基于二元Weibull分布的非下采樣Shearlet域圖像水印算法

牛盼盼 王向陽(yáng) 楊思宇 文濤濤 楊紅穎

1(遼寧師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院 遼寧大連 116029)2(大連理工大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)部 遼寧大連 116023)

作為圖像作品版權(quán)保護(hù)的有效手段，數(shù)字水印技術(shù)已成為國(guó)際學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn)之一.不可感知性、魯棒性、水印容量是衡量一個(gè)圖像水印算法優(yōu)劣的最重要指標(biāo)[1]，而這3方面卻又存在著固有的相互矛盾關(guān)系，三者之間的最佳平衡也成為圖像水印算法所共同追求的目標(biāo).可有效保持不可感知性、魯棒性、水印容量之間良好平衡的高性能數(shù)字圖像水印算法研究是一項(xiàng)富有挑戰(zhàn)性的工作[2].

數(shù)字圖像水印技術(shù)發(fā)展到今天，已有大量不同的圖像水印算法.而依據(jù)水印嵌入方式，人們習(xí)慣將數(shù)字圖像水印算法劃分為3類(lèi)，即加性水印、乘性水印、量化水印[3-6].相比之下，乘性嵌入方式在保證含水印圖像質(zhì)量在可接受水平內(nèi)，能夠接受更大的水印嵌入強(qiáng)度和水印容量，即：乘性嵌入方法在保證不可感知性的同時(shí)，能夠使得水印的嵌入強(qiáng)度隨著載體信號(hào)強(qiáng)度成一定比例變化，讓人更不容易察覺(jué)，獲得更高的魯棒性和更大的水印容量，從而最接近于三者之間的良好平衡.一般說(shuō)來(lái)，為全面提高圖像水印的不可感知性、魯棒性和水印容量，應(yīng)該充分結(jié)合人眼視覺(jué)掩蔽特性與圖像自身統(tǒng)計(jì)特性而進(jìn)行數(shù)字水印信息的嵌入與檢測(cè).基于統(tǒng)計(jì)模型的變換域乘性水印較好地體現(xiàn)了上述思想，為有效解決不可感知性、魯棒性、水印容量之間良好平衡問(wèn)題提供了可能的解決方向[7].基于統(tǒng)計(jì)模型的變換域乘性水印工作原理為[7]：在水印嵌入環(huán)節(jié)，利用簡(jiǎn)單的乘性策略調(diào)制原始載體圖像信號(hào)，以保證水印嵌入強(qiáng)度與載體圖像信號(hào)強(qiáng)度成一定比例變化，讓人更不容易察覺(jué)，從而最大程度地平衡魯棒性和不可感知性；在水印檢測(cè)環(huán)節(jié)，結(jié)合能夠充分體現(xiàn)圖像自身特性的多尺度變換特性(多分辨率性、能量聚集性等)，有效利用變換系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性而構(gòu)造數(shù)字水印檢測(cè)器，以檢測(cè)和提取數(shù)字水印信息.其中，基于統(tǒng)計(jì)模型的水印檢測(cè)器構(gòu)造是整個(gè)變換域乘性圖像水印方案的核心.

截止到目前，人們主要采用2類(lèi)統(tǒng)計(jì)模型設(shè)計(jì)變換域乘性圖像水印方案，分別為多尺度聯(lián)合統(tǒng)計(jì)模型[8](multiscale joint statistical model)和多尺度邊緣分布模型[9](multiscale marginal distribution model).

