基于矩陣PBM的煤粉超細粉碎過程研究

楚長青，趙冰龍，白雪濤，吳昌寧，翁 力，李國濤，劉 科,,

(1.南方科技大學 前沿與交叉科學研究院，廣東 深圳 518055; 2.南方科技大學 創新創業學院，廣東 深圳 518055; 3.南方科技大學 理學院，廣東 深圳 518055)

中國是煤炭生產和消費大國，每年消耗煤炭近40億t，占到我國一次能源供應的60%。然而煤炭在開發利用過程中會引起地下水、大氣等環境污染，我國目前有近70萬臺中小型燃煤鍋爐，年消耗煤約6～8億t，這是導致國內霧霾問題的首要來源[1]。這些小中型鍋爐很多使用劣質煙煤，而這種灰分很高的煤(大于40%)單位質量燃燒污染物相當于電煤的5～10倍[2]。隨著優質開采煤比例的下降，降低劣質煤灰分，轉化為優質煤是一種必然路徑。

煤中的無機灰分以微米級粒度和復雜多樣的狀態嵌布在有機碳質中，因此只有當顆粒粉碎到一定細度時，才能使灰分與碳質發生充分解離，然后通過后續的分選手段，比如油聚團使煤-灰分別聚團，再利用浮選技術將煤-灰分開[3]等手段，獲得低灰分的潔凈煤。由于煤-矸石的嵌布狀態和粉碎后表面性質的巨大差異，不同的煤為達到要求的煤-矸石解離度所需要的粒度分布是不同的，付曉恒等[4]提出，當粒度破碎到10 μm以下時，大多數的煤和無機礦物已經獲得比較充分的解離。但王捷[3]經試驗驗證，淮南煤在粉碎至5 μm時，仍有黏土礦物沒有得到充分解離。礦物提質前的顆粒粉碎過程是一個高耗能的過程，通常占到整個礦物加工的30%～70%。基于對顆粒破碎過程主要矛盾的假設，能耗理論有經典的三大假說，即體積假說[5]、裂縫假說[6]和面積假說[7]，分別描述物料的粗碎、中碎和細碎階段。其中基于面積假說的Rittinger理論認為外界輸入的能量全部用于物料比表面積的增加，尤其適用于<200 μm的細碎過程，而Tomoyoshi在面積假說的基礎上考慮到物料越細時越難粉碎、單位能量產生的新表面積越小的事實，認為比表面積增量對功耗增量的比與極限比表面積與瞬時比表面積的差成正比,如式(1)，(2)所示，s為極限比表面積，與粉碎物料性質和研磨設備相關;s為瞬時比表面積;K為常數;sf為進料比表面積;sp為出料比表面積;e為粉碎能耗。

(1)

(2)

表征物料粒度分布的Rosin-Rammler(R-R)粒度分布模型[8]和Gates-Gaudin-Schuhmann(GGS)粒度分布模型[9]經常用來建立研磨出料的粒度分布與研磨能耗的關系式[10-11]，最近分形理論應用于超細研磨也取得了不少進展，例如，楊致遠等[12]結合分形理論，分析了球磨機超細研磨過程;曾凡桂[13]借助分形理論建立了煤粉碎動力學方程，對6種不同變質程度的煤進行了動力學分析并獲得了其粉碎動力學參數。

最近不斷發展的基于物料破碎機理的動力學模型由于包含了磨機研磨中的物理過程，因而對研磨過程的優化、研磨能耗效率、對出料粒度的控制具有非常大的意義和價值。矩陣模型(Matrix Model)將整個破碎過程看作是重復的破碎事件的累加;粒群平衡模型(Population Balance Model，PBM)將破碎過程看作是時間上的連續過程，并且可以考察破碎物料性質和磨機的操作條件(磨介尺寸，轉軸速度等)對于物料破碎的影響。 PETRAKIS等[14]借助PBM模型對球磨機粉碎石英的過程進行了優化，獲得了球磨機的鋼球填充率與破碎速率的關系曲線。2017年PETRAKIS和KOMNITSAS[15]將BROADBENT和CALLCOTT[16]提出的矩陣模型和PBM模型[17]相結合，用來預測球磨機在毫米級入料的干法研磨出料粒度分布，取得了較好的模擬結果，這種方法是基于顆粒破碎的一階線性動力學假設[18]。這里我們稱之為矩陣粒群平衡模型(Matrix Population Balance Model,M-PBM模型)，將其拓展應用于立式攪拌磨機的濕法超細研磨過程，此方法是將物料破碎看作是一連串銜接的破碎事件的組合，每一個“基元”破碎事件的入料，就是上一個“基元”破碎事件的出料，破碎時間越久，重復的“基元”破碎次數就越多。入料和出料的粒度分布由n個等比例縮減的篩網尺寸劃定的n個離散的粒度區間(discrete-size classes)來表示，第i個粒度區間內顆粒的粒徑用區間頂端的篩網尺寸，即第i個篩網尺寸代表。描述每個粒度區間內顆粒的破碎概率用選擇破碎函數Si(min-1)表示:

(3)

其中，Si為單位時間內位于粒度區間i的顆粒群在一次‘基元’破碎事件中發生破碎的比例，其大小隨著顆粒大小不同可能不同；αT和θ為與物料性質和磨機操作條件相關的參數[19]；x0為標準尺寸1 mm；xi的單位是mm。每個粒度區間內顆粒破碎后的子顆粒分配到其他粒度區間的過程用破碎函數bij(i>j)表示，比如b21代表位于第1個粒度區間內破碎的顆粒落到第2個更細粒度區間的顆粒占1區間總破碎顆粒的比例，破碎函數bij通常用累積破碎函數Bij(i>j)來表示(式(4)，γ為與物料性質相關的參數)，比如B31表示粒度區間1中的顆粒破碎后，子顆粒落到第3個粒度區間及以下的比例;假設一個破碎過程由u個“基元”破碎事件組成，那么最終破碎過程的入料和出料的關系就可以用式(5)來描述，其中S為選擇破碎函數對角矩陣(n×n)；b為破碎函數下三角矩陣(n×n)；I為單位矩陣(n×n)；f和p分別為入料和出料的粒度分布向量(n×1)；Δt為每個“基元”步驟經歷的研磨時間；u為研磨經過的“基元”步驟次數。

(4)

p=(bSΔt+I-SΔt)uf

(5)

為了回歸M-PBM模型中的參數以便對磨機的出料粒度分布進行模擬，筆者借助Matlab編寫了一套程序代碼，步驟如下:

首先確定n個粒度區間，用來劃分實驗得到的進料f的顆粒群的粒度分布，相鄰粒度區間粒徑比1.098，與激光粒度儀的粒度區間表示相同。

由式(3)和(4)計算各個粒度區間的Si和bij，構建S和b矩陣(帶有αT，θ和γ未知參數)，每個“基元”研磨步的時間Δt取值1/3 min。

由式(5)計算經過u個“基元”研磨步驟后的出料粒度p(帶有αT，θ和γ未知參數)。

(6)

αT，θ和γ確定后，即可通過式(3)和(4)構建b和S數值矩陣，最后通過(5)來求出任意研磨步驟的出料粒度分布p。

1 樣品與實驗方案

1.1 樣品性質與制備

試樣分別選取太西煤、錦丘煤和金達煤，其中太西煤灰分最低，色澤烏黑亮麗。錦丘煤和金達煤的色澤灰暗程度依次升高，灰分最高的金達煤色澤明顯呈灰黑色(表1)。

3種煤樣各取100 kg，采用圓錐1/4取樣法，獲得性質均一的煤樣各6 kg。首先用對輥機將煤樣破碎到0.5 mm以下，然后用球磨機研磨35 min，球磨機出料用75 μm篩子干篩，取75 μm篩下物作為攪拌磨機入料。3種煤樣的粒度分布見表2。

表1 3種煤樣的工業分析Table 1 Industrial analysis of the three coal samples %

表2 球磨機出料的篩下累積粒度分布Table 2 Accumulative particle size distributions under sieve of grinding product by ball mill μm

1.2 裝置與實驗設計

本實驗使用裝置為帶有冷卻水夾套的1.5 L立式攪拌磨機，攪拌電機額定功率750 W。如圖1所示，研磨筒體直徑100 mm，高度300 mm，研磨筒體內填裝3.7 kg高鋁氧化鋁陶瓷球(Al2O3≥92%)。實驗前，先將特定質量比例的煤粉和水混合，加入研磨分散劑六偏磷酸鈉(煤粉質量的0.5%)，然后用高速分散儀在50 240 rad/min下分散5 min制成均一的料漿。為使加入研磨筒體內的料漿和磨球在研磨開始后盡快達到均勻混合狀態，加料時采用磨球和料漿交替層層加入的方式。根據GUPTA[20]對于研磨動力學中入料的建議，同時也為避免由于初始攪拌不均造成的采樣數據異常，以研磨開始后的40 s取樣樣品作為0時刻的粒度分布。研磨過程中，磨球在攪拌轉軸的攪拌下做螺旋式自上而下快速循環運動，可以認為研磨桶內的料漿處于全混狀態。使用秒表記錄研磨時間，在特定時間點用針管取樣器從料漿上部取樣用于粒度分析，使用功率計測定實時功率，通過轉速計反饋實時攪拌轉速，整個過程的轉速控制在9 420 rad/min左右。

