考慮分布域擴展因子的結合面法向接觸阻尼建模

陳永會,張學良,溫淑花,蘭國生

(太原科技大學機械工程學院,030024,太原)

機械結構中結合面的接觸剛度和接觸阻尼對機械結構的靜動態特性具有重要影響[1-3],其建模研究較為活躍。影響結合面接觸剛度的因素眾多,文獻[4-9]建立了基于分形理論的結合面法向和切向接觸剛度的分形模型,從最初的微凸體彈性變形和塑性變形到考慮彈塑性變形的3個階段,利用Kogut-Etsion模型推導了結合面3階段的接觸剛度模型,并進行了仿真分析,取得了較多成果。然而,研究過程中均未考慮摩擦因數與微接觸大小域擴展因子的影響。文獻[10-11]基于摩擦學理論和分形接觸理論,考慮摩擦因數對結合面接觸剛度的影響,建立了結合面法向接觸剛度的分形預測模型。文獻[12]基于分形理論,將域擴展因子引入微接觸截面積分布函數,得到了考慮表面微凸體相互作用影響的結合面接觸剛度分形模型。同時,關于結合面的動態參數接觸阻尼也取得了一些研究成果:文獻[13-15]基于摩擦學理論和接觸阻尼耗能機理,提出了結合面切向接觸阻尼及其損耗因子的分形模型,揭示了結合面切向接觸阻尼耗能與結合面法向載荷以及結合面表面粗糙輪廓分形維數之間的非線性關系;文獻[16-20]基于結合面法向接觸阻尼的耗能機理——結合面法向接觸塑性變形耗能,應用單自由度集中質量彈簧阻尼系統理論,建立了結合面法向接觸阻尼系數的分形模型,該模型與結合面所在基體質量有關,是結合面法向接觸阻尼影響系統固有特性的典型范例。

忽略微接觸大小分布域擴展因子,微凸體接觸面積分布函數就會有缺陷,這對于結合面的法向接觸阻尼建模是不準確的。另外,不同的結合面動力學模型,結合面動態參數的計算結果也不同。為了更準確地建立結合面的法向接觸阻尼模型,本文基于結合面法向接觸阻尼耗能機理及文獻[21-22]提出了Majumda-Bhushan(MB)接觸分形修正模型,將結合面法向動力學特性等效為彈簧和黏性阻尼器,引入微接觸大小分布域擴展因子,進而建立結合面法向接觸阻尼分形模型,并對該模型進行了數值仿真,分析了各相關參數的影響規律。以線軌滑臺為研究對象,利用理論模型計算的結合面接觸參數,進行了理論模態分析和試驗模態分析,經過對比分析,驗證了理論模型的正確性。

1 結合面接觸分形模型

結合面接觸問題可以簡化并等效為一當量粗糙表面與一理想剛性平面的接觸問題。圖1是等效粗糙表面上的一微凸體和剛性表面的接觸示意圖,圖中r′為微凸體接觸截面積的半徑,r為微凸體接觸半徑,δ為微凸體法向變形量,R為微凸體曲率半徑。

圖1 當量粗糙表面1與理想剛性表面2的接觸示意圖

微凸體接觸截面積a′是被剛性平面所截得的微凸體截面的面積,a′=π(r′)2。微凸體曲率半徑R與微凸體法向變形量δ和微凸體接觸截面積a′之間的關系為

(1)

Wang和Komvopoulos針對MB接觸分形模型的微凸體接觸面積分布函數的缺陷,引入微接觸大小分布域擴展因子ψ,給出了微凸體接觸面積a的分布函數n(a)[21-22]為

(2)

ψ與D的關系為

(3)

由于式(3)為隱函數,計算不便。因此,以圖形直觀展示ψ與D之間關系,如圖2所示。

圖2 ψ -D關系圖

微凸體法向變形量δ與分形粗糙度參數G、微凸體接觸截面積a′的關系[18]為

δ=GD-1(a′)(2-D)/2

(4)

由式(1)和(4)可得微凸體曲率半徑R為

(5)

彈性接觸微凸體法向變形δ與其法向彈性接觸載荷pe的關系[23]為

(6)

(7)