多尺度聯(lián)合統(tǒng)計(jì)模型也稱(chēng)多尺度統(tǒng)計(jì)相關(guān)模型，其著重考察多尺度變換系數(shù)之間的相互關(guān)系，利用基于多尺度變換的各種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，如隱Markov模型(hidden Markov models, HMM)描述并確定多尺度變換系數(shù)的隱含狀態(tài)(隱含未知參數(shù))，進(jìn)而通過(guò)隱含狀態(tài)聯(lián)系建立多尺度變換系數(shù)關(guān)聯(lián)，并進(jìn)一步利用隱含未知參數(shù)來(lái)分析處理圖像(如圖像水印檢測(cè)器構(gòu)造).Wang等人[10]提出了基于小波域先驗(yàn)HMM模型參數(shù)的數(shù)字圖像水印算法.該算法首先對(duì)原始載體圖像進(jìn)行3級(jí)小波分解并利用高頻子帶構(gòu)造系數(shù)向量樹(shù)，然后結(jié)合小波Watson視覺(jué)失真測(cè)度與先驗(yàn)HMM模型參數(shù)自適應(yīng)確定水印嵌入強(qiáng)度，進(jìn)而將水印信息嵌入到小波系數(shù)向量樹(shù)中.在水印檢測(cè)階段，該算法結(jié)合泰勒級(jí)數(shù)近似局部最優(yōu)檢驗(yàn)理論，利用先驗(yàn)HMM模型參數(shù)構(gòu)造了數(shù)字水印檢測(cè)器.Amini等人[11]結(jié)合小波域向量HMM聯(lián)合統(tǒng)計(jì)建模理論，提出了一種局部最優(yōu)盲圖像水印檢測(cè)算法.該算法選取具有最大系數(shù)方差的高頻子帶作為水印嵌入?yún)^(qū)，并采用線性乘性方法嵌入水印信息.在水印提取階段，算法首先利用向量HMM對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行了多尺度聯(lián)合統(tǒng)計(jì)建模，然后結(jié)合對(duì)數(shù)似然比檢驗(yàn)理論構(gòu)造了數(shù)字圖像水印檢測(cè)器.總體說(shuō)來(lái)，現(xiàn)有多尺度聯(lián)合統(tǒng)計(jì)模型普遍采用高斯混合模型(Gaussian mixture model, GMM)描述變換系數(shù)的邊緣分布，并利用隱Markov樹(shù)捕捉變換系數(shù)間的相關(guān)特性.然而仿真實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)具有明顯高尖峰重拖尾分布的變換系數(shù)而言，高斯混合模型難以精確描述其非高斯分布特性.也就是說(shuō)，現(xiàn)有基于GMM的多尺度聯(lián)合統(tǒng)計(jì)模型尚無(wú)法高效捕獲變換系數(shù)的邊緣分布與變換系數(shù)間的相關(guān)特性，而這必然嚴(yán)重影響圖像水印的檢測(cè)性能.

多尺度邊緣分布模型也稱(chēng)多尺度隨機(jī)過(guò)程模型，其是將各多尺度變換系數(shù)看作是一個(gè)隨機(jī)變量，進(jìn)而考察各單個(gè)多尺度變換系數(shù)的邊緣分布特點(diǎn)，即利用各種概率密度函數(shù)(probability density function, PDF)反映單個(gè)多尺度變換系數(shù)分布，描述多尺度變換系數(shù)統(tǒng)計(jì)特性，并進(jìn)一步利用概率密度函數(shù)參數(shù)分析處理圖像(如圖像水印檢測(cè)器構(gòu)造).Akhaee等人[12]選擇將水印信息嵌入到Contourlet域高頻子帶內(nèi)，同時(shí)利用廣義高斯分布(generalized Gaussian distribution, GGD)對(duì)Contourlet域高頻系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模，并進(jìn)一步結(jié)合極大似然方法估計(jì)GGD參數(shù)并構(gòu)造數(shù)字水印檢測(cè)器.然而，該算法估計(jì)GGD模型參數(shù)時(shí)需要原始載體信號(hào)，故不利于實(shí)際應(yīng)用.Bian等人[13]利用貝塞爾K(Bessel K form, BKF)概率密度函數(shù)對(duì)圖像小波系數(shù)進(jìn)行邊緣分布建模，并根據(jù)極大似然理論構(gòu)造了局部最優(yōu)水印檢測(cè)器.同時(shí)，結(jié)合“漸進(jìn)相對(duì)效率”和“最大漸進(jìn)相對(duì)效率”等客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)證明了該檢測(cè)器的有效性.然而，該局部最優(yōu)水印檢測(cè)器的抗攻擊能力較弱.Etemad等人[14]首先依據(jù)Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)理論，證明t location-scale概率密度函數(shù)可高效描述Contourlet系數(shù)的邊緣分布特點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合似然比檢驗(yàn)與t location-scale分布理論，構(gòu)造了最優(yōu)乘性數(shù)字水印檢測(cè)器.Sadreazami等人[15]利用正態(tài)逆高斯(normal inverse Gaussian, NIG)分布刻畫(huà)圖像Contourlet域系數(shù)統(tǒng)計(jì)特性，并使用局部窗口自適應(yīng)估計(jì)每個(gè)子帶的NIG模型參數(shù)，同時(shí)結(jié)合Bayesian最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則構(gòu)造了水印檢測(cè)器.但NIG分布無(wú)封閉形式解，且參數(shù)估計(jì)較復(fù)雜.Wang等人[16]結(jié)合非下采樣剪切波變換與BKF統(tǒng)計(jì)建模理論，首先通過(guò)乘性方法將水印信息嵌入到非下采樣剪切波變換重要系數(shù)中；然后，利用BKF邊緣分布對(duì)非下采樣剪切波變換域系數(shù)進(jìn)行建模，并結(jié)合子帶內(nèi)系數(shù)相關(guān)性估計(jì)出BKF模型參數(shù)；最后，結(jié)合BKF統(tǒng)計(jì)模型與局部最大勢(shì)能檢驗(yàn)理論構(gòu)造出局部最優(yōu)檢測(cè)器并進(jìn)行水印提取.張悅等人[17]提出了一種基于共軛對(duì)稱(chēng)列率復(fù)數(shù)哈達(dá)碼變換(conju-gate symmetric sequency-ordered complex Hadamard transform, CS-SCHT)的數(shù)字圖像水印算法.該算法首先選擇CS-SCHT系數(shù)幅值作為載體并進(jìn)行乘性水印嵌入，然后結(jié)合實(shí)驗(yàn)對(duì)CS-SCHT系數(shù)幅值分布進(jìn)行分析并確定出其近似分布——韋伯(Weibull)分布，最后設(shè)計(jì)出基于Weibull分布的乘性水印局部最優(yōu)檢測(cè)器.Dong等人[18]提出了一種基于Weibull邊緣分布的DCT域圖像水印算法.該算法利用Weibull分布對(duì)DCT直流系數(shù)和交流系數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)建模，并結(jié)合極大似然方法構(gòu)造出了數(shù)字水印檢測(cè)器.由于上述多尺度邊緣分布模型圖像水印僅僅結(jié)合各種概率密度函數(shù)，考察了各單個(gè)多尺度變換系數(shù)的邊緣分布特點(diǎn)，而忽略了多尺度變換系數(shù)間的重要相關(guān)特性(如尺度間相關(guān)性)，故數(shù)字水印檢測(cè)性能并不理想.盡管Sadreazami等人[19-20]嘗試引入了二元α-穩(wěn)定分布、二元Cauchy分布等多元Cauchy統(tǒng)計(jì)建模理論，通過(guò)初步考慮變換系數(shù)尺度間相關(guān)性，一定程度上提升了多尺度邊緣分布模型的建模能力，但數(shù)字水印的檢測(cè)性能并未得到明顯改善.

