含瓦斯煤滲透率演化模型和實驗分析

祝 捷，唐 俊，王 琪，王全啟，張 博，張 犇

(1.重慶大學 煤礦災害動力學與控制國家重點實驗室，重慶 400044; 2.中國礦業(yè)大學(北京) 力學與建筑工程學院，北京 100083)

煤礦開采或煤層氣開發(fā)過程中，氣體壓力發(fā)生變化，與氣體壓力有關(guān)的煤層滲透率變化規(guī)律受到工業(yè)界和學術(shù)界的廣泛關(guān)注。

林柏泉和周世寧[1]最早進行了瓦斯壓力變化過程中煤樣滲透性實驗(實驗圍壓2.45 MPa)，發(fā)現(xiàn)煤樣滲透率隨著瓦斯壓力的增大而降低，后來許多學者的實驗結(jié)果(實驗圍壓為2.0～3.0 MPa)驗證了林柏泉的實驗結(jié)論[2-6]。王登科[7]和朱卓慧[8]等在較高應(yīng)力條件下(實驗圍壓、軸壓分別為8.0和12.0 MPa)，測得不同氣體壓力下圓柱體型煤的滲透率隨著瓦斯壓力的增大而增大。張廣洋[9]、曹樹剛[10]和魏建平[11]等實驗研究了不同應(yīng)力條件下(實驗圍壓和軸壓為2～6 MPa)，瓦斯壓力增大的煤樣滲透率變化特征。實驗數(shù)據(jù)表明，隨瓦斯壓力的增大，煤樣滲透率先減小后增大。許江等[12]的實驗表明瓦斯壓力下降過程中型煤的滲透率先減小后增大(實驗有效應(yīng)力5.7 MPa)。由此可見煤樣滲透率隨著氣體壓力的變化趨勢是多樣的，滲透率演化特征與外部應(yīng)力條件和煤樣類型(原煤、型煤)有關(guān)。

瓦斯壓力下降引起有效應(yīng)力增大，煤體孔裂隙受壓縮導致瓦斯流動通道減少;同時瓦斯壓力下降促使瓦斯解吸和煤基質(zhì)收縮，這導致煤體孔裂隙通道增多。氣體解吸導致煤基質(zhì)收縮被認為是導致煤滲透率發(fā)生變化的重要原因[13-14]。學者們在研究瓦斯解吸引起煤基質(zhì)收縮的基礎(chǔ)上[15]，將煤基質(zhì)收縮的影響引入煤層滲透率的計算模型，研究了煤層氣抽采降壓時煤層滲透率變化規(guī)律[16-18]。SHI和DURUCAN把降壓過程中滲透率由降轉(zhuǎn)升的拐點對應(yīng)的氣體壓力稱為滲透率反彈氣體壓力，初始儲層壓力是否高于反彈氣體壓力，是導致滲透率呈現(xiàn)降低或者升高等不同變化趨勢的重要原因[16]。

由于瓦斯抽采和煤層氣開發(fā)過程中氣體壓力不斷降低，且存在變形對煤層滲透率的影響[19]，筆者對降壓條件下煤樣的變形和滲透率進行了實驗測試;考慮到實驗條件下煤樣的變形特征，構(gòu)建了降壓條件下的煤樣滲透率演化模型，并結(jié)合不同應(yīng)力和瓦斯壓力條件下的煤樣滲透性實驗數(shù)據(jù)，驗證了模型的正確性。

1 降壓條件下的含瓦斯煤滲透性實驗

1.1 實驗方案和煤樣制備

實驗在重慶大學煤礦災害動力學與控制國家重點試驗室完成，實驗設(shè)備采用含瓦斯煤熱流固耦合三軸伺服滲流裝置。試樣為鉆芯取樣的圓柱體原煤(直徑為50 mm、高為100 mm)，取自開灤礦區(qū)趙各莊煤礦9號煤層(取樣深度1 084 m)，該煤層瓦斯含量為6.6～8.7 m3/t，超過了《我國防治煤與瓦斯突出規(guī)定》中突出危險煤層瓦斯含量臨界值(8 m3/t)，煤層有煤與瓦斯突出危險。

