微積分推導(dǎo)與證明新方法

朱和民

摘? 要：該文從研究微分推導(dǎo)中含?項(xiàng)的意義，提出含?項(xiàng)的意義是平均增加速度，切線和法線是曲線上連續(xù)三點(diǎn)組成三角形的內(nèi)外角平分線。在證明積分時(shí)，提出將積分求面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求體積問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為求平均高問(wèn)題等新算法進(jìn)行證明，在證明過(guò)程中不再需要用到趨于零不為零和黎曼和的約等于就是等于等邏輯自相矛盾的概念，證明過(guò)程更符合數(shù)學(xué)邏輯、更簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確。

關(guān)鍵詞：微分? 平均增加速度? 積分? 平均高度

中圖分類號(hào)：O172 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1672-3791（2019）04（c）-0197-04

微分自創(chuàng)立之日至現(xiàn)在一直沒(méi)有闡明含?項(xiàng)的意義，含?項(xiàng)的意義不清楚就無(wú)法準(zhǔn)確解釋為什么在求導(dǎo)時(shí)要將其消去。在證明積分時(shí)黎曼和求得的面積是明明是約等于，而最后的結(jié)果又是等于。這些邏輯自相矛盾的證明是不嚴(yán)密的，歷代數(shù)學(xué)家們雖然提出很多晦澀繁雜的論證，但是在運(yùn)算時(shí)依然得使用這些自相矛盾的概念。比如在求導(dǎo)時(shí)，一邊念叨著含?項(xiàng)不為零，一邊又把它們當(dāng)作零消去，每一次求導(dǎo)都是對(duì)求導(dǎo)者邏輯的折磨。該文從微分和積分起源論證微分和積分的邏輯缺陷，并提出新計(jì)算方法對(duì)微分和積分進(jìn)行證明。

1? 微積分的起源及其邏輯缺陷

微分的起源有兩個(gè)，一是牛頓求時(shí)點(diǎn)速度，另一為萊布尼茨求切線。它們的論證過(guò)程出現(xiàn)相悖的邏輯問(wèn)題，自創(chuàng)立之日就引起巨大的爭(zhēng)議，引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，且持續(xù)數(shù)百年不斷。

1.1 從速度角度對(duì)微分的證明

1.1.1 牛頓通過(guò)求時(shí)點(diǎn)速度推導(dǎo)微分

微分起源之一為牛頓求時(shí)點(diǎn)速度，速度等于距離除時(shí)間，時(shí)點(diǎn)的距離和時(shí)間長(zhǎng)度是零，零除零是沒(méi)有意義的，無(wú)法直接用距離除時(shí)間求得時(shí)點(diǎn)速度。為了求時(shí)點(diǎn)速度，牛頓提出流數(shù)理論。例如，作自由落體物體為勻變速直線運(yùn)動(dòng)，其距離方程為s=s（t）（s表示位移，t表示時(shí)間），求物體在t時(shí)點(diǎn)速度Vt。由于在t時(shí)點(diǎn)，距離和時(shí)長(zhǎng)為零，無(wú)法求出t時(shí)點(diǎn)速度Vt。牛頓的思路是先求得t點(diǎn)到t+?t點(diǎn)時(shí)段的平均速度，當(dāng)時(shí)間間隔?t無(wú)限小時(shí)，?t時(shí)段內(nèi)速度的變化會(huì)極小，可以用其代表t時(shí)點(diǎn)的速度，即當(dāng)?t→0時(shí)。例如初速為零的自由落體運(yùn)動(dòng)公式，?t時(shí)段平均速度。當(dāng)?t→0時(shí)，?t等于零，所以t時(shí)點(diǎn)速度v=gt。

1.1.2 牛頓求微分過(guò)程的邏輯缺陷

牛頓在求時(shí)點(diǎn)速度推導(dǎo)微分過(guò)程中，當(dāng)?t作除數(shù)時(shí)，?t不為零，在求最后結(jié)果時(shí)又讓含?t項(xiàng)作為零消去。在同一運(yùn)算過(guò)程中?t一時(shí)不為零，一時(shí)又要作為零消去的推導(dǎo)過(guò)程，存在自相矛盾的邏輯缺陷，曾引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