本文以非下采樣Shearlet變換(nonsubsampled Shearlet transform, NSST)與二元Weibull分布理論為基礎(chǔ)，提出了一種基于二元Weibull統(tǒng)計(jì)建模的非下采樣Shearlet域數(shù)字圖像水印算法.由于非下采樣Shearlet變換擁有魯棒而接近最優(yōu)的圖像幾何結(jié)構(gòu)特征捕獲能力，同時(shí)二元Weibull分布可精確描述NSST域圖像信號(hào)的邊緣分布與相關(guān)特性，故利用二元Weibull邊緣分布對(duì)NSST域高熵塊奇異值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模并估計(jì)出其模型參數(shù)，同時(shí)利用最大似然決策構(gòu)造出二元數(shù)字水印檢測(cè)器并盲提取水印信息，可獲得較好的水印檢測(cè)性能.

1 多元Weibull分布的NSST域統(tǒng)計(jì)建模

1.1 NSST系數(shù)統(tǒng)計(jì)特性分析

2008年Easley等人[21]提出了接近最優(yōu)(即“最稀疏”)圖像表示方法——剪切波(Shearlet)變換理論，其不僅可以魯棒捕獲圖像幾何結(jié)構(gòu)特征，更具有方向敏感、重構(gòu)準(zhǔn)確、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、表示稀疏等諸多優(yōu)良特性.NSST是Shearlet變換的拓展表示形式[22]，其消除了采樣步驟，將非下采樣拉普拉斯金字塔(nonsubsampled Laplacian pyramid, NSLP)變換與一系列剪切濾波器進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)迭代操作實(shí)現(xiàn).

NSST繼承了Shearlet變換優(yōu)點(diǎn)，不僅有效解決了Shearlet變換所存在的“混沌”現(xiàn)象，使同一方向信息不會(huì)在不同方向子帶中重復(fù)出現(xiàn)，而且為二維圖像提供了最優(yōu)的漸近表示，對(duì)圖像重要特征具有極強(qiáng)的捕獲能力.圖1給出了標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像Barbara的2級(jí)NSST示意圖.這里，尺度2和尺度1均采用了4個(gè)分解方向.

