在“鏈”“錯(cuò)”“比”的過(guò)程中積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

丁鳳良

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)之一是幫助學(xué)生“獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”[1]。將“雙基”變成了“四基”，不僅關(guān)注數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，也要關(guān)注基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

結(jié)合教學(xué)實(shí)踐和對(duì)文獻(xiàn)的分析，本研究認(rèn)為“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是小學(xué)生在參與數(shù)學(xué)基本活動(dòng)中，經(jīng)歷探究、思考、抽象、猜想、推理、反思等過(guò)程，所獲得的由數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、智慧、情感與觀念等組成的有機(jī)組合性經(jīng)驗(yàn)。其中，既包括認(rèn)知的經(jīng)驗(yàn)，動(dòng)作技能性經(jīng)驗(yàn)，也包括情感的經(jīng)驗(yàn)，意志、觀念等層面的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)遷移運(yùn)用到后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去。其核心是關(guān)于如何思考的經(jīng)驗(yàn)，其最終的目的在于幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直覺(jué)，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考。

本文將以“乘法還可以怎樣算”為例闡釋教師如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)以幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

一、經(jīng)驗(yàn)“鏈”中得，讓學(xué)生經(jīng)歷由“淺顯”逐步走向“深入”

為了在教學(xué)中幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)一定要有結(jié)構(gòu)、有條理。“乘法還可以怎樣算”的教學(xué)過(guò)程主要包括四個(gè)鏈條。

鏈條一：獨(dú)立完成，暴露原有經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)運(yùn)用豎式計(jì)算23×13，激活學(xué)生原有借助豎式計(jì)算乘法的經(jīng)驗(yàn)。在此過(guò)程中，尤其強(qiáng)調(diào)學(xué)生要明確算法、數(shù)位以及每一數(shù)位上數(shù)字表示的含義。

鏈條二：合作探究，碰撞生成經(jīng)驗(yàn)。安排學(xué)生先依據(jù)要求用畫線的方法嘗試獨(dú)立計(jì)算，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行交流分享。這樣有助于學(xué)生個(gè)人原有的“以形表數(shù)”經(jīng)驗(yàn)的激活，進(jìn)而通過(guò)交流分享激發(fā)學(xué)生生成“以形算數(shù)”的新經(jīng)驗(yàn)，以幫助學(xué)生深化對(duì)形與數(shù)關(guān)系的理解，還可以拓展學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)到乘法計(jì)算方法不僅局限于“豎式”一種。

鏈條三：引導(dǎo)提煉，提升再生經(jīng)驗(yàn)。教師通過(guò)引導(dǎo)、梳理和提煉，幫助學(xué)生將在原有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上生成的新經(jīng)驗(yàn)“結(jié)構(gòu)化”。具體到本環(huán)節(jié)來(lái)說(shuō)，就是深化“以形表數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)。首先幫助學(xué)生驗(yàn)證借助畫線計(jì)算乘法的可行性，然后幫助學(xué)生建立借助豎式計(jì)算乘法的老經(jīng)驗(yàn)與借助畫線計(jì)算乘法的新經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，接下來(lái)是深化學(xué)生對(duì)數(shù)位以及數(shù)字所代表含義的經(jīng)驗(yàn)。

鏈條四：解決問(wèn)題，拓展新的經(jīng)驗(yàn)。介紹“格子乘法”（鋪地錦）的方法，拓展學(xué)生計(jì)算乘法的方法經(jīng)驗(yàn)：各種方法不同，但其方法的本質(zhì)是相同的，簡(jiǎn)單概括就是數(shù)位對(duì)齊，相同數(shù)位相加。

實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累，是一系列有內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)累積的結(jié)果，前一次數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程和結(jié)果是后一次數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，后一次的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是前一次數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的鞏固和發(fā)展，也是前一次數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的演變和升華（見(jiàn)圖1）。我們應(yīng)當(dāng)注重讓學(xué)生親身經(jīng)歷觀察、描述、操作、猜想、實(shí)驗(yàn)、思考、推理、交流、應(yīng)用的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，在“經(jīng)歷、內(nèi)化、概括、遷移”的過(guò)程中喚醒、累積、反思、提升、運(yùn)用并重新創(chuàng)造經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生不斷積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，達(dá)成高層次的認(rèn)知目標(biāo)。