圖1 1.5 L立式攪拌球磨機Fig.1 1.5 L vertical stirred ball mill

此外，本實驗使用儀器為美國Beckman公司生產的LS13320型激光粒度測試儀檢測不同研磨時間點的料漿的粒度分布，方法采用濕法檢測，煤的折射指數實部設定為1.8，虛部設定為0.8。

根據田口(Taguchi)三因素三水平正交實驗表進行實驗設計，實驗考察3個因素:比處理量(煤質量/磨介質量，其中磨介質量固定在3.7 kg)，磨介尺寸，不同灰分的煤種(表3)。

表3 田口(Taguchi)正交實驗Table 3 Taguchi experimental plan

2 結果和討論

2.1 M-PBM模型模擬出料粒度分布

為了圖表簡潔，這里只展示了使用1.8 mm磨介的3組出料粒度分布的實驗和模擬值，其他0.8和0.3 mm磨介效果與1.8 mm磨介模擬結果無明顯區別(R2均大于0.9)，表4為基于9組正交實驗回歸得到的M-PBM參數，將這些參數代入到式(3)～(5)即可由已知的入料f計算出某一時刻的出料p。圖2分別為金達煤、太西煤和錦丘煤的粒度分布隨時間變化的實驗值和模擬值，雖然3種煤的灰分差別較大(表1)，3組實驗的比處理量也不同(表3)，但是采用M-PBM方法能夠非常精確的預測粒度分布隨時間的變化情況(表4)，說明此方法完全可以應用于立式攪拌球磨機濕法超細研磨的粒度分布預測。

圖2 實驗檢測和M-PBM模擬的不同時間點的產品粒度分布Fig.2 Experimental and M-PBM simulated particle size distributions at various time points

表4 正交實驗的M-PBM回歸參數Table 4 M-PBM regression parameters from Taguchi experiments

2.2 R-R粒度分布模型+M-PBM模型聯用

由于M-PBM模擬得到的粒度分布中，將連續的顆粒粒徑的變化分割為幾個離散的粒度區間，比如一般的篩分實驗中相鄰篩網尺寸比是1.414，這樣相鄰粒度區間的累積百分含量的變化有時非常大(20%～30%)，因此為了更加準確而方便地確定任意累積百分含量下的顆粒粒徑，更精確地預測出料粒度分布，這里我們引入Rosin-Rammler粒度分布模型(R-R模型)，R-R模型經常用來擬合物料的累積粒度分布，式(7)所示，px為篩下累積百分含量;x為粒徑;α和b為常數。

(7)

式(7)兩邊取自然對數，可以得到

(8)

借助M-PBM模擬的累積粒度分布px數據，將式(8)左邊項對lnx作線性回歸，可得到斜率α和b，最后計算任一篩下累積分率的粒徑x。然而有些情況下R-R分布模型或GGS模型無法完全準確描述整個出料粒度范圍內的分布情況。因而PETRAKIS等[21]提出了分段回歸(piece-wise regression)策略，即將粒度區間分為兩部分，對每一部分依據式(8)分別做線性回歸，得到2套參數(α1，b1和α2，b2)用來分別擬合兩段粒度區間的粒度分布。借助上述方法,我們可以精確地確定M-PBM模擬的任意篩下累積粒度分布對應的粒徑x，這里以篩下累積含量50%p50對應的粒徑x為參照與激光粒度分析儀測得的x(p50)進行對比。基于表3所示的9組實驗，每組實驗在6個不同的時間點取樣(20,140,320,500,680,860)s，共54套PSD數據計算了p50對應的粒度x，見表5(用篩下累積分布50%對應的粒度進行對比),M-PBM和R-R粒度分布模型得到的p50粒度與激光粒度分析儀的實驗值符合非常好。

表5 1.8,0.8,0.3 mm磨介實驗測量與M-PBM+R-R粒度分布模型模擬Table 5 1.8,0.8,0.3 mm grinding media experimental measured and M-PBM+R-R distribution model simulated data μm