Fig. 1 The NSST on Barbara image圖1 標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像Barbara的非下采樣Shearlet變換結(jié)構(gòu)示意圖

Fig. 2 Histogram of NSST subbands (Barbara)圖2 標(biāo)準(zhǔn)圖像Barbara的部分NSST域高頻子帶系數(shù)分布直方圖

為全面客觀了解NSST系數(shù)統(tǒng)計(jì)特性，圖2給出了標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像Barbara的部分NSST域高頻子帶系數(shù)分布直方圖.從圖2中可以看出，絕大多數(shù)NSST高頻子帶系數(shù)接近于0，只有少量NSST高頻子帶系數(shù)幅值較大，即體現(xiàn)了明顯的高尖峰重拖尾分布特點(diǎn).同時(shí)，4個(gè)NSST域高頻子帶的系數(shù)峰度值分別為23.754 4，22.901 7，22.931 0，12.126 7，遠(yuǎn)大于標(biāo)準(zhǔn)高斯分布的峰度值3，其表明NSST域高頻子帶系數(shù)分布呈現(xiàn)出了明顯的非高斯性.

近年來(lái)，研究者普遍關(guān)注并利用了變換域系數(shù)的高尖峰重拖尾非高斯性，但不同程度忽略了變換系數(shù)之間的強(qiáng)依賴(lài)性(多種相關(guān)性).事實(shí)上，同一子帶內(nèi)的系數(shù)相關(guān)性、不同方向間的系數(shù)相關(guān)性及不同尺度間的系數(shù)相關(guān)性是NSST域高頻子帶客觀存在的3種重要相關(guān)性.這里，我們采用chi-plot工具[23]分析了NSST域高頻子帶的系數(shù)相關(guān)特性(包括子帶內(nèi)、方向間、尺度間相關(guān)性).chi-plot是Scatterplot的擴(kuò)展，它能更好地并且以可視化方式評(píng)估二維變量之間的相關(guān)程度.在chi-plot中，n對(duì)點(diǎn)(Xi,Yi)被變換成n對(duì)(λn i,χn i)(i=1,2,…,n).χn i表示在采樣點(diǎn)(Xi,Yi)處二維分布函數(shù)能被分解為2個(gè)邊緣分布的失敗情況.λn i表示(Xi,Yi)到二維中值的距離，如果X和Y相關(guān)，則λn i的值往往比較集中.chi-plot圖在二維坐標(biāo)中的范圍是[-1,1]×[-1,1].(λn i,χn i)偏離水平線χ=0的程度反映了X和Y變量的相關(guān)程度.圖3給出了NSST域高頻子帶的子帶內(nèi)、方向間、尺度間chi-plot圖.

Fig. 3 chi-plots to illustrate the different degrees of dependence between intraband, interorientation and interscale, NSST coefficient pairs圖3 NSST域高頻子帶系數(shù)的子帶內(nèi)、方向間、尺度間chi-plot圖

Fig. 4 The empirical joint child-parent histogram and the PDF of different bivariate distributions圖4 父子系數(shù)聯(lián)合分布直方圖及不同二元分布的聯(lián)合概率分布擬合圖

從圖3可以看出，3幅chi-plot圖中的大多數(shù)點(diǎn)比較集中且較大地偏離水平線χ=0，其說(shuō)明同一子帶內(nèi)、不同方向間、不同尺度間的NSST域高頻子帶系數(shù)均存在明顯的相關(guān)特性.需要指出的是，計(jì)算χn i值時(shí)會(huì)因?yàn)椴蓸拥牟环€(wěn)定性而產(chǎn)生偏差，在chi-plot圖中用灰色部分予以表示.

1.2 基于二元Weibull分布的NSST域統(tǒng)計(jì)建模

為充分利用NSST域的尺度間相關(guān)性，本文利用二元Weibull分布對(duì)NSST域尺度間父子系數(shù)進(jìn)行建模，二元Weibull分布的PDF具體表示參見(jiàn)附錄A.圖4(b)給出了二元Weibull的父子聯(lián)合概率分布P(X1,X2)擬合圖.為了能夠說(shuō)明二元Weibull統(tǒng)計(jì)模型的精確性，這里又利用二元Cauchy分布、二元BKF分布、二元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對(duì)NSST域尺度間父子系數(shù)進(jìn)行了建模，如圖4(c)(d)(e)所示.

圖4(a)給出了NSST域尺度間父子系數(shù)聯(lián)合分布直方圖.不難看出，相比其他二元分布，利用二元Weibull分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模，可以更加精確地?cái)M合出NSST域尺度間父子系數(shù)的分布.