煤樣的滲透性實驗在常溫下進行，采取維持外部應(yīng)力7.0 MPa、降低氣體壓力的方式。其中進口氣體壓力按照2.0，1.5，1.0，0.5，0.3 MPa逐級降低，出口氣體壓力為大氣壓(0.1 MPa)。具體實驗步驟如下:在保證實驗設(shè)備氣密性的條件下，將實驗軸壓和圍壓設(shè)為7.0 MPa，對樣品腔進行不少于2 h抽真空，之后通入規(guī)定壓力的瓦斯氣體，待煤樣充分吸附瓦斯后打開出氣口，測量出口氣體的穩(wěn)定流量，應(yīng)變儀同時采集煤樣的徑向變形和軸向變形。之后關(guān)閉出氣口，再次抽真空后，通入下一個預設(shè)壓力值的瓦斯氣體，充分吸附后測量出口氣體流量和煤樣變形，重復以上實驗操作直到完成所有預定測試后，結(jié)束實驗。

1.2 實驗結(jié)果與分析

根據(jù)測量出口處氣體流量Q(mL/s)，由式(1)計算得到煤樣的滲透率k(10-15m2):

(1)

式中，pa為大氣壓，MPa;μ為流體動力黏度，MPa·s;L為煤樣的長度，cm;A為煤樣的橫截面面積，cm2;p1，p2分別為進口氣體壓力和出口氣體壓力，MPa。

將進口氣體壓力為2.0 MPa設(shè)為初始狀態(tài)，煤樣對應(yīng)有初始體應(yīng)變?yōu)棣臯0，初始滲透率為k0。圖1為進口氣體壓力p1從2.0 MPa降低至0.3 MPa，煤樣滲透率變化系數(shù)k/k0、徑向應(yīng)變εr和軸向應(yīng)變εz的實驗結(jié)果。

由圖1可知，實驗煤樣的滲透率變化特征不同。1號煤樣k/k0實驗點均在k/k0=1的基準線以上，這表明降壓過程中滲透率逐步增大。氣體壓力p1降至0.3 MPa，滲透率為15.20×10-15m2，約為初始滲透率的2.9倍。2號和3號煤樣k/k0最小值分別出現(xiàn)在進口氣體壓力1.0和1.5 MPa，可見隨著氣體壓力的降低，滲透率先減小后增大，呈現(xiàn)出滲透率的“V”字形變化特征。進口氣體壓力p1降低至0.3 MPa時，2號和3號煤樣滲透率分別為15.20×10-15和15.14×10-15m2，約為初始滲透率的1.9倍。

圖1 煤樣應(yīng)變和滲透率實驗結(jié)果Fig.1 Experimental curves of coal strain and permeability

實驗結(jié)果還顯示:隨著瓦斯壓力的降低，煤樣的收縮變形逐漸增大。圖1(a)中1號煤樣徑向應(yīng)變εr和軸向應(yīng)變εz接近，且與氣體壓力之間近似為線性關(guān)系。2號煤樣徑向應(yīng)變εr和軸向應(yīng)變εz接近，進口氣體壓力降為1.5 MPa時，煤樣收縮變形很小，氣體壓力低于1.5 MPa，煤樣應(yīng)變隨氣體壓力發(fā)生線性的變化。3號煤樣徑向應(yīng)變εr大于軸向應(yīng)變εz，徑向應(yīng)變與氣體壓力之間近似為線性關(guān)系，軸向應(yīng)變εz在進口氣體壓力為1.5 MPa時變化很小，當氣體壓力低于1.5 MPa，軸向應(yīng)變與氣體壓力之間保持線性的變化關(guān)系。

2 考慮煤體變形的滲透率模型

煤層滲透率k常被表述為與有效應(yīng)力有關(guān)的指數(shù)函數(shù)[16]，即

k=k0exp(-3CfΔσ)

(2)

式中，Cf為裂隙體積壓縮系數(shù)，MPa-1;Δσ為有效應(yīng)力變化量，MPa;k0為初始滲透率，10-15m2。

SHI假定煤層僅發(fā)生一維應(yīng)變，得到降壓條件下的煤層滲透率[16]為

(3)

式中，E為煤的彈性模量，MPa;ν為泊松比;p0為初始儲層壓力，MPa;p為平均氣體壓力，MPa，p=(p1+p2)/2;εp為Langmuir最大吸附應(yīng)變;pL為50%最大吸附應(yīng)變對應(yīng)的氣體壓力，MPa。

本文的實驗結(jié)果表明煤樣在徑向和軸向均發(fā)生收縮變形，且兩個方向的應(yīng)變數(shù)值接近，顯然不符合SHI提出的一維應(yīng)變假定。為了分析本文實驗得到的滲透率變化規(guī)律，需要考慮煤樣的實際變形情況。

根據(jù)國內(nèi)外學者建立的煤巖體滲透率模型[16-18]，假定煤樣應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足:

(4)

