3D軟件入課堂，空間直觀提素養

廖小琴 邵貴明

【摘要】《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出直觀想象是高中數學學科核心素養之一，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力.本文提出使用3D軟件輔助教學可以展示空間圖形，為學生理解和掌握圖形幾何結構與特征提供直觀.通過例子闡述3D軟件在數學課堂中的作用，并探討了在此技術的輔助下如何引導學生提升幾何直觀數學素養.

【關鍵詞】3D軟件;直觀想象;數學核心素養

普通高中數學學科核心素養的六大核心素養——數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數學分析中，直觀想象是高中學生必須具有的數學核心素養之一.要求學生會借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題.主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律利用圖形描述、分析數學問題;建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.[1]高中立體幾何的學習主要在培養空間抽象能力的基礎上，發展學生的幾何直觀能力和空間想象能力.立體幾何是中學數學的一個難點，學生普遍反映“幾何比代數難學”.其原因就是學生缺乏直觀想象力.而高一年級是立體幾何學習的起始年級.學生在初中階段接觸的是一些簡單的平面幾何內容，他們在這一階段并沒有建立起比較強的空間感，所以學起來就更加吃力.

而時下中國信息技術已經進入了3D時代.3D建模技術和3D打印技術實現了用“虛擬”再造“現實”的嶄新境界.3D制作當然也離不開考驗制作者的直觀想象力和幾何計算能力.例如，要3D打印一個螺栓和螺帽，那么螺栓圓柱體底面圓的直徑要設計多大才能對應到螺帽呢？大了則套不進，小了則會松.所以，在3D打印中，立體幾何的直觀想象變得尤為重要.故此，作為高中數學教學工作者，我們有責任培養出具有直觀想象素養的人才，為學生以后的發展做好能力鋪墊.同時，反過來3D軟件也可以為我們的教學服務，讓立體幾何教學更具有生動性、直觀性，有利于學生認清空間事物的位置關系、形態變化與運動規律;利用3D圖形動態描述、分析解決數學問題，提升幾何直觀數學素養.下面以例子展開本人在3D軟件輔助教學的一些體會.

一、巧用軟件認清空間事物的位置關系、形態變化與運動規律

與球組合的幾何體問題，一種是內切、一種是外接，這兩種特殊的位置關系在高考中既是必考題型，又是難點，但學生往往因缺乏空間想象能力而感到模糊.在“正方體的內切球和外接球”這節課上，內切球和外接球的理解和作圖是一個難點.如果我們不做任何的展示，而直接讓學生生成直觀圖時，會出現有一些學生把多種球之間的關系搞混亂：內切球畫成了內含球，外接球畫成外包球.然而，在傳統教學中，我們很難找到現成的教具展示給學生看，到底“切”是怎么切的，而“接”又是怎么個接法.教學上非常需要一個教具讓學生從不同的視覺角度觀察球內切或外接正方體時正方體的點、線、面與球的球心和半徑等要素之間的關系.

如果這個時候，教師及時采用3D軟件把球從內含到外包的過程進行動態演示，并在過程中點出內切球的“切”是跟正方體的面的中心相切，而外接球的“接”是跟正方體的各頂點相接.演示過程中就能非常清晰地把球與正方體之間的位置關系形象地展現給學生，而這些動態展示又恰恰是傳統教學或實物展示所不能比擬的！

同時，在這節課上學生對外接球直徑是正方體體對角線的理解也是一個難點.怎樣才能體現正方體的體對角線就是外接球的直徑呢？傳統教學中很難用語言清晰地描述給學生聽.即使采用作圖法給出了圖1，把正方體畫成內接在小圓和大圓搭建的球框架內，也會存在有學生因缺乏空間想象力看不懂直觀圖而無法理解的情況.在傳統教學上我們是通過正方體外接球對角面的截面圖展現給學生，學生通過想象還原到正方體當中理解.但為什么要畫對角面的截面圖呢？傳統教學上也是比較難直觀地告訴學生.但運用3D軟件對實物進行360度的旋轉展示，就可以直觀地找到如圖2所示的視角，非常清晰地展現正方體對角面上的所有點都在球面上，而球心也在面內的對角線上.通過軟件還能進一步地在直觀圖上切割出正方體外接球的對角面（如圖3所示），使得學生獲得更直觀的體驗.

