”的課程系數取5，那么，要控制課程難度不變，其課程深度就必須要比2000年版、2003年版都要淺，大約是2000年版的0.66，是2003年版的0.89。

換言之，2017年版函數部分的課程時間減少了，課程廣度稍微增加了，但由于增加了探究、建模等活動過程，課程要求增加了即課程深度系數增大了，這必然導致這部分內容的整體課程難度加大。

另一方面，在實際教學中，對于存在內容關聯或疊加、而要求又不盡相同的課程內容，由于教學的慣性使然，教師通常會保持相同的課程深度，也就導致了課程難度不能保持一致。因此，對于即將到來新課標下的教材，教師在教學過程中可注意要按照新課標實行教學。

*通訊作者：蘇淑華

基金項目：[1]江西省高等學校教學改革研究課題“基于SPOC的高校數學課程‘三環七步教學模式研究”（JXJG17612）；[2]撫州市社會科學規劃課題“以創新‘國培送教下鄉培訓模式推進撫州市縣域義務教育均衡發展的研究”（18SK027）

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部制訂.全日制普通高級中學數學教學大綱（修訂版）.北京：人民教育出版社，2000.

[2] 中華人民共和國教育部制訂.全日制普通高中數學新課程標準（實驗版）.北京：人民教育出版社，2003.

[3] 中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準.北京：人民教育出版社，2017.

[4] 史寧中，孔凡哲，李淑文.課程難度模型：我國義務教育幾何課程難度的對比.東北師大學報（哲學社會科學報），1001-6201（2005）06-0151-05.

[5] 魏鈺婷，梅全雄.兩套高中數學教材函數內容的比較研究.課程與教學論，2011.

[6] 胡曉婷，高中數學教材中三角函數內容的比較研究.首都師范大學，2011.

[7] 胡莉莉，中美初中數學教材函數內容難度的比較研究.教學，信息.2095-3089（2012）03-0081-02.

[8] 呂世虎，劉鵬飛.《標準》和《大綱》函數內容難度的比較研究.數學教育學報，1004-9894（2010）03-0063-04.

[9] 徐利治，鄭毓信.數學抽象方法與抽象分析法.南京：江蘇教育出版社，1990.