二、經(jīng)驗(yàn)“錯(cuò)”中得，讓學(xué)生經(jīng)歷由“錯(cuò)誤”逐步走向“正確”

運(yùn)用畫線的方法計(jì)算23×13既是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是本節(jié)課的難點(diǎn)。值得關(guān)注的是，學(xué)生對(duì)于運(yùn)用豎式計(jì)算乘法已經(jīng)有了熟練而且根深蒂固的經(jīng)驗(yàn)，如何引導(dǎo)學(xué)生跳出原有經(jīng)驗(yàn)，換個(gè)思路來(lái)計(jì)算乘法是非常困難的。但讓學(xué)生主動(dòng)挑戰(zhàn)自己、突破思維局限又是非常有價(jià)值的。為此，我在教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候，采用了提出活動(dòng)建議并順著學(xué)生的思路逐漸生長(zhǎng)的策略。

學(xué)生每四人形成一個(gè)小組進(jìn)行合作研究，先獨(dú)立思考，再以小組為單位進(jìn)行討論交流;用線表示數(shù)，借助線和線的交叉點(diǎn)表示兩個(gè)數(shù)相乘的結(jié)果，嘗試計(jì)算23×13;如果不能直接計(jì)算出23×13，可以從比較小的數(shù)開(kāi)始嘗試。

在借助畫線方法來(lái)計(jì)算23×13的過(guò)程中，學(xué)生出現(xiàn)了如下幾種典型情況：

1.將乘號(hào)進(jìn)一步放大，既有用線表示數(shù)，也有用線的交叉表示相乘（見(jiàn)圖2），但總體比較牽強(qiáng)。因此，也反映出學(xué)生沒(méi)有讀懂并理解活動(dòng)建議。

2.23用23條橫線來(lái)表示，13用13條豎線來(lái)表示，它們的交叉點(diǎn)一共有299個(gè)，因此，23×13的結(jié)果就是299（見(jiàn)圖3）。完全符合用線表示數(shù)，用線與線的交點(diǎn)表示相乘的結(jié)果。此種方法反映出學(xué)生不僅讀懂并理解了活動(dòng)建議，同時(shí)也反映出學(xué)生對(duì)于23×13這個(gè)算式的含義有著深刻的理解。我把它概括為直覺(jué)層面的敏感，我也為學(xué)生的建構(gòu)和聯(lián)系能力驚嘆。當(dāng)然，此種方法弊端也很明顯。如果數(shù)非常大的時(shí)候，就要畫很多線，這種方法就太麻煩了！

3.23不用23條線來(lái)表示，而是分開(kāi)表示，一條線表示一個(gè)十，兩條線表示兩個(gè)十;一條線表示一個(gè)一，三條線表示個(gè)三一。用紅色表示23，用藍(lán)色表示13（見(jiàn)圖4、圖5）。

4.23不用23條線來(lái)表示，而是分開(kāi)表示，一條線表示一個(gè)十，兩條線表示兩個(gè)十;一條線表示一個(gè)一，三條線表示三個(gè)一。而且，用紅色來(lái)表示十位，用藍(lán)色表示個(gè)位（見(jiàn)圖6）。

縱觀以上探究過(guò)程，如果從正確與否的角度來(lái)說(shuō)，很顯然第三、第四種方法才是教師最期待的。但是，仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，如果沒(méi)有第一和第二種方法的啟發(fā)和提示，學(xué)生很難立即想到后兩種方法。因此，也恰恰體現(xiàn)出前兩種方法的價(jià)值和意義。如果學(xué)生不經(jīng)歷嘗試、錯(cuò)誤、修正的過(guò)程，其經(jīng)驗(yàn)也不會(huì)穩(wěn)固。正所謂經(jīng)驗(yàn)歷中生，經(jīng)驗(yàn)錯(cuò)中得，無(wú)錯(cuò)不經(jīng)驗(yàn)，化錯(cuò)累經(jīng)驗(yàn)。這樣，課堂教學(xué)中的差錯(cuò)就轉(zhuǎn)化為教學(xué)資源，再相機(jī)將其融入后續(xù)的教學(xué)過(guò)程中，就能將教學(xué)活動(dòng)引向?qū)W生心靈深處，變“事故”為“故事”。

三、經(jīng)驗(yàn)“比”中得，讓學(xué)生經(jīng)歷由“單一”逐步走向“多元”