1.1.3 牛頓求微分的悖論：自由落體運(yùn)動(dòng)為勻速運(yùn)動(dòng)。

牛頓為求t時(shí)點(diǎn)速度，求s'得到s'=gt+?t，當(dāng)?t→0時(shí)，求其極限，把含有?t的?t消去，得到式子Vt=gt，進(jìn)而得出時(shí)點(diǎn)速度公式（即導(dǎo)數(shù)）公式V=gt。牛頓推導(dǎo)過(guò)程存在邏輯問(wèn)題，從理論上講t時(shí)點(diǎn)和t+?t時(shí)點(diǎn)均有一個(gè)速度，而自由落體運(yùn)動(dòng)為勻速運(yùn)動(dòng)，gt+?t無(wú)限接近t時(shí)點(diǎn)速度同時(shí)也會(huì)同等接近t+?t時(shí)點(diǎn)速度，如果gt+?t能代替t時(shí)點(diǎn)速度，也能代替t+?t時(shí)點(diǎn)速度，t時(shí)點(diǎn)和t+?t時(shí)點(diǎn)將會(huì)相等的悖論。把時(shí)間t把代入求得t時(shí)點(diǎn)速度vt=gt，把時(shí)間t+?t代入求出t+?t時(shí)點(diǎn)的速度Vt+?t=g（t+?t）=gt+g?t，而?t→0，同理也應(yīng)將g?t消去，求得t+?t時(shí)點(diǎn)速度Vt+?t=gt，而Vt+?t=gt=Vt，兩者速度相等，依此類推，Vt+n=gt=Vt（n為任意時(shí)點(diǎn)），這就意味著自由落體運(yùn)動(dòng)任意時(shí)點(diǎn)速度均相等是勻速運(yùn)動(dòng)的悖論。

1.1.4 牛頓的證明存在邏輯矛盾而結(jié)果卻正確的原因

牛頓目標(biāo)是求t時(shí)點(diǎn)的速度，而運(yùn)算求得的是t時(shí)點(diǎn)至t+?t時(shí)點(diǎn)時(shí)間間隔內(nèi)（即?t時(shí)間段內(nèi)）平均速度，?t時(shí)間段內(nèi)平均速度與t時(shí)點(diǎn)的速度是不相等的，要求得t時(shí)點(diǎn)的速度，要將平均速度gt+?t減去平均速度與t時(shí)點(diǎn)的速度之差?t。這就是為什么牛頓邏輯錯(cuò)誤而結(jié)果正確的原因。

對(duì)于勻變速運(yùn)動(dòng)，除了用位移除時(shí)間求平均速度外，還可以用兩點(diǎn)速度之和除2方法求得，用此方法求得的速度公式就不存在糾結(jié)?t是否為零的問(wèn)題。靜止物體從高處自由落下，其距離公式為，初速度v0=0，t時(shí)點(diǎn)速度Vt，t時(shí)段內(nèi)平均速度，物體距離公式也可以用平均速度乘上時(shí)間表示，即s=，，所以公式，約簡(jiǎn)后得到速度公式vt=at。

1.1.5 含?t項(xiàng)式子的意義

在微分推導(dǎo)過(guò)程中，只是一味將含?t項(xiàng)當(dāng)作垃圾項(xiàng)消去，從未闡明含?t項(xiàng)的意義，只有闡明含?t項(xiàng)的意義，才能真正論證清楚為什么要將含?t項(xiàng)消去。我們依然以自由落體為例來(lái)論證，對(duì)求導(dǎo)則有，的意義是質(zhì)點(diǎn)在?t時(shí)間段運(yùn)動(dòng)過(guò)的距離?s除時(shí)間?t，它的意義就是質(zhì)點(diǎn)在?t時(shí)段內(nèi)的平均速度，而?t的意義是質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)點(diǎn)的速度，g?t的意義是在?t時(shí)段內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)因增加?t時(shí)間而增加的速度平均數(shù)，即平均增加速度。

假設(shè)距離與時(shí)間存在如下關(guān)系s=t3，則質(zhì)點(diǎn)在?t時(shí)段平均速度，則3t2+3t?t+?t2為t點(diǎn)到t+?t點(diǎn)平均速度，3t2為t點(diǎn)速度，3t?t+?t2為t點(diǎn)到t+?t點(diǎn)的平均增加速度。根據(jù)時(shí)點(diǎn)速度公式v=3t2，將t+?t代入可以求得t+?t時(shí)點(diǎn)速度Vt+?t=3t2+6t?t+3?t2。當(dāng)然我們也可以根據(jù)v=3t2求得在?t時(shí)段內(nèi)，在何時(shí)點(diǎn)達(dá)到平均速度3t2+3t?t+?t2。求法如下：假設(shè)在x時(shí)點(diǎn)達(dá)到平均速度，則有3x2=3t2+3t?t+?t2，解方程求得x=。假設(shè)在t+x時(shí)點(diǎn)達(dá)到平均速度則有3（t+x）2=3t2+3t?t+?t2，解方程得x=-t。依此類推，假設(shè)距離與時(shí)間存在如下關(guān)系s=tn，則質(zhì)點(diǎn)在?t時(shí)段平均速度含?t項(xiàng)，則ntn-1+含?t項(xiàng)為t點(diǎn)到t+?t點(diǎn)的平均速度，ntn-1為t點(diǎn)速度，含?t項(xiàng)為t點(diǎn)到t+?t點(diǎn)的平均增加速度。含?項(xiàng)的意義就是因自變量時(shí)間t變化?t時(shí)間導(dǎo)致平均增加速度的變化。