2.3 磨機能耗和通量模型

2.3.1磨機能耗和通量計算

一般顆粒粒度在1～10 μm內的粉體稱為微米級超細粉體。這里根據磨機的研磨粒度下限，對10～3 μm的粒度變化區間的研磨能耗和磨機的研磨通量進行考察。M-PBM+R-R粒度分布模型可以精確地確定任意研磨時刻下任一篩下累積百分含量px對應的顆粒直徑x。這里根據研磨實驗粒度變化的上下限，考察了10 μm(p50)～3 μm(p50)粒度變化區間的煤粉從0時刻初始粒徑分別減小到10 μm(p50)的時間t1(s)和減小到3 μm(p50)的時間t2(s)，那么研磨時間為t2(s)-t1(s)，功率P已由功率計測得，則研磨的能耗(單位質量煤粉的耗電量，kW·h/kg)和比通量(單位時間單位質量磨介煤粉的處理量，kg/(kg·h))就可通過上述物理量計算得出。表6顯示了正交實驗9組設計實驗，其10 μm(p50)～3 μm(p50)的研磨時間、比通量和能耗。可以明顯地發現4～6組實驗(太西煤)的研磨時間明顯大于金達煤(1～3組實驗)和錦丘煤(7～9組實驗)，研磨能耗也明顯偏高。第3組金達煤的比通量最高，研磨能耗最低。

表6 正交實驗的研磨通量和研磨能耗Table 6 Specific flux and energy consumption results

2.3.2研磨通量和能耗的極差分析

煤顆粒中的無機礦物(灰分)以微米級細度嵌布于有機碳質中，由于灰分和有機碳質元素組成差異和力學性質不同，不同的灰分會引起煤顆粒斷裂韌性、楊氏彈性模量和受力時內部裂紋擴展[22]的差異，從而影響顆粒的破碎速率。此外磨機的研磨性能與操作條件息息相關，比如料漿濃度、磨介尺寸、研磨分散劑用量和轉軸轉速等。

此處為了更好的突出磨介尺寸、比處理量和煤自身性質(灰分)對于研磨通量和能耗的影響大小，使用極差分析(range analysis)的方法對上述因素進行了分析，由表7可知對研磨通量影響最大的是煤的灰分，與比通量呈現正相關性;比處理量和磨介尺寸對研磨通量的影響無太大差別。研磨能耗受灰分的影響很明顯，且呈負相關性，磨介尺寸影響次之，比處理量最小。太西煤最難磨，其他兩種煤的能耗平均不到太西煤的一半。

表7 研磨通量和研磨能耗的極差分析Table 7 Range analysis for specific flux and energy consumption

2.3.3研磨能耗和通量模型

由前面的極差分析可知煤的灰分對磨機的能耗和通量影響最明顯，這里我們借助Tomoyoshi的能耗-比表面積關系式來探討灰分與能耗之間的內在關聯。由式(2)可知，隨著顆粒研磨過程中粒度dp不斷減小，物料的比表面積(∝1/dp)會迅速增大，最后趨近物料研磨的極限比表面積s，煤顆粒在破碎過程中嵌布其中的微米級灰顆粒會不斷解離，由于灰分和有機碳質元素組成差異和力學性質不同，不同灰分的煤的s是不同的。研磨出料可以認為是由解離的灰顆粒、解離不充分的煤-灰顆粒和解離完全的煤顆粒構成的，付曉桓等[4]的研究指出當粒度破碎到10 μm以下時，大多數的煤和無機礦物已經獲得比較充分的解離，王捷[3]的實驗發現太西煤破碎到15 μm時，無機礦物已得到較為充分的解離。本實驗考察的能耗對應的研磨粒度區間是[3，10]μm，可以認為煤-灰解離充分，因此可以認為物料由解離完全的灰和解離完全的煤顆粒構成。那么將s=Ads+(1-Ad)s，其中s和s分別為完全解離的灰和完全解離的煤的研磨極限比表面積，代入式(2)并整理可得

(9)

表6所示的9組實驗的研磨能耗對應的粒度變化區間為[3，10] μm，故進料比表面積sf和出料比表面積sp是常數，1/K可以看作是功耗系數，這里假定功耗系數與灰分Ad和灰的功耗系數1/KA和煤的功耗系數1/KC的關系為1/K=(1/KA)Ad+(1/KC)(1-Ad)，結合式(9)，研磨能耗與灰分的關系為

(10)

