導數的復習

靖晶 陳艷寶

高考中導數問題可謂是學生拉開區分度的分水嶺.而含參的單調性的討論問題是重中之重.單調性的問題討論清楚了，那么極值最值等問題就可迎刃而解.

利用導數求函數單調區間的依據：在定義域范圍內，由導數大于0解得的x的區間為函數的增區間;由導數小于0解得的x的區間為函數的減區間.

常見的分類標準有哪些呢？一般的含參的函數單調性的討論常見的分類標準有：

1.函數類型;2.開口方向;3.判別式;4.導數等于0有根無根;5.兩根大小;6.極值點是否在定義域內.

通過以下兩個例題進行說明.

例1 討論函數f（x）=x-1x-alnx（a∈R）的單調性.

分析 根據導數的符號得函數在相應區間上的單調性，先進行求導.

函數的定義域為（0，+∞），f′（x）=x2-ax+1x2分母是恒正的，只需看分子的符號.由f′（x）=0得x2-ax+1=0.一元二次方程有根無根需看判別式.故而確定了第一個分類討論的原因：二次函數的判別式.當Δ>0時，a>2或a<-2，方程有兩個不等實根.是否需要進一步討論呢？可以發現此時分子為零的兩根記為x1，x2，x1+x2=a，x1x2=1>0，而定義域為（0，+∞），方程的兩根符號與a相同，故而確定第二個分類討論的標準：方程的根是否在定義域內.

1.先求出函數的定義域，再求出導函數，有分母要通分，能因式分解要分解徹底;

2.若導函數帶分母，通分因式分解徹底后，判斷導數分子最高次項系數是否含有參數，有可以討論該參數得0和不得0，最高次項系數是否為0影響的是函數的類型;

3.判斷導數等于0是否有根，導數等于0得到的方程若為一元二次方程，可判斷其判別式的符號：當判別式小于等于0時，若二次項系數為正，則導數恒大于等于0，函數在定義域內為增函數，若二次項系數為負，則導數恒小于等于0，函數在定義域內為減函數;當判別式大于0時，可以結合韋達定理分析導數等于0的兩根與定義域的關系，確定單調區間;

4.導數等于0得到的方程不是二次函數時，根據方程的特點判斷有根無根，若有根，再判斷其與定義域的關系，若根在定義域內，則根為極值點，再判斷定義域內極值點分成的各段區間導數的正負從而得到函數的單調性;

5.若導數等于0，方程有兩個根且均在定義域內，當兩根大小不確定時，可通過比較兩根大小確定討論的分界點.

【參考文獻】

[1]余小芬，劉成龍.對2016年四川卷高考理科10題的研究[J].中學數學研究（江西），2016（1）：12-16.