級數收斂性的判別法

陳飛翔

【摘要】本文主要給出了數學分析中級數收斂性的判別法，并且說明了這些方法的不同之處。

【關鍵詞】級數 正項級數 交錯級數

【中圖分類號】O151.21 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）26-0139-01

在數學分析學習中，對于級數收斂性的判別法，數學家們提出了比較判別法、柯西判別法、達朗貝爾法等來解決級數收斂性問題，本文給出幾個常見的級數收斂的判別方法。

1.幾個基本概念和基本定理

設有數列{un}，即

u1，u2，u3…，…，un… （1）

將數列（1）的項依次用加號連接起來，即

u1+u2+u3…+un+… 或 un， （2）

稱為數項級數，簡稱級數，其中un稱為級數（2）的第n項或通項。

定理1.1 正項級數 un收斂？圳它的部分和數列{Sn}有上界。

定理1.2（比較判別法）有兩個正項級數 un與 vn，且？堝N∈N+，？坌n≥N，有un≤cvn，c是正常數。

（1）若級數 vn收斂，則級數 un也收斂；

（2）若級數 un發散，則級數 vn也發散。

證明：根據收斂級數的性質，去掉、增添或改變級數 un的有限性，不改變級數 un的斂散性。因此，不妨設？坌n∈N+，有un≤cvn。

設級數 un與 vn的n項部分和分別是A與B，由上述不等式，有

An=u1+u2+…+un≤cv1+cv2+…+cvn=c（v1+v2+…+vn）=cBn.

（1）若級數 vn收斂，根據定理1.1有，數列{Bn}有上界，從而數列{An}也有上界，級數 un收斂。

（2）若級數 un發散，根據定理1.1有，數列{An}無上界，從而數列{Bn}也無上界，級數 vn發散。

2.交錯級數判別法

下面將對交錯級數收斂性的判別法同樣進行敘述。若級數 un既有無限多項正數，又有無限多項負數，則稱此級數 un是變號級數。特別地，級數的項依次是正數和負數相間，即

u1-u2+u3-u4+…+u2k-1-u2k+… （un>0），

稱為交錯級數. 判別交錯級數的收斂性有以下判別法：

定理2.1 （萊布尼茲判別法）有交錯級數 （-1）n-1un（un>0）. 若

（1）？坌n∈N+，有un≥un+1；（2） un=0.

則交錯級數 （-1）n-1un收斂，且|rn|=|S-Sn|

其中S，Sn與rn分別是交錯級數 （-1）n-1un的和、n項部分和和余和。

定理2.2（狄利克雷判別法）若級數 anbn滿足下列條件：

（1）數列{an}單調減少，且 an=0；

（2）級數 bn的部分和數列{Bn}有界，即？堝M>0，？坌n∈N+，有

|Bn|=|b1+b2+…+bn|≤M. 則級數 anbn收斂。

對于交錯級數收斂性來說，除了上面敘述的這兩種方法，還有阿貝爾判法。

定理2.3 （阿貝爾判別法） 若級數 anbn滿足下列條件：

（1）數列{an}有界； （2）級數 bn收斂，則級數 anbn收斂。

參考文獻：

[1]劉玉璉.數學分析講義[M].5版.北京：高等教育出版社.2008.