運用變式讓學生經歷知識生長過程

陳于青

學習的實質是學生從原有認知結構走向目標認知結構的過程，其間一定伴隨著知識的生長，具體到數學學科，“知識”應包含“數學學科性知識”和“特定的經驗系統”。變式教學作為我國數學基礎教育的一條重要經驗，顧泠沅教授做了系統而深入的研究，提出了概念性變式和過程性變式兩大基本策略，對加深知識數學化過程體驗、促進知識生長有極大的作用。本文結合北師大版四年級下冊“等量關系”的教學實踐，闡述變式教學的具體實施策略。

一、把握內涵本質，找準生長靶點

唯有立足更高的視角，把握數學知識、思想方法的內涵本質，才能把握教學的主線，有的放矢，避免教學時“劍走偏鋒”“舍本逐末”“事倍功半”。

1.厘清知識結構，明確目標

等量關系是方程的核心，史寧中教授認為，方程的本質是“在講兩個故事，這兩個故事在數量上相等”。北師大版教材為等量關系安排了獨立的課時進行學習，突出體現了等量關系作為核心知識的作用與價值。因此本節課的主要目標應該是認識“什么是等量關系”“如何找到并表達等量關系”。

教材中問題三：“他們還找到了這樣的等量關系，你能看懂嗎？”引導學生嘗試用不同的式子表示相同的等量關系，例如，a+b=c，也可以寫成c-b=a、c-a=b等形式。這個問題的設計筆者是存疑的，引導學生用不同的等式表示相同的等量關系，進行的是數量關系式之間的轉化，是算術思維，凸顯的是從已知量推導出未知量的思維方式。而本單元的學習內容是方程，方程思想的本質是建立等量關系，將未知量和已知量置于同等地位參與運算，用運算來解決數量關系轉化的思維難點，是方程思想和代數方法的最大價值所在，這也正是學生理解方程思想的關鍵所在。因此，筆者認為至少在本節課上不宜過多地讓學生進行等量關系式之間的轉化。

2.剖析學習經驗，明確路徑

學生對等量關系的無意識體驗是豐富的，從一年級的加減算式到簡單問題的解決，無一不在使用等量關系，只不過不知道“1+2=3”就是等量關系而已，因此等量關系的外顯形式對學生來說只是老朋友換一個名稱而已。然而對等量關系本質內涵理解多數是不到位的（等量關系是數量之間一種相等平衡的狀態和關系，實質是方程思想）。筆者也對五年級學生做過問卷調查：多數學生可以寫出簡單的等量關系，但是幾乎很少有學生能說明等量關系是怎么寫出來的。學生從數量關系的語言描述轉化為等量關系式缺少具體的方法。

因此，教學應直擊等量關系的本質內涵和學生學習的“痛點”，圍繞“什么是等量關系”和“如何找到并表示等量關系”兩個問題展開。認識等量關系首先應讓學生明白“=”是表示兩邊相等狀態的符號，打破原來認為“=”是“算式和答案”“已知數和未知數”的連接符的錯誤認知。筆者認為天平模型是破解“理解、找到、表示等量關系”難題的關鍵，而教材中只用了天平模型解決“什么是等量關系”的問題，在“如何表示等量關系”環節讓學生從數量關系語言描述直接到高度抽象的關系式表達，對很多學生來說是一道無法輕易跨越的鴻溝，而天平模型就是一座很好的橋梁。

二、概念性變式，理解生長要點

運用概念性變式，從多角度理解概念，可以加深對概念的理解。因此，在本節課的概念要點“什么是等量關系”，可以運用概念性變式促進理解。

1.直觀的變式，降低難度

等量關系的概念具有抽象性，理解有一定的難度，但學生有充分的“蹺蹺板”“天平”等感性經驗，建立蹺蹺板（感性經驗）和等量關系（抽象概念）、蹺蹺板平衡狀態（感性經驗）和等號（抽象概念）之間的聯系，大大降低了學生的理解難度。例如，蹺蹺板上的數學。