式中:E為兩接觸材料的復合彈性模量;E1、E2分別為兩接觸材料的彈性模量;ν1、ν2分別為較軟和較硬材料的泊松比。

由式(4)～(6)可得彈性接觸微凸體的截面積a′與其法向彈性接觸載荷pe的關系為

(8)

塑性接觸微凸體的截面積a′與其法向塑性接觸載荷pp的關系為

pp=kσya=Ha=Ha′

(9)

結合面法向接觸總載荷P與結合面接觸面積之間的關系[17]為

P=

(10)

當D≠1.5時,得到

(11)

式中:al為最大微凸體接觸面積;ac為臨界微凸體接觸面積。

當D=1.5時,得到

(12)

對式(11)和(12)進行歸一化,可得

(13)

(14)

2 結合面法向接觸阻尼分形模型

根據文獻[17],結合面彈性接觸區的彈性應變能We、結合面塑性接觸區的塑性應變能Wp和結合面法向接觸阻尼損耗因子η分別為

(15)

(16)

(17)

根據文獻[6],結合面歸一化法向接觸剛度為

(18)

將固定結合面法向接觸動力學特性等效為彈簧和黏性阻尼器,如圖3所示,可以得到

(19)

式中:t為時間;F(t)為作用于結合面的法向動態接觸載荷;Kn為結合面法向接觸剛度;Cn為結合面法向接觸阻尼;x(t)為結合面間法向動態接觸相對位移。

圖3 結合面動力學模型

令F(t)=Fncosωt,則x(t)=Xncos(ωt-θn),式中ω為角頻率、θn為初始相位,可以得到結合面法向接觸阻尼損耗因子η為

(20)

將式(17)～(18)代入式(20),得到法向接觸阻尼Cn為

{8ωGD-1(1-D)(2-D)·

(21)

式(21)不同于文獻[15-20]的固定結合面法向接觸阻尼系數分形模型,而是建立在以彈簧和黏性阻尼器來等效固定結合面法向動力學特性的基礎上,并引用結合面法向接觸阻尼損耗因子η與結合面法向接觸剛度和法向接觸阻尼之間的關系而得到的,與結合面的分形參數D和G,結合面材料參數E、σy、φ和H,結合面法向接觸載荷P,固定結合面受迫振動的角頻率ω有關,客觀地反映了結合面法向接觸阻尼是結合面固有的特性。文獻[15-20]所建立的結合面法向接觸阻尼模型是建立在單自由度集中質量彈簧阻尼系統理論的基礎上,將結合面等效為單自由度集中質量彈簧阻尼系統,并假設粗糙表面所在基體的質量為M、結合面法向接觸剛度為Kn、結合面法向接觸阻尼為Cn、臨界阻尼系數為Cc(Cc=2(MKn)1/2),利用單自由度集中質量彈簧阻尼系統在共振點附近,阻尼損耗因子η與阻尼系數Cn、彈簧剛度Kn以及單自由度集中質量彈簧阻尼系統的固有頻率ωn(ωn=(Kn/M)1/2)之間的關系η=2Cn/Cc=ωnCn/Kn,求得結合面法向接觸阻尼系數Cn=η(MKn)1/2。該模型與所假設的粗糙表面所在基體的質量M有關,這是單自由度集中質量彈簧阻尼系統的阻尼系數的情況。式(21)所得的阻尼系數與相互接觸的材料特性、接觸參數以及系統的激勵頻率有關,是用另外一種方法得到的結合面接觸阻尼,與其有一定的區別。

(22)

3 結合面法向接觸阻尼分形模型數字仿真

(1)從圖4中可以看出:無論本文模型還是文獻

(a)D=1.1 (b)D=1.2 (c)D=1.3

(d)D=1.4 (e)D=1.5 (f)D=1.6

(g)D=1.7 (h)D=1.8 (i)D=1.9圖4 歸一化法向接觸阻尼隨歸一化法向接觸總載荷P*的變化規律(G*=10-10,φ=1.5)

(a)D=1.1 (b)D=1.2 (c)D=1.3

(d)D=1.4 (e)D=1.5 (f)D=1.6

(g)D=1.7 (h)D=1.8 (i)D=1.9圖5 分形粗糙度G*對歸一化法向接觸阻尼的影響(φ=1.5)