為進(jìn)一步比較4種二元統(tǒng)計(jì)模型的擬合精度，本文選擇KL距離(Kullback-Leibler divergence)來(lái)評(píng)判各種分布模型對(duì)NSST系數(shù)建模的擬合效果，KL距離計(jì)算:

(1)

其中，Pi表示聯(lián)合分布直方圖的bin值，Qi表示在每個(gè)bin中由二元分布PDF求出的概率值.在計(jì)算中，要先將Pi和Qi進(jìn)行歸一化處理.以標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像Lena，Barbara，Mandrill為例，首先獲得NSST域第1尺度4個(gè)方向和第2尺度4個(gè)方向的高頻子帶父子系數(shù)，然后利用不同二元分布對(duì)每組父子系數(shù)進(jìn)行建模，并計(jì)算出每種模型的平均KL距離，表1給出了測(cè)試結(jié)果.

Table 1 The KL Performance Comparisons of four Different Bivariate Distributions表1 4種二元分布模型的KL測(cè)試結(jié)果對(duì)比

Note: The black bold font provides a better performance than other commonly used distributions.

從表1可以看出，相比其他3種二元分布，二元Weibull分布可以更好地對(duì)圖像NSST域尺度間父子系數(shù)相關(guān)性進(jìn)行建模，因此本文利用二元Weibull統(tǒng)計(jì)模型構(gòu)造水印檢測(cè)器.

2 數(shù)字水印嵌入

本文結(jié)合人眼視覺(jué)感知特性選取非線性嵌入強(qiáng)度函數(shù)，采用乘性策略將水印信息嵌入到魯棒的NSST域高頻系數(shù)塊奇異值內(nèi).假設(shè)I={f(x,y),0≤x

1) 原始載體的非下采樣Shearlet變換

首先對(duì)原始載體圖像進(jìn)行2級(jí)非下采樣Shearlet變換，以獲得1個(gè)低頻子帶及第1尺度4個(gè)方向、第2尺度4個(gè)方向的高頻子帶.選取第1尺度和第2尺度中具有最高能量的方向子帶(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“重要子帶”)用于水印嵌入，子帶能量的計(jì)算方法:

(2)

其中，Dk,j表示位于第k尺度、第j個(gè)方向的子帶.

2) 重要Shearlet系數(shù)塊選取及其奇異值分解

首先，將所選取出的“重要子帶”劃分成不重疊的Shearlet系數(shù)塊(每塊大小為L(zhǎng)×L)，并計(jì)算出每個(gè)Shearlet系數(shù)塊的熵值.然后，根據(jù)熵值，對(duì)第1與第2尺度“重要子帶”的Shearlet系數(shù)塊進(jìn)行各自排序處理，進(jìn)而分別選取前N個(gè)高熵Shearlet系數(shù)塊(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“重要Shearlet系數(shù)塊”)用于嵌入水印.由于高熵系數(shù)塊集中了大量信息，人眼對(duì)其不敏感，故將水印信息嵌入到高熵Shearlet系數(shù)塊中，可以增強(qiáng)水印不可感知性.最后，對(duì)所選取的N個(gè)重要Shearlet系數(shù)塊分別進(jìn)行奇異值分解(singular value decomposition, SVD)，并選取每個(gè)重要Shearlet系數(shù)塊的第2個(gè)奇異值作為水印嵌入位置.由于奇異值的穩(wěn)定性較好，故通過(guò)對(duì)奇異值的微小改變來(lái)嵌入水印信息，可以提高數(shù)字水印的不可感知性及魯棒性.

3) 數(shù)字水印嵌入

現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)模型圖像水印方案普遍采用線性單調(diào)函數(shù)刻畫(huà)水印嵌入強(qiáng)度，并用于自適應(yīng)調(diào)節(jié)載體信號(hào)[11,13-15,18-19].然而，水印嵌入強(qiáng)度增量與載體信號(hào)改變量間并非具有簡(jiǎn)單的線性單調(diào)關(guān)系，而是呈現(xiàn)出明顯的非線性單調(diào)關(guān)系.為此，本文以刻畫(huà)能力更強(qiáng)的非線性單調(diào)函數(shù)為基礎(chǔ)，構(gòu)造了自適應(yīng)高階水印嵌入強(qiáng)度(函數(shù))，并進(jìn)一步給出了自適應(yīng)圖像內(nèi)容的高性能乘性水印嵌入方法.

(3)

(4)

這里，a1=100,b1=1.2,a2=150,b2=1.5.圖5給出了水印位為“1”和“0”時(shí)的嵌入強(qiáng)度函數(shù).

