對2018年北京卷理科19題的探究

范琴 余小芬

【摘要】本文從試題解法、試題推廣、試題改編三個視角對2018年北京卷理科19題進行了研究，得到了試題的兩個推廣及一個變式.

【關鍵詞】圓錐曲線;試題推廣;試題改編

【基金項目】 四川省“西部卓越中學數學教師協同培養計劃”項目（ZY16001）.

一、題目呈現

（2018年北京卷理科第19題，下文簡稱19題）已知拋物線C：y2=2px經過點P（1，2）.過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.

（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍;

（Ⅱ）設O為原點，QM=λQO，QN=μQO，求證：1λ+1μ為定值.

二、解法賞析

解 （Ⅰ）由拋物線C：y2=2px經過點P（1，2），得p=2，所以拋物線C為y2=4x.由題意可知，直線l斜率存在，設斜率為k，且k≠0.又l過點Q（0，1），故設l：y=kx+1.聯立y=kx+1，y2=4x， 得k2x2+（2k-4）x+1=0.又直線l與拋物線有兩個不同的交點，故Δ=（2k-4）2-4k2>0，解得k<1.

若直線l與拋物線的交點為（1，-2），則該交點與P點連線與y軸平行，不符合題意，此時對應直線l斜率k=-2-11-0=-3，所以k≠-3.

綜上，k的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）.

評注 19題（Ⅰ）問考查了直線與拋物線的位置關系.學生不難想到聯立直線與曲線方程，將圖形交點問題轉化為方程組的解的問題，進一步消元、利用一元二次方程根的判別式求解k.但容易忽略一些解題細節：一是對直線l斜率k的討論，大部分學生能對斜率存在與否做分析，但易忽略k≠0情形;二是對直線PA（或PB）位置的討論，不能排除PA（或PB）與y軸平行的情形.

三、拓展研究

事實上，連接P，Q兩點，可證直線PQ與拋物線相切于點P.因為y=2x（y≥0），故y′=1x，所以拋物線在點P處的直線斜率為y′|x=1=1.又kPQ=1，故PQ與拋物線相切.因此，產生一個自然而然的想法：在拋物線C上任取一點P（不與原點重合），過P作拋物線C的切線與y軸相交于Q點，是否仍然有1λ+1μ為定值？經過驗證，筆者得到了如下定理1.

定理1 已知拋物線C：y2=2px（p>0），在拋物線C上任取一點P（不與原點重合），過P作拋物線C的切線與y軸相交于Q，過Q的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.設O為原點，QM=λQO，QN=μQO，則1λ+1μ為定值.

四、試題改編

試題改編是研究高考試題的重要方式.試題改編有利于深化對問題的本質認識，有利于實現解法的遷移.試題改編的基本方式有：變換試題背景、強化或弱化已知條件、改變設問方式，等等.[1]

試題改編 已知橢圓C：x24+y2b2=1經過點P1，32，過P作橢圓C的切線與y軸相交于Q，過Q的直線l與橢圓C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.設O為原點，QM=λQO，QN=μQO，則1λ+1μ為定值.