問題1：能說說蹺蹺板上動物重量的關系嗎？

生：1只鵝比2只鴨子重。

生：1只鵝比3只鴨子輕。

生：1只鵝與2只鴨和1只雞合起來一樣重。

問題2：如果用數學符號來表示這3個蹺蹺板上物體重量的狀態，你會用什么符號？

生：第一個用“>”，第二個用“<”，第三個

用“=”。

問題3：如果要把這3個狀態不同的蹺蹺板分成兩類，你會怎么分？

生：把第1個和第2個分為一類，第3個單獨為一類，因為第3個最特別，剛好兩邊一樣重。

師小結：今天我們就來研究學習這種兩邊剛好物體重量相等的狀態，也就是同類物體兩部分的量相等的關系，數學上稱為等量關系。

2.反例的變式，凸顯屬性

通過正例和反例的變式的對比，可以突出概念的本質屬性，明晰概念的外延，如在上例中，通過分類、對比重量“相等”和“不等”兩種狀態，凸顯等量關系的本質屬性——兩邊要一樣多。

三、過程性變式，連接生長斷點

從五年級學生的后測中反映出從語言文字、線段圖等數量關系的表達方式中找到等量關系并用等式表達之間，存在著一條多數學生難以逾越的鴻溝，是知識生長的斷點。運用過程性變式，設置合理的鋪墊，有層次地推進教學活動，讓學生經歷知識數學化的全過程，降低難度，加深理解。

1.層次一：重量天平模型

問題1：你能在這3幅圖中找到等量關系嗎？如果有，請用等式表示出來。

生：第一個天平圖中不是等量關系，第二個和第三個是等量關系，我是這樣表示的：100克+櫻桃克=蘋果克，2×雞蛋克=100克。

問題2：我們剛才是怎樣把天平上的等量關系克表示成等式的呢？

生：只要把平衡的天平左右兩邊的物體重量分別“抄”在等號的兩邊就行了。

2.層次二：數量天平模型

課件出示以下內容（見圖3）。

圖3

問題1：這個天平的等量關系能表示出來嗎？

生：可以，3×數學故事單價=15.6元

問題2：這個天平表示的好像不是重量？也沒問題嗎？

生：沒問題，它表示左右兩邊錢一樣多。

3.層次三：自構天平模型

請你再找一找，下面的兩條信息中有等量關系嗎？如果有，請你用等式表示出來。

（學生沉默，教師引導小組交流。）

生1：我認為沒有等量關系，男生人數和女生人數不一樣多，足球和籃球的價格也不同。 ?（部分學生點頭贊同。）

生2：我認為有等量關系，第一條實際就是男生人數是女生的3倍，所以“男生人數=女生人數×3”，第二條是“籃球的單價=足球單價+80元”。（多數學生附和表示同意。）

師：看來這兩條信息里還是有等量關系的，那為什么剛才很多同學沒有發現呢？

生：因為沒有天平。

師：對啊，如果有天平就容易多了，那我們能不能在腦中想象一個數學的天平，根據給我們的信息，創造一個平衡的天平呢？

小結：其實等式就是“數學的天平”，等量關系有時還可以自己構造。它除了可以放質量，還可以放長度、數、價格等，可能放的東西不同，但兩邊東西的量一樣多。

4.層次四：多元表征等式

“3×籃球的單價=5×足球的單價+60元”，你能看懂這個等式所表達的等量關系嗎？你能用其他方式表示出來嗎？

通過四個層次的變式鋪墊，有層次地推進教學活動，依托天平模型，連接知識生長的斷點、難點，讓學生在直觀、半直觀、半抽象、抽象中來回穿梭，深刻經歷知識生長的全過程，真正理解等量關系的內涵本質。

如果學習是一次有目的地的旅行，需要教師成為優秀的“司機”，抓好“方向盤”（把握目標方向）;成為優秀的 “導游”，引導多看“幾個面”（概念性變式，多角度理解）;成為優秀的“設計師”，設計好“路線”（過程性變式，有層次推進）。

（作者單位：浙江師范大學附屬義烏小學）

責任編輯：肖佳曉

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