Fig. 5 Two watermark strength functions for embeddingdigital watermark of “1” or “0”圖5 數(shù)字水印位為“1”和“0”時(shí)的嵌入強(qiáng)度函數(shù)

與現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)模型水印方案普遍采用線性水印嵌入強(qiáng)度不同，本文采用刻畫(huà)能力更強(qiáng)的非線性單調(diào)函數(shù)——反三角函數(shù)，構(gòu)造了自適應(yīng)水印嵌入強(qiáng)度函數(shù).從圖5可以看出，本文所選取的非線性單調(diào)函數(shù)具有使嵌入強(qiáng)度增量與載體信號(hào)改變量保持非線性關(guān)系的性質(zhì)，即：當(dāng)嵌入強(qiáng)度增加時(shí)，使得值大的重要Shearlet系數(shù)塊奇異值發(fā)生大的改變，而值小的重要Shearlet系數(shù)塊奇異值發(fā)生小的改變，反之亦然.

重復(fù)步驟3)，直到所有重要Shearlet系數(shù)塊處理完畢為止.最后，對(duì)每個(gè)含水印奇異值進(jìn)行逆奇異值分解即可得到含水印重要Shearlet系數(shù)塊，進(jìn)一步對(duì)含水印Shearlet域重要子帶與其他子帶一起進(jìn)行逆非下采樣Shearlet變換，即可得到含水印圖像.

3 數(shù)字水印檢測(cè)

3.1 二元水印檢測(cè)器構(gòu)造

(5)

其中，f表示2種水印嵌入強(qiáng)度函數(shù).由于重要Shearlet系數(shù)塊奇異值與噪聲項(xiàng)是相互獨(dú)立的，因此可獲得含噪聲重要Shearlet系數(shù)塊奇異值的概率密度函數(shù)公式：

(6)

為簡(jiǎn)化式(6)，本文利用three-sigma準(zhǔn)則估計(jì)高斯分布的概率密度函數(shù)fn(τ)：

(7)

由式(7)可見(jiàn)，存在2個(gè)非0的閉合區(qū)間：[-3σn,0]和[0,3σn]，因此式(6)可表示成式(7)的形式：

(8)

根據(jù)Simpson’s rule，將式(7)帶入式(8)中，化簡(jiǎn)后可以得到：

(9)

其中，fBWD表示二元Weibull分布概率密度函數(shù)[24].

本文中，假設(shè)二值水印序列與重要Shearlet系數(shù)塊奇異值均為服從獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，于是有重要Shearlet系數(shù)塊奇異值所組成的y11,y12,…,y1N(來(lái)自第1尺度重要子帶)和y21,y22,…,y2N(來(lái)自第2尺度重要子帶)，在嵌入水印位為“1”和嵌入水印位為“0”兩種假設(shè)下的檢測(cè)概率.

(10)

(11)

其中，yi=[y1i,y2i],i=1,2,…,N,fBWD(yi|1)和fBWD(yi|0)分別是在使用嵌入強(qiáng)度函數(shù)的情況下被計(jì)算出來(lái)的：

(12)

(13)

其中，g1(·)和g0(·)分別代表嵌入強(qiáng)度函數(shù)f1(xi)和f0(xi)的反函數(shù)，ρ表示y1i和y2i之間的相關(guān)系數(shù)(i=1,2,…,N),C1和k1表示y1i的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)；C2和k2表示y2i的形狀參數(shù)和尺度參數(shù).這里我們采用最大似然方法對(duì)4個(gè)參數(shù)C1,k1,C2,k2進(jìn)行估計(jì)，并進(jìn)一步可通過(guò)最大似然決策規(guī)則獲得最優(yōu)水印檢測(cè)器.

(14)

代入式(10)和式(11)，經(jīng)過(guò)代數(shù)操作后，Zi(y)可以表示為

(15)

(16)

3.2 數(shù)字水印提取

首先對(duì)含水印圖像進(jìn)行2級(jí)非下采樣Shearlet變換，并按照第2節(jié)步驟1)和步驟2)方法確定出“重要Shearlet系數(shù)塊”，同時(shí)對(duì)其進(jìn)行奇異值分解.然后，利用3.1節(jié)所構(gòu)造的數(shù)字水印檢測(cè)器，從每個(gè)重要Shearlet系數(shù)塊奇異值所組成的系數(shù)對(duì)yi=[y1i,y2i]中提取出水印信息位.

3.3 誤碼概率分析

誤碼概率(bit error probability, BEP)用于分析提出的水印檢測(cè)器的工作性能.在無(wú)攻擊檢測(cè)條件下BEP的計(jì)算：

(17)

在無(wú)噪檢測(cè)條件下，含水印重要Shearlet系數(shù)塊奇異值都嵌入“0”的H0假設(shè)下的檢測(cè)概率Zi(y):

Zi(y|H0)=

(18)

其中，

由于Zi(y|H0)是大量的獨(dú)立隨機(jī)變量之和，因此，Zi(y|H0)近似地服從正態(tài)分布，且在2種假設(shè)下，具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差：(μ0,σ0)和(μ1,σ1).具體地，在H0假設(shè)下，其期望μ0的計(jì)算:

