基于最小二乘法的比賽組隊(duì)設(shè)計(jì)

周海

摘 要：在現(xiàn)實(shí)生活中，都有著各種各樣的比賽，為了取得最好的成績(jī)，參與者需要選拔最優(yōu)秀的人員或隊(duì)伍去參加比賽，如何選拔優(yōu)秀人員以及科學(xué)組隊(duì)便是首先需要解決的問(wèn)題。隨著近年來(lái)的組隊(duì)比賽越來(lái)越多，成功的組隊(duì)愈發(fā)重要。對(duì)于比賽組隊(duì)篩選方式，選拔以及組隊(duì)的依據(jù)主要是考慮隊(duì)員的各項(xiàng)能力，包括隊(duì)員的背景，性別，協(xié)作能力，以及各種技能，通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，較為快速的拼選出合適的組隊(duì)方案。

關(guān)鍵詞：最小二乘法;蠻力法;逐次選優(yōu);MATLAB擬合工具箱

建立這個(gè)模型時(shí)，其前提是為每個(gè)隊(duì)當(dāng)做一個(gè)整體計(jì)算，將隊(duì)伍中隊(duì)員們?cè)谀稠?xiàng)能力上的均值作為該隊(duì)在這個(gè)能力上的數(shù)值，且忽略一個(gè)隊(duì)中每個(gè)隊(duì)員能力的差異。[1]

在對(duì)問(wèn)題所采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí)，首先將每個(gè)人的性別取1和0（男和女），而隊(duì)伍的性別比例則就有0，1/3，2/3，1共四種。因?yàn)楸尘安皇呛?jiǎn)單的數(shù)值，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，我們將性別和背景剔除，直接以協(xié)作能力和技能一到四為自變量，獲獎(jiǎng)等級(jí)為因變量，使用matlab求得這五種變量的多元線性回歸方程。又因?yàn)閱?wèn)題所提供的數(shù)據(jù)有三組，我們將其分開(kāi)求得線性回歸模型。

通過(guò)matlab求解發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)給的第一第二屆在參數(shù)檢驗(yàn)的顯著性上大于0.05，且第二屆擬合優(yōu)度過(guò)低，因此數(shù)據(jù)不具有參考性。我們由此將第一第二屆的數(shù)據(jù)舍棄，單獨(dú)使用第三屆的數(shù)據(jù)去推導(dǎo)今年的組隊(duì)情況模型。我們求得協(xié)作能力與技能一到四對(duì)獲獎(jiǎng)等級(jí)的影響，由相關(guān)系數(shù)推出這五項(xiàng)能力對(duì)獲獎(jiǎng)影響的權(quán)重。通過(guò)以上求解過(guò)程的反饋，我們?cè)诘谝粏?wèn)中舍去背景，僅對(duì)性別，協(xié)作和技能構(gòu)建了多元線性回歸模型，[2]如下：

y=γ0+γ1*x1+γ2*x2+γ3*x3+γ4*x4+γ5*x0+γ6*x5;

其中設(shè)xi（i=1，2，3，4）為技能一到四，x0為協(xié)作能力，x5為性別（x5=1或0）。xi（i=0，1，2，3，4，5）為自變量，而設(shè)獲獎(jiǎng)等級(jí)y為因變量，因?yàn)橛?jì)算中P<0.05，則回歸模型y=15.1160+0.0023*x1+0.0154*x2-0.0311*x3-0.0646*x4-1.5736*x0-1.0938*x5成立。由上述表達(dá)式可知，我們應(yīng)該優(yōu)先選擇技能3和技能4測(cè)試成績(jī)優(yōu)異的選手，且協(xié)作能力也要求盡量平均。

該問(wèn)題主要是從200位參賽人員中篩選出最有幾率獲得最佳獎(jiǎng)項(xiàng)的三支隊(duì)伍，因此我們通過(guò)分析。有兩種篩選組合的方法。

（1）這三支隊(duì)伍的組成是三名綜合能力最優(yōu)的選手。

（2）充分優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)（例如背景D中會(huì)對(duì)技能1與3能力數(shù)值互補(bǔ)）的選手。

而我們?cè)诘谝粏?wèn)中通過(guò)對(duì)背景的枚舉出最適宜的5種背景組合方案，從而縮小了我們需要判別的數(shù)據(jù)量。

這個(gè)過(guò)程中主要是通過(guò)python和excel的數(shù)據(jù)篩選，在excel統(tǒng)計(jì)出待選拔的人員中各個(gè)背景的人數(shù)后通過(guò)蠻力法枚舉出的合適的背景組合。