LI等[23]實驗研究指出Netzsch臥式攪拌磨機的能耗與比處理量的對數成正比，與磨介尺寸的冪函數成正比。這里我們使用的1.5 L攪拌磨機內填充的陶瓷球(堆密度2.2 kg/L)的床層高度只有250 mm，在轉軸高速攪拌狀態下其重力對其磨介流動的影響比工業大型立式攪拌磨機小的多，這里我們提出一個研磨能耗E的回歸模型(式(11))，考慮了磨機的比處理量L、磨介尺寸M和灰分Ad三種因素的影響。

a6lnL+a7M3

(11)

式中，a1=-3.100;a2=-0.618;a3=2.011;a4=2.265;a5=0.651;a6=-0.427;a7=0.028。

擬合值與實驗值的R2=0.952。可知在超細粉磨粒度范圍內，煤的灰分越高能耗越低;同時磨介尺寸越小，能耗越小;比處理量越大，能耗越小。攪拌磨機的比通量Q的模型與能耗模型類似:

a12+a13lnL+a14M3

(12)

式中，a8=0.428,a9=2.293,a10=0.808,a11=28.630,a12=0.731,a13=0.276，a14=-0.017。

擬合值與實驗值的R2=0.920。可知在超細粉磨粒度范圍內，煤的灰分越高比通量越高;同時磨介尺寸越小，比通量越高;磨機的比處理量越大，比通量越高。

圖3 研磨能耗E的實驗值和預測值Fig.3 Experimental and predicted grinding energy consumption

圖3(a)為式(10)計算得到的預測值和實驗值，圖3(b)為式(11)計算得到的預測值和實驗值，可以看到預測值和實驗值的吻合度較高。

本次研究中，我們在間歇立式攪拌磨機的特定轉速下，重點考察了性質不同的3種煤在不同的物料比處理量、不同的磨介尺寸和1～10 μm微米級超細粉體范圍內的研磨動力學和能耗特征，構建的M-PBM結合R-R粒度模型能夠精確地預測上述各種不同工況下的粒度分布。除了上述影響因素外，必須指出的是磨機的轉軸轉速對物料的粉碎過程具有非常重要的影響，一般來說轉速越高，磨介在筒體中整個的循環流動速度會越大，磨介球之間的剪切強度會更高，從而加速物料的粉碎，但轉速越高消耗的功率也會越高，因此磨機的轉速有一個最優值。不同尺寸磨介的研磨性能與物料的粒度大小是相關的，磨介尺寸不同其發揮最優研磨性能對應的物料粒度區間是不同的，一般來說，磨介尺寸越小其發揮高效研磨的物料粒度區間上下限會同時減小，反之亦然。因此對于特定的研磨粒度區間，需要匹配合適尺寸的研磨介質。由于篇幅限制，我們暫時沒能對上述因素進行深入考察，但是攪拌軸轉速的影響以及研磨介質尺寸和物料粒度的匹配對研磨動力學和能耗的影響是我們下一步一個重要的研究方向之一。

3 結 論

(1)基于田口正交實驗設計，考察了1.5 L立式攪拌磨機不同比處理量、不同磨介尺寸和不同灰分的煤粉的濕法超細研磨過程，應用矩陣粒群平衡模型(Matrix Population Balance Model，M-PBM)對上述各種不同工況下，不同灰分的煤的出料粒度分布進行模擬，發現一階線性動力學的假設就可以很好地應用于攪拌磨機超細研磨的出料粒度模擬，為煤粉的濕法超細研磨過程奠定實驗和理論基礎。

(2)使用M-PBM預測出的離散的粒度分布數據，再結合分段Rosin-Rammler 粒度分布模型，精確地預測了任意累積百分含量下的顆粒粒度，M-PBM+R-R粒度模型可應用于不同灰分的煤粉的超細研磨的粒度分布預測。

(3)對研磨比通量和能耗的極差分析可知，在定攪拌轉軸轉速和所考查的研磨粒度變化范圍內，煤的灰分對攪拌磨機的比通量和能耗的影響是最大的。

(4)基于對煤粉超細研磨過程中煤-灰解離過程的分析，并結合Tomoyoshi的比表面積能耗公式，探討了煤的灰分與能耗的關系，建立了研磨能耗E(kW·h/kg)和比通量Q(kg/(kg·h))與比處理量L(kg/kg)、灰分Ad(%)和磨介尺寸M(mm)的函數關系式，在10 μm(p50)以下的超細粉磨粒度范圍內，煤的研磨能耗隨著灰分的提高、磨介尺寸的減小(磨介尺寸在0.3～1.8 mm)和比處理量的增大而減小;而比通量隨著灰分的提高、磨介尺寸的減小和比處理量的增大而增大。