(19)

其中，

(20)

(21)

(22)

(23)

應(yīng)用式(23)，即可對(duì)所提出的數(shù)字水印檢測(cè)器進(jìn)行性能評(píng)估.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證本文圖像水印算法的高效性，分別給出了本文算法的數(shù)字水印檢測(cè)性能、不可感知性和魯棒性的測(cè)試結(jié)果，并與文獻(xiàn)[12,15-16,19]算法進(jìn)行了對(duì)比.文獻(xiàn)[12,15-16,19]均為基于統(tǒng)計(jì)模型的變換域乘性水印算法，且與本文算法密切相關(guān).其中，文獻(xiàn)[15,19]采用了線性單調(diào)函數(shù)刻畫(huà)水印嵌入強(qiáng)度，文獻(xiàn)[12,16]采用了非線性單調(diào)函數(shù)(指數(shù)函數(shù))刻畫(huà)水印嵌入強(qiáng)度；此外，文獻(xiàn)[12,15-16]利用了單元概率密度函數(shù)建立多尺度邊緣分布模型，文獻(xiàn)[19]則是利用了多元概率密度函數(shù)建立多尺度邊緣分布模型.實(shí)驗(yàn)中，原始載體圖像選用了512×512×8 b的標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像Lena，Mandrill，Barbara，Peppers，數(shù)字水印則采用了128 b，256 b，512 b，1 024 b的偽隨機(jī)序列.此外，我們利用峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)和失真率(bit error ratio, BER)評(píng)價(jià)了圖像水印算法的不可感知性和魯棒性.同時(shí)，非下采樣Shearlet變換的分解級(jí)數(shù)K=2，第1尺度和第2尺度均采用了4個(gè)分解方向，Shearlet系數(shù)塊大小為8×8.

4.1 水印檢測(cè)器的性能測(cè)試

本文結(jié)合非下采樣Shearlet域二元Weibull邊緣分布模型與最大似然決策理論，構(gòu)造了二元數(shù)字水印檢測(cè)器并盲提取了數(shù)字水印信息.本部分以標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像Barbara為例，對(duì)所構(gòu)造的數(shù)字水印檢測(cè)器的工作性能予以測(cè)試.圖6分別給出了在嵌入水印位為“1”和“0”2種情況下數(shù)字水印檢測(cè)器的檢測(cè)響應(yīng).其中，橫坐標(biāo)為接收端含水印圖像信號(hào)序列，縱坐標(biāo)表示水印檢測(cè)器的響應(yīng)值，虛線表示檢測(cè)器關(guān)于含水印圖像信號(hào)的檢測(cè)響應(yīng)值，實(shí)線表示關(guān)于含水印圖像信號(hào)的檢測(cè)閾值.

通過(guò)圖6可以看出，本文所提出的二元數(shù)字圖像水印檢測(cè)器能夠準(zhǔn)確地提取出數(shù)字水印信息(包括各種攻擊下)，即當(dāng)嵌入水印位為“1”時(shí)，有SML>ST；當(dāng)嵌入水印位為“0”時(shí)，有ST>SML.這里，S表示曲線(直線)與x軸和y軸圍成的面積.根據(jù)數(shù)字水印檢測(cè)原理，當(dāng)嵌入水印位為“1”時(shí)，檢測(cè)器(ML detector， ML)的曲線面積SML越大于檢測(cè)閾值(threshold， T)的曲線面積ST，則說(shuō)明檢測(cè)響應(yīng)效果越好，即檢測(cè)器工作能力越強(qiáng).同理，當(dāng)嵌入水印位為“0”時(shí)，檢測(cè)器的曲線面積越小于檢測(cè)閾值的曲線面積，則說(shuō)明檢測(cè)響應(yīng)效果越好，即檢測(cè)器工作能力越強(qiáng).

表2給出了不同水印容量(包括128 b，256 b，512 b，1 024 b)情況下，整個(gè)圖像水印系統(tǒng)的PSNR、BER、水印嵌入時(shí)間以及水印提取時(shí)間等工作性能.