由于前面的解法當(dāng)中，我們沒(méi)有分析一個(gè)隊(duì)伍當(dāng)中性別比例對(duì)比賽結(jié)果的影響，因此在接下來(lái)的開(kāi)始部分我們擬打算先分析性別比例對(duì)于比賽結(jié)果的影響，然后再結(jié)合所有的影響因子進(jìn)行篩選分析。

首先我們將三屆的所有人員的性別以及獲獎(jiǎng)等級(jí)作為變量進(jìn)行分析，分析在不同的性別比例之下，不同的獲獎(jiǎng)等級(jí)當(dāng)中男女比例的不同在其中所占的比例大小。我們通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后通過(guò)餅圖的方式展示出來(lái)。

根據(jù)以上我們可以非常直觀的得出以下規(guī)律：在以往的參賽隊(duì)伍當(dāng)中，三個(gè)人的搭配是二男一女的搭配占獲獎(jiǎng)比例的人數(shù)較高。也就是說(shuō)搭配隊(duì)伍盡量以兩個(gè)男生和一個(gè)女生搭配，這樣的參賽隊(duì)伍可以保證獲獎(jiǎng)幾率要比獲得同等級(jí)的參賽的其他搭配方式要高，而且非常不建議三個(gè)女生搭配，因?yàn)閺囊酝娜龑玫臄?shù)據(jù)來(lái)看，沒(méi)有一支獲獎(jiǎng)隊(duì)伍是由三個(gè)女生組成的。

這時(shí)候我們?nèi)匀贿x用由前面的回歸得到的比例因子給待參賽人員進(jìn)行排序后的人員表，由于在第三問(wèn)中題目要求我們選出來(lái)的隊(duì)伍的水平盡量高并盡量平衡，因此我們還需要對(duì)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選。

想到可以先將待選的人員當(dāng)中能力異常突出和能力非常弱的人員剔除后再進(jìn)行選擇，由于我們對(duì)待選人員的一個(gè)離散情況不太了解，因此我們先將所有人員編個(gè)號(hào)，然后將各自的加權(quán)能力值在二維坐標(biāo)當(dāng)中顯示出來(lái)。

通過(guò)分析我們可以發(fā)現(xiàn)可以找到這樣的一條回歸線使得大部分的點(diǎn)集中在該線的兩側(cè)，因此我們可以在這個(gè)回歸線的兩側(cè)選出合適的點(diǎn)來(lái)組隊(duì)，但是選擇合適的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)使得線兩側(cè)的人員組成的集合能力值盡可能平均仍然有些困難，于是我們打算將原人員進(jìn)行一次排序之后再進(jìn)行相應(yīng)的擬合找出一條線，看看是否會(huì)更加容易。[3]

同時(shí)我們可以直觀發(fā)現(xiàn)一頭一尾的數(shù)據(jù)過(guò)于零散，因此我們可以將其刪除后用剩下的人員進(jìn)行相應(yīng)的安排。通過(guò)擬合之后我們發(fā)現(xiàn)擬合結(jié)果也非常滿意。

這時(shí)候我們考慮到前面我們分析的性別對(duì)于比賽結(jié)果的影響的結(jié)論，我們打算采用二男一女的組合方案進(jìn)行組合，將男女人員分開(kāi)后進(jìn)行由大至小排序后如下：

第一種篩選方法我們按照順序每次選擇男生列表里面的前兩個(gè)與女生列表的前面一個(gè)進(jìn)行組合成一支隊(duì)伍，這樣的隊(duì)伍既符合隊(duì)員之間能力差別不大而且男女比例的分配也合理，后面的隊(duì)伍依此類推。

這樣得到的結(jié)果既滿足了不同的背景，而且當(dāng)不同背景的人員方案有多數(shù)的時(shí)候選擇不同背景可以進(jìn)行技能的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的情況選出最佳方案，同時(shí)也使得各個(gè)隊(duì)伍之間的能力綜合值比較平衡，性別也沒(méi)有全部一樣，滿足要求。

參考文獻(xiàn)：

[1]啟源，等譯.Frank R.ordano，Maurice D.Weir，William P.Fox[美].數(shù)學(xué)建模[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

[2]姜啟源，謝金鑫，葉俊.數(shù)學(xué)建模[M].北京：高等教育出版社，2011.1.

[3]Saravanan M，Ravindran B，Raman S. Improving legal document summarization using graphical models[C].Legal Knowledge and Information System，JURIX 2006：The Nineteenth Annual Conference，Paris：IOS Press，2006：51-60.