在學(xué)生匯報(bào)的基礎(chǔ)上，教師幫助學(xué)生建立運(yùn)用豎式計(jì)算乘法和借助畫線計(jì)算乘法之間的聯(lián)系（見(jiàn)圖7、圖8）。

數(shù)字3×數(shù)字3：左側(cè)豎式中，23的個(gè)位數(shù)字3與13的個(gè)位數(shù)字3相乘得出數(shù)字9;右側(cè)畫線方法中，表示23中個(gè)位數(shù)字3的三條線與表示13中個(gè)位數(shù)字3的三條線相交叉出現(xiàn)9個(gè)點(diǎn);數(shù)字9和9個(gè)點(diǎn)均可以表示3個(gè)1和3個(gè)1相乘的結(jié)果是9個(gè)1，而且結(jié)果一致。

數(shù)字2×數(shù)字3：左側(cè)豎式中，23的十位數(shù)字2與13的個(gè)位數(shù)字3相乘得出數(shù)字6;右側(cè)畫線方法中，表示23中十位數(shù)字2的兩條線與表示13中個(gè)位數(shù)字3的三條線相交叉出現(xiàn)6個(gè)點(diǎn);數(shù)字6和6個(gè)點(diǎn)均可以表示2個(gè)10與1個(gè)3相乘的結(jié)果是6個(gè)10，而且結(jié)果一致。

數(shù)字3×數(shù)字1：左側(cè)豎式中，23的個(gè)位數(shù)字3與13的十位數(shù)字1相乘得出數(shù)字3;右側(cè)畫線方法中，表示23中個(gè)位數(shù)字3的三條線與表示13中十位數(shù)字1的一條線相交叉出現(xiàn)3個(gè)點(diǎn);數(shù)字3和3個(gè)點(diǎn)均可以表示3個(gè)1與1個(gè)10相乘的結(jié)果是3個(gè)10，而且結(jié)果一致。

數(shù)字2×數(shù)字1：左側(cè)豎式中，23的十位數(shù)字2與13的十位數(shù)字1相乘得出數(shù)字2;右側(cè)畫線方法中，表示23中十位數(shù)字2的兩條線與表示13中十位數(shù)字1的一條線相交叉出現(xiàn)2個(gè)點(diǎn);數(shù)字2和2個(gè)點(diǎn)均可以表示2個(gè)10與1個(gè)10相乘的結(jié)果是2個(gè)100，而且結(jié)果一致。

在以上兩種方法對(duì)比的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步介紹我國(guó)古代“鋪地錦”的方法（見(jiàn)圖9），并對(duì)這三種方法進(jìn)行對(duì)比，建立三種方法之間的聯(lián)系，最終明確三種方法只是形式不同，但計(jì)算的道理本質(zhì)上是一致的。為了幫助學(xué)生更好理解，還可以旋轉(zhuǎn)“鋪地錦”（見(jiàn)圖10）。

在“比”的過(guò)程中，學(xué)生建立和打通了以上三種方法的聯(lián)系，深化了對(duì)于計(jì)算方法背后算理的理解，同時(shí)也深切感受到我國(guó)傳統(tǒng)的乘法計(jì)算方法的簡(jiǎn)潔、精要。

就經(jīng)歷的過(guò)程而言，教師基于學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷的“數(shù)學(xué)化”過(guò)程，也是學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)“生長(zhǎng)”的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程可以讓模糊的變得清晰起來(lái)，讓片面的變得完善起來(lái)，讓錯(cuò)誤的變得正確起來(lái)，讓零散的變得結(jié)構(gòu)化起來(lái)。就獲取經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程來(lái)講，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累需要教師設(shè)計(jì)有助于學(xué)生嘗試體驗(yàn)和發(fā)展思維的數(shù)學(xué)活動(dòng)。在此基礎(chǔ)上，衡量一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)是否有助于學(xué)生數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn)的獲得，要看最終的教學(xué)效果是否有助于學(xué)生的思維發(fā)展。

綜上所述，學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，原有知識(shí)、法則、聯(lián)系與新的基本概念、原理、方法等教學(xué)內(nèi)容相互作用而產(chǎn)生和發(fā)展的。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：8.

本文系北京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2017年度一般課題“小學(xué)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累與評(píng)價(jià)的案例研究”（CDDB17209）的成果。

（作者系北京市海淀區(qū)雙榆樹(shù)第一小學(xué)校長(zhǎng)）

責(zé)任編輯：孫昕

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