式中，G為剪切模量，MPa;λ為拉梅系數(shù)，MPa;δij為克羅內(nèi)克符號;σij為應(yīng)力分量，MPa;εij為應(yīng)變分量;εV為煤樣的體應(yīng)變，εV=εz+2εr;εs為氣體吸附解吸導致的煤樣體應(yīng)變，滿足Langmuir方程[16]:

(5)

根據(jù)大多數(shù)煤樣滲透性實驗針對圓柱體煤樣施加軸壓和圍壓的實驗條件，將式(4)寫為

(6)

式中，σr和σz分別為徑向應(yīng)力和軸向應(yīng)力，MPa。

假設(shè)實驗過程中軸壓和圍壓不變，進口氣體壓力變化，則Δσr=Δσz,式(6)可簡化為

Δσ=Δσr=Δσz=K(ΔεV+Δεs)

(7)

式中，K為煤樣的體積模量，K=E/3(1-2ν)。

將式(5)和(7)代入式(2)得到

(8)

式(8)表征了外部應(yīng)力不變，氣體壓力改變過程中煤樣產(chǎn)生三維應(yīng)變條件下的滲透率變化規(guī)律。式(8)同時考慮了煤樣吸附效應(yīng)對滲透率的影響，因此滲透率的變化是氣體壓力作用和氣體吸附解吸效應(yīng)的疊加結(jié)果。

比較式(3)和式(8)發(fā)現(xiàn)，滲透率計算公式在形式上是不同的。式(3)是假定煤層僅發(fā)生一維應(yīng)變條件下得到的[16]，式(8)是本文考慮煤樣發(fā)生徑向應(yīng)變和軸向應(yīng)變的條件下推導的。由此可見煤樣或煤層的變形狀態(tài)不同，其滲透率的變化特征也不相同。

將式(8)得到的煤樣滲透率k表示為氣體壓力p的函數(shù)，即

k=f(p)=k0exp[-3Cff1(p)]

(9)

式中，f1(p)為氣體壓力p的函數(shù):

對f1(p)求一階和二階導數(shù)得到

f1(p)的兩階導數(shù)f″1(p) 恒小于0，則f1(p)函數(shù)存在極大值。當f′1(p)=0,取得極大值，此時式(8)得到極小值，對應(yīng)的氣體壓力pr為

(10)

該氣體壓力pr為反彈氣體壓力。式(10)表明煤樣的體積模量K、與吸附效應(yīng)有關(guān)的Langmuir系數(shù)εp和pL共同決定了pr的取值。體積模量K與吸附變形系數(shù)εp越大，pr越大。值得注意的是，pr的取值與煤樣的外部應(yīng)力以及內(nèi)部的氣體壓力無關(guān)。

理論上講，只有反彈氣體壓力pr>0，才可能觀測到氣體壓力變化過程中煤樣滲透率由降低轉(zhuǎn)為升高的現(xiàn)象。由式(10)可知

(11)

則煤樣體積模量K與Langmuir吸附常數(shù)εp，pL之間須滿足:

(12)

由此可見，煤樣的體積模量K>pL/εp，是實驗測得滲透率出現(xiàn)“V”形變化的必要條件。

3 分析與討論

根據(jù)煤樣的吸附變形實驗和單軸壓縮實驗結(jié)果，得到實驗煤樣的彈性模量E、泊松比ν以及吸附體應(yīng)變的Langmuir系數(shù)εp和pL見表1，其中裂隙體積壓縮系數(shù)Cf的取值參考了文獻[16-17]的數(shù)據(jù)。

依據(jù)表1參數(shù)，本文計算了煤樣的反彈氣體壓力。計算結(jié)果顯示:3個煤樣的反彈氣體壓力相差不大，數(shù)值在0.74～0.92 MPa，煤樣滲透率的最小值出現(xiàn)在氣體壓力降低至初始氣體壓力的70%～88%，繼續(xù)降低氣體壓力，煤樣的滲透率由降轉(zhuǎn)升。2號和3號煤樣的實驗結(jié)果驗證了以上滲透率先減小后增大的變化特征。

表1 煤樣滲透率的基本計算參數(shù)Table 1 Parameters related to coal permeability

1號煤樣理論上的反彈氣體壓力為0.92 MPa，對應(yīng)的進口氣體壓力為1.74 MPa。1.74 MPa低于初始氣體壓力2.0 MPa，因此氣體壓力降低過程中，煤樣滲透率的變化趨勢理論上應(yīng)為先降低后升高。為什么實驗結(jié)果顯示1號煤樣滲透率的變化趨勢是增大呢？圖2顯示了1號煤樣測定滲透率的氣體壓力測點。按照本文模型算得進口壓力為1.5 MPa時，滲透率與初始滲透率比值k/k0等于1;當進口壓力低于1.5 MPa，對應(yīng)的k/k0由1.21逐漸增大至2.81。理論計算顯示實驗測點對應(yīng)的滲透率均不低于初始滲透率，這與實驗數(shù)據(jù)反映的滲透率逐漸增大的變化趨勢是一致的。由此可見實驗選取的氣體壓力測點有限，測得降壓過程中滲透率有可能出現(xiàn)增大或先減小后增大等多種變化趨勢。