(a)D=1.1 (b)D=1.2 (c)D=1.3

(d)D=1.4 (e)D=1.5 (f)D=1.6

(g)D=1.7 (h)D=1.8 (i)D=1.9圖6 應變指數φ對歸一化法向接觸阻尼的影響(G*=10-10)

(a)φ=0.7 (b)φ=1.5 (c)φ=2.5圖7 結合面歸一化分形粗糙度參數G*對歸一化法向接觸阻尼的影響

4 試驗驗證

本文選用的浙江景耀數控科技有限公司的JNYO LRS250數控線軌滑臺由4個滑塊和2條導軌組成,一個滑塊和導軌之間的結合部由4列、48個滾珠(單列12個)與溝槽之間的圓柱面球面結合面組成,滾珠與內外溝槽各有一個圓柱面球面結合面[25]。利用文獻[26]中的結合面參數,根據式(18)、式(20)、式(21),分別計算單個滾珠與溝槽之間的結合面的法向接觸剛度Kn和法向接觸阻尼Cn,在有限元分析時,選用96個combin14單元為滑臺與導軌接觸單元,設置單元的剛度和阻尼參數,完全約束導軌上的接觸點(即combin14單元的一端節點完全約束),理論計算有支撐的滑臺的理論模態頻率、振型。

為了驗證模型和理論計算結果的正確性,設計了滑臺的試驗模態試驗裝置,如圖8所示。采用脈沖錘激勵,12個單向壓電式加速度傳感器,德國m+p數據采集分析系統,采用EMA-MDOF方法進行模態參數識別,得到滑臺的試驗模態頻率、模態阻尼和振型(僅包含垂直方向)。

圖8 線軌滑臺試驗裝置

由有限元計算得到滑臺的前20階理論模態。通過試驗識別滑臺的前7階試驗模態參數,發現模態參數與滑臺的法向接觸參數和切向接觸參數均有關系,但有些模態參數主要是法向接觸參數影響的結果,切向接觸參數影響較小。觀察模態振型,選出了4階模態(理論模態中的第1、4、6、9階,試驗模態中的第1、3、5、7階)做對比分析。以模態振型相同為比較原則,圖9a、9c、9e、9g為有限元計算的理論模態振型圖,圖9b、9d、9f、9h為試驗產生的試驗模態振型圖,圖中編號是試驗模態分析時的測點號。圖9a、9b振型為沿z軸的整體振動;圖9c、9d振型為沿x軸的一階彎曲;圖9e、9f振型為沿y軸的一階彎曲;圖9g、9h振型為沿x軸的二階彎曲。將理論模態和試驗模態的固有頻率、振型進行比較,結果見表1,可以看出:在振型相同時,理論計算與試驗模態參數識之間存在誤差,誤差最小為7.37%(此時試驗模態固有頻率為2 632.27 Hz),最大為11.94%(此時試驗模態固有頻率為1 634.59 Hz)。圖10是測點1(響應點)與測點7(激勵點)之間的相干系數,分析得出,在各階固有頻率附近的相干系數均超過0.937,說明試驗模態識別的參數較準確。由于對于機械結構而言,低階固有頻率比高階固有頻率更重要,因此可以利用本文提出的法向接觸剛度模型與法向接觸阻尼模型來計算結構的低階模態頻率。

表1 理論模態與試驗模態的固有頻率

(a)理論模態第1階 (b)試驗模態第1階

(c)理論模態第4階 (d)試驗模態第3階

(e)理論模態第6階 (f)試驗模態第5階

(g)理論模態第9階 (h)試驗模態第7階圖9 理論模態與試驗模態的振型圖

圖10 測點1與測點7之間的相干系數

5 結 論

(1)本文基于結合面法向接觸阻尼耗能機理及MB修正模型,考慮微接觸大小分布域擴展因子的影響,并將結合面法向接觸動力學特性等效為彈簧和黏性阻尼,通過邏輯推理建立了不同于文獻[15-20]的固定結合面法向接觸阻尼分形模型。

(6)以本文模型計算結合面參數設置有限元接觸單元參數,對線軌滑臺進行了理論模態分析,與試驗模態分析結果進行對比分析,驗證了本文理論模型的正確性。