全國大學生數學競賽之空間解析幾何題的特色解法

黃晴 黃浩 盧衛君

【摘要】在全國大學生數學競賽中，空間解析幾何具有幾何直觀性，是參賽選手重點攻克并較容易取得分值的題型.由此，保證參賽學生在考試中能夠準確切入題目并拿下可觀分值，成為指導教師研究的一個重要主題.一個重要的思路是由圖形認知題目，利用幾何不變量進行刻畫.基于此角度，本文針對第八屆、第九屆全國大學生數學競賽預賽題的空間解析幾何題給出個人特色解答版本，同時與官方解答版本做對比.特色解答是面向讀者群體的精細版本，旨在突出解答的想法、思路和解答過程的程序細節，與官方證法相比，優勢在于可讀性更強、更接近教材，學生更容易看得懂.

【關鍵詞】橢球面;單葉雙曲面;隱函數應用;二次曲線的分類;特色解法

【基金項目】廣西高等教育本科教學改革工程項目（編號：2017JGA173）;2016廣西民族大學教改工程項目（編號：2016XJGY25）.

一、引 言

全國大學生數學競賽是數學學科極具影響力的全國性高水平競賽，旨在激發學生學習數學的興趣及選拔數學創新型人才.賽題的綜合性需要學生有扎實的數學功底以及較強的綜合分析能力.本文以第八屆、第九屆全國大學生數學競賽預賽題的空間解析幾何題為例，給出個人特色解答以期推動同學們的學習與思考.在第八屆全國大學生數學競賽預賽的光線照射題[1]中，由于光線照射會出現一個切平面，因而，不考慮采用中學解一元二次方程的方法求出交點，而是利用隱函數在幾何上的應用來分析切平面、切點及其走勢，用梯度去擺平切平面上的法向量，幾何與數學分析的結合使其更容易理解，同學們也便于記憶.在第九屆全國大學生數學競賽預賽的空間平面與曲面相交問題[2]中，我們利用平面上拋物線的不變量特征進行求解，相對官方版本，先求出平面的法向量，再求解法線與z-軸的交角，更為簡單易懂.

二、實例分析Ⅰ

下面例題來自第八屆全國大學生數學競賽預賽試卷第一題，屬于空間解析幾何部分.

四、結 語

通過以上題目的分析，我們知道要靈活解決解析幾何問題，需要重視二次曲面、二次曲線的相關知識，同時融合高等代數的矩陣、行列式、特征方程及特征值，數學分析的梯度、偏導數及隱函數（組）的幾何應用[3]（包括平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線）.為了保證參賽時有強大的理論知識支撐而不至于巧婦難為無米之炊，同學們首先要夯實基礎，注重相關重要知識要點的記憶.分析題目時應注重大學三高課程（高等代數、數學分析和空間解析幾何）間知識的互相滲透，通過題目已知條件以及知識點的思考，總結并形成合適的解題方法.

【參考文獻】

[1]中國大學大學生數學競賽資源網——競賽試題[OL].http：//www.cmathc.cn/article/list_2_2.html.

[2]中國大學大學生數學競賽資源網——競賽試題[OL].http：//www.cmathc.cn/article/list_2.html.

[3]華東師范大學數學系.數學分析：第4版[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4]呂林根，許子道.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5]李勇，伍日清，羅群.全國大學生數學競賽題的分析[J].數學學習與研究，2014（5）：119-120.