著名數學教育家波利亞說：“數學有兩個側面：一方面，是歐幾里得式的嚴謹科學，從這方面看，數學像是一門系統的演繹科學;但另一方面，創造過程中的數學，看起來卻像一門實驗性的歸納科學.”這節課還可以更有趣的是：再給出一些非正方體的幾何體，讓學生自己嘗試利用3D軟件作出其內切球或外接球并通過觀察研究出其半徑.通過3D軟件進入課堂，我們可以將抽象的問題具體化，有效地為學生提供感性材料，化靜為動，具有圖文并茂、形象直觀、動態逼真等特點.它能充分展示立體知識的形成和思維過程，促使學生“知其然并知其所以然”.

二、利用3D圖形動態描述、分析、解決數學問題，提升幾何直觀數學素養

3D軟件輔助教學獨特的價值，在于通過整合為學生提供逼近真實、富有現實意義的學習情境，以利于學生高階思維與積極情感的投入，解決復雜問題，從而全面提升學生知識、能力與情意方面的核心素養.[3]其實，在解決空間幾何問題時，在直觀圖中許多原本相等、平行、垂直或異面的直線由于“變形”“傾斜”等原因，學生很難觀察出來，而導致問題解決錯誤或解決不了.但當幾何體經過“3D轉動”后，或許就能把原本難以理解或想象的問題變得更直觀和簡單，同時也能更快地培養和鍛煉學生的“立體平面圖的空間感”，迅速提升直觀想象素養.

在這道題中，對剛接觸立體幾何的高一學生來說，由于缺乏空間感，有些學生就會把AC1與BC理解為相交直線來求，結果就會出現問題.但如果我們在課堂中嘗試使用3D軟件從不同角度展現該長方體，當出現如圖5所示的視角時就能讓學生看出AC1與BC這兩條直線是異面直線，不相交的關系，從而引導學生通過找平行線的方法找出∠AC1B1就是AC1與BC所成的角的平面角.

題意是讓學生畫出PQR平面截取正方體后的形狀，也就需要學生把該截面與正方體的其余相交直線畫出來.這道題是對學生的空間思維能力提出了更高的要求.很多學生都不能完成.故此，我們可以嘗試使用3D軟件輔助解題.首先，我們可以在3D軟件中建立正方體.

然后，旋轉角度連接PQ，并延長PQ，使其與A1B1相交于E點.

再連接RE交B1C1于F點.

此時，不難證出△PQB≌△QB1E≌△B1EF≌△RC1F，所以點F是B1C1中點.而此時相交直線RF與PQ所確定的平面就是我們要找的截面.

如此類推，我們把正方體像骰子般轉動，由此而引導學生繼續思考探究.問是否能作出該截面在其他平面上的交線呢？通過引導讓學生把該截面在正方體其余各面的交線畫出來.最后我們再利用3D軟件中的切割工具對幾何體進行切割，很快就可以得出切面.

同時，再把切割平面轉正，由此而檢驗學生作出的平面是否與軟件作出的平面一致，并能直觀地看出所截取的平面就是正六邊形.

一幅幅的3D動態畫面在展示和推導中能不斷地帶動學生深入分析問題，使學生在不斷的觀察和分析中形成直觀想象素養.深度教學領軍人郭元祥教授曾提出：增強課堂的畫面感是促進學生知識理解，獲得知識的意義增值，達成知識發展價值的基本途徑.課堂的畫面感通過將知識表征化促進學生對符號知識的深度理解.[4]3D軟件參與解題的過程才能引起學生豐富多樣的再造想象、創造想象和以后在解題過程中就會自然而然產生的空間幾何聯想.

直觀想象是解決立體幾何問題的重要核心素養.通過3D軟件對幾何體的翻轉變換、伸縮變形、切割變化等操作過程有利于提升學生對幾何體的直觀理解和形成空間想象，降低數學解題的門檻，使得復雜問題直觀化.同時，也會促使學生在以后解題中能自動生成換位思想和幾何聯想，直觀想象素養自然而然得到提升.總之，要提升學生發展的核心素養，需要師生每一堂課的積累與努力.教師本身要勇于學習研究3D軟件、積極實踐，開展學科課堂教學改革，才能有效落實和提升學生核心素養的培養.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]林靜.STEAM教育如何對接核心素養[J].師資建設，2017（30）：51.

[3]秦德生，孔凡哲.關于幾何直觀的思考[J].中學數學教學參考，2005（10）：9-11.

[4]郭元祥.增強課堂的畫面感——談課程改革的深化（5）[J].新教師，2016（5）：13-15.