Fig. 6 The test results of ML watermark detector under various attacks圖6 數(shù)字水印檢測(cè)器的檢測(cè)響應(yīng)

ImagesWatermark Length∕bPSNR∕dBBEREmbedding Time∕sExtracting Time∕sLena12851.169902.36841.741325651.146302.37281.841751250.898502.38311.8478102440.80280.00882.46651.8495Barbara12845.457202.81522.203725645.462902.85932.215451245.037602.93252.3137102444.61200.00392.95602.3883Mandrill12842.589302.47151.761225642.669402.49361.788251241.535502.53621.8146102440.49800.00492.57861.9394

Continued (Table 2)

4.2 不可感知性測(cè)試

理論分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明:水印嵌入強(qiáng)度對(duì)算法工作性能有一定影響，為了取得不可感知性和魯棒性的良好平衡，水印嵌入強(qiáng)度應(yīng)自適應(yīng)于載體信號(hào)內(nèi)容，即水印嵌入強(qiáng)度應(yīng)該隨著載體信號(hào)強(qiáng)度(值)的增大而增大.現(xiàn)有算法普遍采用線性單調(diào)函數(shù)刻畫(huà)水印嵌入強(qiáng)度，并用于自適應(yīng)調(diào)節(jié)載體信號(hào)(即嵌入水印信息)[15,19].然而，水印嵌入強(qiáng)度增量與載體信號(hào)改變量間并非具有簡(jiǎn)單的線性單調(diào)關(guān)系，而是呈現(xiàn)出明顯的非線性單調(diào)關(guān)系，為此本文算法采用刻畫(huà)能力更強(qiáng)的非線性單調(diào)函數(shù)——反三角函數(shù)，構(gòu)造了自適應(yīng)水印嵌入強(qiáng)度函數(shù).與指數(shù)函數(shù)相比[12,16]，反三角函數(shù)具有更強(qiáng)刻畫(huà)水印嵌入強(qiáng)度增量與載體信號(hào)改變量間非線性關(guān)系的性質(zhì)，更好地獲得了不可感知性和魯棒性的良好平衡.

圖7給出了部分標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像的不可感知性主觀測(cè)試結(jié)果，包括原始載體圖像、含水印圖像及放大10倍的差值圖像.不難看出，利用本文所提出算法嵌入數(shù)字水印后，人眼無(wú)法察覺(jué)到含水印圖像和原圖像之間的差別.

Fig. 7 The watermark embedding examples for different test images圖7 本文算法的數(shù)字水印嵌入示例

表3給出了不同統(tǒng)計(jì)模型圖像水印算法的感知透明性客觀評(píng)價(jià)結(jié)果.不難看出，本文所提出的統(tǒng)計(jì)模型圖像水印算法具有較好的不可感知性能.

4.3 魯棒性測(cè)試

為驗(yàn)證本文算法的魯棒性，我們以標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像Barbara和Mandrill為原始載體，128 b偽隨機(jī)序列作為數(shù)字水印，對(duì)含水印圖像進(jìn)行了一系列攻擊實(shí)驗(yàn).表4給出了本文算法與典型統(tǒng)計(jì)模型圖像水印算法(包括文獻(xiàn)[12,15-16,19]算法)的魯棒性測(cè)試對(duì)比結(jié)果.不難看出，相對(duì)于3種典型統(tǒng)計(jì)模型圖像水印算法，本文所提出的圖像水印方案具有更好的魯棒性能，可以有效抵抗常規(guī)攻擊和幾何攻擊.

Table 3 The PSNR of Different Watermarking Schemes表3 不同圖像水印算法的PSNR對(duì)比 dB

Table 4 The Watermark Detection Results for Various Attacks (BER)表4 本文算法與4種典型統(tǒng)計(jì)模型圖像水印算法的魯棒性測(cè)試結(jié)果(失真率) %

Note: The black bold font provides a better performance than other results.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以非下采樣Shearlet變換與二元Weibull分布理論為基礎(chǔ)，提出了一種基于二元Weibull統(tǒng)計(jì)建模的非下采樣Shearlet域數(shù)字圖像水印算法.由于非下采樣Shearlet變換擁有魯棒而接近最優(yōu)的圖像幾何結(jié)構(gòu)特征捕獲能力，同時(shí)二元Weibull分布可精確描述非下采樣Shearlet域圖像信號(hào)的邊緣分布與相關(guān)特性，故使得本文圖像水印算法可較好獲得不可感知性、魯棒性、水印容量之間的良好平衡.同時(shí)，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果也證明了本文算法的有效性.

本文算法雖然具有較強(qiáng)的創(chuàng)新性和重要的理論價(jià)值，且亦可以應(yīng)用到彩色圖像處理等其他領(lǐng)域，但仍存在些許不足之處.例如本算法僅初步考慮了變換系數(shù)尺度間相關(guān)性，故多尺度邊緣分布模型的建模能力未得到明顯改善.在未來(lái)的工作中，我們將充分利用多尺度變換系數(shù)間的多種重要相關(guān)特性(子帶內(nèi)、方向間、尺度間相關(guān)性)，進(jìn)一步提升多尺度邊緣分布模型的建模能力.