三角函數(shù)給式求值問題解題研究

胡碩

[摘? ?要]三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中有著不可或缺的地位，但三角函數(shù)公式之多、變換之多常常是困擾學(xué)生的難題.總結(jié)三角函數(shù)給式求值問題的解決思路，能幫助學(xué)生攻克三角函數(shù)的難關(guān).

[關(guān)鍵詞]三角函數(shù); 給式求值;轉(zhuǎn)化思想

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）17-0026-02

解決三角函數(shù)問題的方法有很多，尤其是給式求值問題.但學(xué)生的解題效率不盡相同.本文通過幾道例題的解決方法說明轉(zhuǎn)化思想的重要性.應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，可將復(fù)雜的給式求值問題轉(zhuǎn)化為熟悉的公式和方程組，使解題過程變得簡單，從而輕松求解.

一、真題實(shí)練

題設(shè)是結(jié)論的外露，結(jié)論是題設(shè)的歸宿.我們在解決任何數(shù)學(xué)問題時都不能忽略題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，三角函數(shù)問題也是如此.甚至有些題目將條件等式適當(dāng)?shù)刈儞Q就可以得到答案.因此，在條件和結(jié)論之間建立“通道”是解決給式求值問題的一種行之有效的方法.

二、舉一反三

上述例題是將所求表達(dá)式轉(zhuǎn)化為條件中的公式的運(yùn)算形式，然而還有另一類問題是直接或間接給出某一三角函數(shù)的值，求解復(fù)雜多樣的公式值.這類題往往條件看起來簡潔明了，但求解起來卻要焦頭爛額.從上面的方法我們自然而然會想到：能不能把復(fù)雜多樣的函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為同名函數(shù)來求解呢？事實(shí)告訴我們，這是行得通的.只要利用三角函數(shù)的性質(zhì)經(jīng)過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，問題就會變成如我們想象的那么容易，而這種轉(zhuǎn)化的最終目標(biāo)就是將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為同名函數(shù).

三、觸類旁通

既然轉(zhuǎn)化思想在給式求值問題中這么好用，那么我們可以將其轉(zhuǎn)化為熟悉的方程組或不等式問題.說到這兒，問題已經(jīng)上升一個層面了，能做到這一步的學(xué)生對自己的要求絕不僅僅是“做出來”，而是如何“做得快”.對于基礎(chǔ)知識扎實(shí)的學(xué)生來說，在三角函數(shù)的問題中，熟記一些常用的不等式往往在解題過程中會收到意想不到的收獲，可以使解題變得既簡單又快速.

四、綜合應(yīng)用

三角函數(shù)中“和積互化”是依賴“積化和差”與“和差化積”八個公式來實(shí)現(xiàn)的.近幾年來，無論是高考題還是各地的模擬題、競賽題，需要利用“和積互化”來解決的問題數(shù)不勝數(shù)，其中就有很多是給式求值類型的.下面，以一道給式求值問題為例分析一下“和積互化”的解題策略.

五、提煉升華

以上介紹了幾種三角函數(shù)給式求值問題的解題策略，都是從分析條件與結(jié)論的關(guān)系入手.但值得注意的是，這些解題思路同樣適用在三角函數(shù)的化簡、證明等問題中，學(xué)生可以借此進(jìn)行推廣，舉一反三.實(shí)質(zhì)上，不論哪一種方法，都是以已知、求證的式子中的角的關(guān)系作為切入點(diǎn)，分析它們之間的聯(lián)系，進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化并運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求解.因此，好的解題方法絕不只有這三種，我們平時在解題過程中要多注意對思想方法的積累并對它進(jìn)行靈活應(yīng)用，這才是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵所在.

（責(zé)任編輯? ?黃桂堅）