圖2 1號煤樣滲透率的理論值及實驗測點Fig.2 Numerical results and measuring points of coal permeability for No.1 coal sample

依據(jù)表1的計算參數(shù)，依據(jù)SHI模型和本文模型算得煤樣滲透率變化曲線如圖3所示。由圖3可知，本文模型得到的計算值更加接近實驗數(shù)據(jù)。

圖3 煤樣滲透率的計算結(jié)果Fig.3 Computed results of coal permeability

表2是滲透率計算值與實驗數(shù)據(jù)對比的誤差分析結(jié)果。表2顯示，本文模型計算結(jié)果的絕對誤差、相對誤差以及平方差和均低于SHI模型計算結(jié)果的對應(yīng)值，其中本文模型的相對誤差在8.9%之內(nèi)，顯著低于SHI模型的相對誤差(19.7%～45.3%)。因此本文模型的計算結(jié)果與實驗結(jié)果更加接近。

表2 煤樣滲透率計算結(jié)果的誤差分析Table 2 Error analysis of coal sample permeability

造成2種模型的計算結(jié)果存在較大差異的原因在于SHI模型與本文模型對煤樣采用了不同的變形假設(shè)。SHI模型假設(shè)煤樣僅發(fā)生一維應(yīng)變，本文模型則考慮了煤樣的軸向和徑向變形。因此研究煤層或煤樣的滲透率演化特征，合理考慮煤層或煤樣實際變形狀態(tài)是非常必要的。

為了進一步驗證滲透率演化模型，結(jié)合參考文獻[6,8,11]的實驗數(shù)據(jù)，本文計算得到了滲透率隨氣體壓力的變化曲線(圖4)。實驗測試的應(yīng)力條件、煤樣類型以及模型計算需要的參數(shù)見表3，其中彈性模量E和泊松比ν取自原參考文獻;εp,pL和Cf原參考文獻中未涉及，由作者根據(jù)相關(guān)文獻[16-17,20]取值。

表3 前人實驗結(jié)果對應(yīng)的計算參數(shù)Table 3 Parameters in the predecessor’ experimental results

注:表中平均應(yīng)力等于(2σr+σz)/3。

圖4 模型結(jié)果與前人實驗結(jié)果的對比Fig.4 Comparison of model results and the predecessor’s experimental data

圖4顯示，模型計算結(jié)果呈現(xiàn)出滲透率演化的不同趨勢，且計算結(jié)果與相應(yīng)文獻的實驗數(shù)據(jù)吻合。分析圖4可知，實驗測得煤樣的滲透率表現(xiàn)為何種變化趨勢，取決于反彈氣體壓力pr和實驗氣體壓力的關(guān)系，具體如下:① 當pr≥pmax(實驗測點中最大的氣體壓力值)時，滲透率隨著氣體壓力增大而降低，如圖4(a)所示;② 當pr≤pmin(實驗測點中最小的氣體壓力值)時，滲透率隨著氣體壓力增大而增大，如圖4(b)所示;③ 當pmin

4 結(jié) 論

(1)實驗數(shù)據(jù)顯示，在恒定軸壓和圍壓條件下，瓦斯壓力降低過程中，煤樣的收縮變形逐漸增大，滲透率的變化趨勢為先減小后增加或者逐漸增大。滲透率回升對應(yīng)的反彈氣體壓力小于1.0 MPa。

(2)構(gòu)建的煤樣滲透率演化模型，綜合考慮了氣體壓力和吸附解吸作用的影響。通過對比模型計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，本文模型比SHI模型的計算結(jié)果更接近實驗數(shù)據(jù)。因此研究煤層或煤樣的滲透率演化特征，考慮煤層或煤樣實際變形狀態(tài)是非常必要的。

(3)計算得到了氣體壓力變化過程中滲透率的不同變化趨勢，且模型計算結(jié)果與前人實驗數(shù)據(jù)吻合。研究表明，隨著氣體壓力變化，煤樣滲透率可以表現(xiàn)出不同的變化趨勢(增大、減小或者“V”形)，這取決于反彈氣體壓力與實驗氣體壓力之間的關(guān)系。